CUCEI

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2

PCM es una clase de señal Banda – Base

Es un estándar utilizado para convertir una señal analógica en un
flujo de bits.
3

La modulación por codificación de pulsos (PCM) es una técnica que
se utiliza para convertir señales analógicas a digitales y poder
transmitirlas digitalmente sobre canales digitales en banda base.

Esta técnica ha sido muy importante en el proceso de digitalización
de las redes de telecomunicaciones.
PCM se realiza en
el bloque de
formato del
Sistema Digital de
Comunicaciones
4
5
6

7
El filtro pasa-banda limita a la señal de entrada al ancho de banda de
la señal de voz de entrada.
 Este filtro es llamado filtro anti-alias.
 El fenómeno de alias será analizado con detalle más adelante.
 Estos filtros pueden ser de primer, segundo o de orden mayor.
 Hay que comprender que a mayor orden, el filtro será mas selectivo,
pero a su vez mas costoso.
8
Jean Baptiste Joseph Fourier
1768 - 1830
10

Todas las señales pueden expresarse como una sumatoria de
señales senoidales de diferente amplitud, frecuencia y fase.

Para conocer la máxima frecuencia de una señal, se utilizan
las series y transformadas de Fourier.

Las series de Fourier son generadas por señales periódicas y
las transformadas de Fourier son generadas por señales no
periódicas.

Se utilizan las matemáticas de Fourier para descomponer
cualquier función en esas componentes senoidales.
11

Toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de
ondas simples.

Lo anterior es equivalente a que podemos construir una onda
compleja periódica mediante la suma sucesiva de ondas simples.

Esto es lo que se conoce como Teorema de Fourier.
12

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente
a una función periódica.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además
de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática
abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica,
óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos.

En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y
a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una
señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal
portadora del mismo.

Las series de Fourier tienen la forma:
0
+
2
∞
 cos
 =1

Donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de
Fourier de la función f(x).

Si f(t) es una función periódica y su período es T, la serie de Fourier
asociada a f(t) es:
0
()~ +
2
13
2
2
 +  



∞
 cos
=1
2
2
 +  




Donde a0, an y bn son los coeficientes de Fourier que toman los
valores:
2
0 =

14
 2
  ,
− 2
2
 =

 2
−
2
  cos
 ,

2
2
 =

 2
  
− 2
2
 

 La Transformada de Fourier es una potente herramienta de procesado
de señal digital. Sus áreas de aplicación son muy diversas; desde la
tomografía computarizada hasta el procesado de la señal eco de radar
a tiempo real.
∞
() − 2 
  =
−∞
 Donde:
 t = Tiempo
 f = Frecuencia en HZ
 x(t) = Señal de prueba
 e-2jft = Fasor de sondeo
 X(f) = Espectro en función de la frecuencia f
15
16

x(t) ↔ X(f), es decir para una función x(t) existe un equivalente X(f).

X(f), el espectro, revela la fuerza (energía) de varias componentes de
frecuencia, ordenadas por frecuencia.

La transformada de Fourier actúa como un detector de energía en
frecuencia-dependiente.

A partir de la transformada, podemos recuperar la señal original
tomando la transformada Inversa de Fourier.
∞
 
=
()   2 
−∞

Notar la simetría con respecto a la Transformada de Fourier.
∞
 
=
∞
()   2 
−∞
Transformada Inversa
17
() − 2 
  =
−∞
Transformada
Espectro de la señal 1
Espectro de la señal 2
Espectro de la señal 3
Espectro de la señal 4
Suma de todas las señales
18
19
20

Cuando la señal de entrada al sistema de comunicaciones es
analógica la señal debe de ser convertida a digital.
 El primer paso para este proceso consiste en muestrear la señal.
 El resultado de muestrear una señal será una señal PAM.
Acondiciona la
señal de entrada
22
23
•
El transistor MOSFET actúa como un interruptor.
•
Cuando el interruptor se cierra por efecto de un pulso de voltaje el
capacitor se “llena” con una cantidad de carga proporcional al voltaje
de entrada.
•
El tiempo que el MOSFET deja pasar la señal es llamado “tiempo de
apertura” o “tiempo de adquisición”.
•
Cuando el interruptor se abre, el capacitor se va vaciando lentamente.
•
Cuando llega otro pulso de muestreo, el capacitor se vuelve a llenar
con otra cantidad de carga proporcional al voltaje de entrada.
•
Por lo tanto, en realidad, la señal nunca cae a cero.
•
Teorema de muestreo (de Nyquist) establece la mínima frecuencia de
muestreo (fs
 –=“s”
2de
 sample) que puede utilizarse para un sistema PCM
específico.
•
 = 2
Si una señal de audio tiene una frecuencia máxima
(fm
 – “m” de max) el
muestreo se debe de realizar al doble de esta frecuencia máxima.
•
De no ser así, se tendrá una distorsión conocida como aliasing.
•
Matemáticamente el teorema de muestreo se expresa:
 ≥ 2
 ℎ
ó
 =
24
1
1
⟹  ≤
 


 = 2
25

Este es un caso de estudio matemático que nos ayuda a modelar el
proceso de muestreo.

