équation implicite

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Dérivation implicite
et
Taux de variation instantané
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre

Taux de variation instantané (exemple)

Définition : équation implicite

Exemples d’équations implicites

Dérivées de base

Technique de dérivation implicite

Exemples de dérivation implicite
Département de mathématiques
2
Taux de variation instantané (exemple)

Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le
haut. La position de la pierre au-dessus du fleuve, en fonction
du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est
en secondes et x(t), en mètres.
a) Déterminer la fonction donnant la vitesse de la
pierre en fonction du temps.
b) Déterminer la vitesse initiale de la pierre.
c) Déterminer le temps nécessaire pour que la pierre
cesse de monter.
d) Calculer la vitesse de la pierre après 4 secondes.
e) Déterminer la hauteur maximale qu’atteindra la
pierre.
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Exemple (suite)

Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le
haut. La position de la pierre au-dessus de la rivière , en
fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2,
où t est en secondes et x(t), en mètres.
f) Déterminer la hauteur du pont.
g) Déterminer la distance totale parcourue
par la balle.
h) Déterminer à quelle vitesse la balle
touche à l’eau.
i) Déterminer la fonction donnant
l’accélération de la pierre en fonction du
temps.
k) Représenter la fonction x(t) sur [0 , 6].
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4
Définition

Une équation implicite est une relation entre
différentes variables où une variable n’est pas
explicitée en fonction des autres.

Équations explicites (habituelles):



Équations implicites:



y = x2 - 2x + 3
x = 3y2 – y + 2
x2 – 2xy + 2y3 = 5x2y
(y2 + x)/(y2 – 2xy) =0
Remarque :Il faut noter qu’une équation implicite n’est
pas nécessairement une fonction.
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5
Exemples

Soit x2 – xy + y2 = 3 :

Soit x2 + y2 =25

Soit x3 + y3 = 9xy

Soit x2 – y2 = 16

Remarque : À l’époque de la création du calcul
différentiel, presque toutes les expressions algébriques
représentant des courbes prenaient la forme implicite.
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6
Dérivées de base (1 de 2)

d(x)
1
Dérivée de x par rapport à x :
dx

d(y)
1
Dérivée de y par rapport à y :
dy
dy
dx

Dérivée de y par rapport à x :

2
d(x
)
 2x
Dérivée de x2 par rapport à x :
dx
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Dérivées de base (2 de 2)

2
d(y
)
2
 2y
Dérivée de y par rapport à y :
dy

2
2
d(y
)
d(y
) dy
dy


 2y
Dérivée de y2 par rapport à x :
dx
dy
dx
dx
u = y2

du/dx
du/dy dy/dx
Dérivée de x2 y2 par rapport à x :
u
v
u’
v
u
v’
 2  dy  
d(x 2 y 2 )  d(x 2 ) 2   2  d(y 2 )   
2


 y   x  
   2x  y    x   2y dx  
dx



 dx
 
 dx  
 2xy 2  2x 2 yy '
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Technique de dérivation implicite


Soit une équation implicite : F(x,y) = G(x,y)
 Exemple : x2 + y2 = 3 + xy
d F(x,y)
d G(x,y)
Étape 1 : Calculer la dérivée des
=
dx
dx
deux membres de l’équation
{


d(x 2 + y 2 )
d(3  xy)
=
Exemple :
dx
dx
Étape 2 : Isoler dy/dx de l’équation obtenue à l’étape 1.

Exemple :
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dy
(y  2x)
=
dx
(2y  x)
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Exemple

Trouver la dérivée de y par rapport à x si
x3 + y3 – 3xy2 = 4.
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Exemple

Trouver l’équation de la tangente et de la normale
à la courbe x2 +y2 = 25 au point (3 , -4).
tangente
normale
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Exercice

Trouver la pente de la tangente au point (1 , 4)
de la courbe y3 + x4 – x2y + y3 = 69.
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Devoir

Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3, 4 (sauf d et e).

Exercices 4.4, page 161, nos 1 à 7

Exercices récapitulatifs, page 164, nos 6 (f est facultatif),
7a, 7b, 7e et 15
2
4



x yy
2x
ou
;
Réponses pour le no 6 : d) y’ = –x/y; e) y’ = 3
3
2
x  2xy
3y
dy
y
f)

.
2
dx x  y(x  y)
dy  x
3
3

, m( 3,4)  , m( 3,4) 
.
Réponse pour le no 7 e)
dx
y
4
4
Exercices récapitulatifs, page 200, no 1

Réponses : a)1 225 m; b) v(t)=-9,8t + 4,9 m/s et a(t) = -9,8 m/s2;
c) 4,9 m/s, -14,7 m/s et -9,8m/s2; d) 1 226,225; e) -155 m/s.
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Exemples de roses et de cardioïde
x
x
2
y
2

2
2
y
2

2

2
4 x y

 x x 2  3y 2
2


x y
2

3
 16x 2 y 2

x
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2
2
2
 y  3x

2

 32 x 2  y 2

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