### 剛體運動I

```第五章 剛體運動

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During a rotation  What could be the same??
q
 The angular displacement
- New
Displacement Variable q

S=S(t)
S
r

q
r=r[t(s)]=r(s)

S = r q r=常數
q = 角位移 Angular Displacement

q(t)=s(t)/r

(Angular Position)

dr ds dr
v

 st
dt dt ds

ds  dx  dy  dz
2
2
2

dr / ds  t  t ( s)  t (t )

ds
d rq 
v t
t
dt
dt
rdq

t  rt  rω
dt
= 角速度 dq /dt

dv
dt
ds dt
a
 st  s  st  s
dt
dt
dt ds
2 n
 st  s 
 at t  ar n


ds
ds

dt
dq
為曲率半徑
dt dt
1

n n
ds ds

n為法線向量

  ds/dq=d(rq)/dq=r

d rq  rd q
at  s 

 r
2
2
dt
dt
2
2


s 

v
 d rq  
 dq 
2

 r
 / r  r
 
  dt 
r
 dt 
2
ar
2
2
2

、速度與加速度的新參數。由於之間的對應關係一樣
，故於線性運動中所導出的運動學方程，也應相對的

v f  vi  at   f   i  t
2
1
（二） x f  xi  vi t  2 at
 q f  q i   i t  12 t 2
（一）
（三）
v  v  2a( x f  xi )
2
f
2
i
     2 (q f  q i )
2
f
2
i
Example: CD Player
On a compact Disc, audio information is stored in a series of pits
and flat areas on the surface of the disc that represent ones and
zeros. The length of each one or zero is the same everywhere on the
disc, and we wish that they pass the laser-lens system in same time
period. Find the angular speed of the disc when information is been
read from (a) the innermost first track (b) the outermost final track
(In typical CD player, the information passes by the laser-lens
system in a constant speed of 1.3 m/s)
The innermost first track
v
1.3m / s
 
2
r 2.3  10 m
The outermost final track
v
1.3m / s
 
2
r 5.8 10 m
 2.110 2 rev / min
Example: CD Player (continue)
The maximum playing time of a standard music CD is
74 minutes and 33 seconds. How many revolutions does
the disc make during that times?
Assuming the angular velocity is decreasing steadily
q f  q i  ( i   f )t / 2  2.8 10 4 rev
The angular acceleration

( f   i )
t
 7.6  10 3 rad / s 2
What’s the total length of track moves past the
objective lens during this time?
x  vt  (1.3m / s)(74  60s  33s)  5.8  10 3 m
Example: 離心機

15公尺，（一）需多大的角速度方能使太空人感

2
v
2
ar 
  r    ar / r
r
 11  9.8 / 15  26rev / min
Example: 離心機 （續）
（二）在此狀況下，於訓練艙中之太空人的線性

v  r  (2.68rad / s)(15m)  40m / s
（三）若此訓練機於兩分鐘的時間內，等加速的

  o
d q d
2
 2 
 
dt
dt
t
2

h

K = { mir2} 2/2 = I 2/2

Example: Flywheel

min的速度旋轉，問其儲存多少能量？
I  MR  (75kg)(0.25m)  2.34kg  m
  85000  2p  / 60  8900rad / s
2
2
1
1
K  2 I  2 (2.34kg  m)(8900rad / s)
1
2
2
1
2
2
 9.3 10 J  26 KW  hr
7

Example: Uniform Solid Cylinder
Solution
R
I Z   r 2 dmR  r 2 (2prdrL )
 2pL  r dr  pLR
03
1
2
4
   M / V  M / pR L
2
1
 I  2 MR
0
2

Some Rotational Inertias
Solid Cylinder
I = MR2/2
Solid Sphere
I = 2MR2/5
Solid Cylinder
I=
MR2/4 +ML2 /12
Thin Sphere
I = 2MR2/3
I = M (a2 +b2) /12

I  I CM  MD
2
ICM

M

D



I   r 2 dm   ( x  a ) 2  ( y  b) 2 dm

  a

dm
  x 2  y 2 dm  2a  xdm  2b  ydm
2
b
2

 I CM  0  0  a  b
 I CM  D M
2
2
2
 dm
Example: 一均勻長棒（如右

I   x dm  2 
2

2M
3L
( L / 2)
L/2
0
3

x 2  ML dx 
0 
3
1
12
2
ML

L
I   x dm   x
2
0

2 M
L
dx  
M
3L
L  0  
3
3
2
I

I

MD


CM
1
12
1
3
ML
ML  M  L   13 ML2
2
1
2
2
2

dr

dq 將直角座標位移量轉換為轉動運
q

dr = r dq,
dx = -r sinq dq = -ydq
dy = r cosq dq = xdq
dW = Fx dx + Fy dy = [ x Fy -y Fx ] dq  rF dq = t dq
t rF扮演類似於改變線性運動動能時，力所扮演的

t  r  F  rF sin   Fd

Example: （一）求

t  t
1
 t 2  R1F1  R2 F2
（二）若F1=5.0N
,R1=1.0m ,F2=15.0N,
R2=0.5m，其旋轉方向

t  (0.5N )(1.0m)  (15.0N )(0.5m)  2.5N  m

dFt  at (dm)

dt  rdFt  rat (dm)  r  (dm)   (r dm)
2
2

，但是其角加速度卻都一樣（對剛體而言）
t   dt    (r dm)  I
2

Example: Rotating Rod

mg
t  12 mgL  I
t
mg ( L / 2) 3g


2
I
mL / 3
2L
3g
at  L 

2

HW:可

Example:Atwood’s Machine

(1)m1 g  T1  m1a
(2)T3  m2 g  m2 a

(3)T1  T2 R  I (4)T2  T3 R  I
(3)  (4)  T1  T3 R  2 I 將(1)(2)式結果代入
2
a  (m1  m2 ) g m1  m2  2I / R 

dW tdq
dW  tdq  Power 

 t
dt
dt

d
W   dW   tdq   Idq   I
dq
dt
dq
2
2
1
1
 I
d   Id  2 I f  2 I i  K
dt

Example: Rotating Rod（續）固定點

mg

1
2
mgL  I 
1
2
3g
 
L
2

1 1
2 3

mL 
2
2
Example: 一系統如右圖所示。求



K  12 m1v 2f  m2v 2f  I 2f  0
U  m1 gh  m2 gh
 K  U  0
 v f  R f
 (m1  m2  I R )v  (m2  m1 ) gh
1
2
2
2
f
2(m2  m1 ) gh
v f 
2
(m1  m2  I R )
```