Se supone que tenemos una señal x(t) analógica, la cual se va a
muestrear.

Esta señal tiene un espectro X(f) con una máxima frecuencia fm.

Para voz fm=4kHz y para música fm=20kHz.

En este caso, se realizará el muestreo con un tren de impulsos
unitarios (no confundir con “tren de pulsos”).
 La figura muestra el espectro del tren de pulsos.
26

La función impulso (función Delta de Dirac) es ampliamente utilizada
para probar sistemas y se define como:
∞
   = 1
−∞
  = 0   ≠ 0

27
Es decir, la señal solo tiene valor en t=0 y para los demás valores la
función vale cero.

Si la señal es desplazada a una posición  = 0 , la señal solo toma
valor en  = 0 y vale 0 en el resto.

La siguiente figura muestra un impulso desfasado definido como:
∞
−∞
  − 0  = 1
  − 0 = 0   ≠ 0
28
•
Por lo discutido anteriormente, el tren de impulsos se escribe
matemáticamente como:
∞
  =
  − 
−∞
•
29
Donde n=1,2,3,4,5,… y Ts es el periodo en segundos del tren de
impulsos:
30

Analizar el espectro del tren de impulsos para un Ts dado.

Dibujar el espectro para un tren de impulsos de Ts=1ms (f=1kHz) y
para otro caso de Ts=1us (f=1MHz).
•
•
31
Cuando una señal x(t) es multiplicada por un impulso   − 0
0 , es decir x( 0 ).
resultado es la señal x(t) evaluada en
Esto es porque
  − 0vale cero en cualquier t excepto en
el
0 .
 Considerando lo anterior, el muestreo consiste en multiplicar la señal
analógica con el tren de pulsos.
∞
  =     = ()
( − )
−∞
∞
  =
  ( − )
−∞
32
33
34
 Se utiliza la propiedad de convolución.
 Se dice que cuando dos señales son ,multiplicadas en el dominio del
tiempo, en el dominio de la frecuencia se convolucionan (Xs es el
espectro de la señal muestreada).
  =     ⟹   =   ∗  ()
 En este caso particular, se cumple que:
  ∗   −  =   − 
Es decir, al convolucionar el espectro X(f) con un impulso, el espectro X(f)
se desplaza hasta  .
35
 Así, si son muchos los impulsos como en el caso del tren de
impulsos, se tendrá la siguiente señal muestreada, donde el espectro
Xs(f) se repite cada  hertz.
1
  =   ∗   =   ∗

36
1
  =

∞
( −  )
−∞
∞
( −  )
−∞
37

¿Qué pasó cuando la frecuencia de muestreo fue inferior a la máxima
frecuencia de la señal muestreada?.

Ese fenómeno es llamado alias.
 Utilizar el teorema de muestreo.
 Muestrear al doble de la frecuencia máxima de la señal muestreada.
 Se recomienda realizar un sobre muestreo para asegurar reducir al
mínimo las interferencias.
 Por ejemplo, 8kHz para señal de voz (ancho de banda de la voz
3500Hz aprox).
38
 Hacer un ejemplo para cuando el espectro de x(t) va de -5kHz a
5kHz y el tren de impulsos tiene un periodo Ts=50us (fs=20kHz).
 No habrá efecto de alias
 Hacer un ejemplo para cuando el espectro de x(t) va de -5kHz a
5kHz y el tren de impulsos tiene un periodo Ts=1ms (fs=1kHz)
 Si habrá efecto de alias
39
 Sin embargo, el fenómeno de alias sigue siendo el mismo, es decir, es
necesario muestrear al doble de la frecuencia máxima de la señal x(t).
 La solución más común es utilizar un filtro anti-alias.
 Este filtro se coloca antes del proceso de muestreo.
 La figura muestra el ejemplo de un pre-filtro anti-alias.
Filtro
Anti-alias
40

41
El pre-filtro anti-alias,
elimina todas aquellas
frecuencias que sean
superiores a fm, para que
no sean tomadas en
cuanta en el proceso de
muestreo y no se
traslapen
sobre
el
espectro de las otros
espectros.
42

El pre-filtro es una buena idea, pero no resulta ser suficiente. Al no existir
los filtros ideales, siempre hay fugas de altas frecuencias, las que de
todas maneras producirán aliasing.

La mejor solución es combinar un filtro antialias con un sobre-muestreo.

El filtro antialias limita la señal, y el sobre-muestreo aleja los espectros una
distancia (en hertz) considerable.

Grabación de discos compactos.


43
Ancho de banda de la música 20kHz, muestreo a 44.1kHz.
Audio digital de alta calidad muestreado a 48kHz.
 En la realidad, el muestreo no se realiza con un tren de impulsos, sino
con un tren de pulsos.
44
 En análisis es muy similar, pero en este caso el espectro del tren de
pulsos difiera del espectro del tren de pulsos.
45
•
46
La consecuencia del muestreo natural es que el espectro de la señal
muestreada cambia ligeramente.
 Este tipo de ruido también es conocido como error de muestreo.
 Este fenómeno se presenta debido a que al muestrear la señal, la
nueva forma de onda obtenida no es idéntica a la señal analógica.
 Esta diferencia entre una señal y la otra es lo que llamamos ruido de
muestreo.
47
49

La cuantización consiste en asignar una cantidad finita de niveles a las
muestras obtenidas en el proceso de muestreo y retención.

Los hay de dos tipos:
 Uniforme. Los niveles de cuantización son equidistantes.
 No uniforme. Los niveles de cuantización no son equidistantes.

En el proceso PCM, a cada nivel se le asignará una cadena de bits,
con lo que se concluye el proceso de cuantificación-codificación.
50
 Paso: espacio entre un nivel y otro.
 El muestreo se realiza a la tasa de Nyquist.
 La cadena de bits depende del número de niveles que se desean.
 El número de niveles L=2n-1, donde n es el número de bits. Por
ejemplo 8 niveles para n=3bits y 256 niveles para n=16bits.
 La cuantización puede tomar valores tanto positivos como negativos.
51
 Cuando cada nivel es codificado, se utiliza un bit extra para indicar si la
muestra es positiva o negativa.
 También llamado ruido de cuantización.
 Este ruido se genera cuando las señales son ajustadas a los nuevos
niveles.
 Generalmente cada muestra es ajustada al nivel mas cercano. Esto
significa que la señal cuantificada difiere de la señal original, lo que
produce el error.
 Es considerado un ruido aditivo pues se manifiesta en la amplitud de la
señal.
 Si se tiene un paso entre nivel y nivel de L volts, el máximo error de
cuantización por muestra será de L/2.
52
•
53
Por lo general, los niveles de cuantización se pueden representar por
un diagrama de escalera, en donde se muestra la manera en que una
señal creciente adquiere los diferentes niveles.
 El rango dinámico es la relación de la magnitud mas grande posible a
la magnitud mas pequeña que puede codificarse.
 =
á
á
=
í ó
 Permite determinar el número de bits que se utilizarán para codificar la
señal muestreada.
54

El rengo dinámico suele expresarse en decibeles:
 = 20 = 20 log
55
á
á
= 20
í
ó

El número de bits utilizados para un código PCM depende del número
de niveles que se asignen en la cuantización.

Además, el número de bits asignados (n) a cada nivel (L) depende del
número de niveles.
56

Una vez conociendo el rango dinámico, es posible determinar el
número de niveles y por ende, el número de bits de codificación.

Ejemplo 1. Se desea muestrear una señal analógica de amplitud
máxima 0.5V. Supongamos que la resolución (tamaño del paso) es de
0.05V. Determine el número de niveles posibles y el tamaño del código
binario PCM.

Ejemplo 2. Un sistema PCM tiene los siguientes datos: una frecuencia
máxima analógica de entrada de 4kHz, amplitudes de señal de entrada
entre -2.5 y 2.5 y un rango dinámico de 46dB.
 Determine lo siguiente: mínima razón de muestreo, mínimo
número de bits utilizados en el código PCM, número de niveles de
codificación, resolución y error de cuantificación.
 Los primeros sistemas PCM la cuantificación era uniforme, es decir, el
cambio de magnitud entre dos pasos consecutivos es del mismo
tamaño.
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1. Se tiene un código PCM de 4 bits con bit de signo incluido.
¿Cuántos niveles de cuantificación se pueden tener?.
2. Dibuje el diagrama de escalera uniforme simétrico.
3. Encuentre el voltaje máximo si la resolución es de 0.1V.
4. Calcule el rango dinámico del proceso para dicha resolución.
5. Determine los voltajes de cuantificación para los siguientes códigos PCM:
(a) 1110
(b) 0001
(c) 1111
(d) 0111
6. ¿Qué código PCM se generará con las siguientes amplitudes?
(a) 0.25V
(b) 0.117
(c) -0.75
(d) 0.05
(e) 1.2V
58
59

En el proceso de cuantificación uniforme existe el problema de que el
error de cuantificación es más notorio con pequeñas de magnitud
pequeña.

A mayor amplitud de la muestra, el error es menos significativo.
 Por otro lado, se ha demostrado que en una señal de voz o de audio en
general las muestras de amplitud pequeña predominan.
 Este hecho y el hecho mencionado previamente producen grandes
errores de cuantificación.
 La solución es una cuantificación no uniforme.
60
 En este tipo de cuantificación, se generan más niveles para amplitudes
pequeñas, que para amplitudes grandes.
61
62
63

Una forma de implementar la cuantificación
“comprimiendo” la señal PAM antes de enviarla.

Esto significa que en el receptor la señal PAM debe de ser expandida
de nuevo.

A este proceso de comprimir y expandir se le llama Compansión
(COMpresión exPANSIÓN).
no
uniforme
es
 La compresión se realiza antes de la cuantificación.
 La expansión en el receptor, se realiza antes de decodificación.
 Existen dos métodos de compansión analógica dominante:
Compansión de la ley-μ y compansión de la ley-A
64
65

La
Ley
Mu
es
un
código
algorítmico
estándar
de
compresión/descompresión, utilizado para PCM por la CCITT (Comité
Internacional Consultativo para el Teléfono y Telégrafo).

Los primeros sistemas PCM se implementaron con funciones logarítmicas
suaves de compresión.

Hoy en día, la mayoría de los sistemas PCM usan pedazos de
aproximaciones lineales a la característica de compresión logarítmica. En
América del norte se utiliza la siguiente característica de compresión
llamada ley μ.
 = á
 1 +   á
 1 + 
  =
+1
−1
  ≥ 0
  < 0
 
66
•
En donde μ es una constante positiva, x y y representan los voltajes de
entrada y salida respectivamente, y xmáx y ymáx son las excursiones
positivas máximas de los voltajes de entrada y salida respectivamente.
•
Tal característica de compresión es mostrada en la siguiente figura para
diversos valores de μ.
•
El valor estándar de μ es 255. Note que μ=0 corresponde a una
amplificación lineal (cuantización uniforme).
•
67
Recomendación G.711 de la Intenational Telecommunications Unit
(ITU). Usada en USA y Japón.
•
Otra característica de compresión, usada principalmente en Europa, es la
ley A, definida como:
(  /á )

1
  0 <
≤
1 + log 
á 
=
1 + log ((  / á ))
1

á
 
<
≤1
1 + log 
  á
á
•
68
En donde A es una constante positiva. La característica de compresión de
la ley A se muestra en la siguiente figura para diversos valores de A. El
valor estándar para A es 87.6.
69

Se dice que la compansión es normalizada si tomamos Vmáx=1.

1 + 
  =
1 + ln⁡
(  )
1 + 
0≤  ≤

1
≤  ≤1

 1 + 

  =
. 1 + ln  − 1

70
1


1
1 + 

0≤  ≤

1
≤  ≤1
1 + 

71
Diagrama a bloques de un sistema de comunicaciones con compresión
analógica.
 PCM convencional utiliza una cadena de bits para representar el signo
y la magnitud de una muestra de la señal PAM.
 PCM delta, sólo se transmite un bit el cual indica si la muestra PAM es
mayor o menor que la anterior.
73
74
75
76
77

Sobrecarga de la pendiente.

Ruido Granular.
 Cuando cada muestra PCM tiene una alta correlación con sus vecinas,
por ejemplo en voz e imágenes, resulta conveniente cuantificar no la
señal PCM directamente, sino la diferencia entre la muestra presente y
una predicción de la misma basada en muestras anteriores.
 Esta diferencia debe ser pequeña y por tanto los mismos niveles de
cuantificación arrojarán un paso de cuantificación menor y así la señal
se parecerá mas a la original.
 Por supuesto esto involucra una mayor circuitería que la requerida para
PCM.
 La recompensa será una mayor relación señal a ruido para una misma
cantidad de bits, o una reducción en el número de bits para la misma
calidad o relación señal a ruido.
78
 En ocasiones, se tienen muchas muestras PAM similares, las cuales
son asignadas al mismo nivel de cuantificación.
 Esto produce el envío de muchos códigos repetidos.
 DPCM aprovecha esta redundancia entre muestras.
 Con DPCM, se transmite la diferencia entre las amplitudes de las dos
muestras sucesivas.
79
80
81

Es un método para codificar de alta resolución o señales analógicas en
señales de baja resolución digitales.

La conversión se realiza mediante retroalimentación de error, cuando la
diferencia entre dos señales se mide y se utiliza para realizar la
conversión.

La señal de baja resolución normalmente cambia mas rápido que la
señal de alta resolución y puede ser filtrada para recuperar la señal de
alta resolución con poca o ninguna pérdida de fidelidad.

Esta técnica ha encontrado un uso creciente en los modernos
componentes electrónicos

83
tales como analógico-digital (ADC) y convertidores digital-analógicos (DAC),
los sintetizadores de frecuencia, fuentes de alimentación conmutadas,
fuentes de alimentación y los controladores de motor.
84
85
86

Consideremos en primer lugar las formas de onda de la izquierda.

1 es la entrada y para este corto
intervalo es constante a 0,2 V. La
corriente de impulsos delta se
muestra en (2) y la diferencia entre
(1) y (2) se muestra en (3). Esta
diferencia se integra para producir
la forma de onda (4).

El detector de umbral genera un
pulso de (5) que comienza como la
forma de onda (4) cruza el umbral y
se mantiene hasta que la forma de
onda (4), cae por debajo del
umbral. Dentro del bucle (5) activa
el generador de impulsos y
externos a los incrementos de
bucle del contador.
 Es necesario que la relación entre el intervalo de impulso y el intervalo
sumador sea igual a la máxima escala completa. Es entonces posible
que la duración del impulso y el intervalo, sumando a ser definida por
el mismo reloj con una disposición adecuada de la lógica y contadores.
 Esto tiene la ventaja de que ni el intervalo tiene que ser definido con
precisión absoluta, ya que sólo la relación es importante. Después de
conseguir la precisión general, sólo es necesario que la amplitud del
impulso sea definido con precisión.
87
88

A la derecha de la entrada es ahora 0,4 V y la suma durante el
impulso es -0,6 V frente a -0,8 V a la izquierda.

Así, la pendiente negativa durante el impulso
es inferior a la derecha de la izquierda.

El efecto resultante es que la integral (4)
cruza el umbral más rápidamente a la
derecha de la izquierda. Un análisis completo
mostraría que, de hecho, el intervalo entre los
cruces del umbral de la derecha es la mitad
que en la izquierda. Así, la frecuencia de los
impulsos se duplica. De ahí que los
incrementos de recuento en el doble de la
velocidad a la derecha para que a la
izquierda que es coherente con la tensión de
entrada que se duplicó.
 Construcción de las formas de onda se ilustra en (4) es ayudada por
los conceptos asociados con la función delta de Dirac en que todos los
impulsos de la misma fuerza producir el mismo paso cuando se
integra, por definición.
 Entonces (4) se construye utilizando un paso intermedio (6) en la que
se representa cada impulso integrado por un paso de la fuerza
asignada que decae a cero en la velocidad determinada por la tensión
de entrada.
 El efecto de la duración del impulso finito se construye en (4) al trazar
una línea desde la base de la etapa de impulso a cero voltios a la línea
de intersección de la descomposición (6) en toda la duración del
impulso.
89
 Sus ventajas se resumen en el hecho de emplear codificación de pulsos
para la representación digital de señales analógicas, característica que lo
distingue de todos los demás métodos de modulación analógica.
 Algunas de sus ventajas más importantes son:
 Robustez ante el ruido e interferencia en el canal de comunicaciones.
 Regeneración eficiente de la señal codificada a lo largo de la
trayectoria de transmisión.
 Formato uniforme de transmisión para diferentes clases de señales en
banda base, lo que permite integrarlas con otras formas de datos
digitales en un canal común mediante el multiplexado en tiempo.
 Facilidad de encriptar la información para su transmisión segura.
90
 El precio a pagar por las ventajas anteriores es el mayor costo y
complejidad del sistema, así como el mayor ancho de banda necesario.
 Respecto a la complejidad, la tecnología actual de circuitos integrados
en gran escala (VLSI) ha permitido la implementación de sistemas a,
relativamente bajo costo y facilitado el crecimiento de este método o de
sus variantes.
91

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