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Métodos Numéricos
Juan Manuel Rodríguez Prieto
I.M., M.Sc., Ph.D.
Integración numérica
Integración numérica
• Objetivo: aproximar el valor de la integral
b
I = ò f (x)dx
a
• Limitaciones de la integración analítica
• Las expresiones analíticas de f (x) son
desconocidas
• f (x) tiene una integral analítica complicada o
desconocida
Integración numérica
de Newton-Cotes
• Métodos que remplazan una función complicada
o datos tabulados por un polinomio de
aproximación que es fácil de integral
b
b
a
a
I = ò f (x)dx @ ò fn (x)dx
• Donde
fn (x)
es un polinomio de la forma
Integración numérica
de Newton-Cotes
Aproximación de una integral mediante el área
bajo una línea recta.
Integración numérica
de Newton-Cotes
Aproximación de una integral mediante el área
bajo una parabola.
La regla del trapecio
La regla del trapecio es la primera de las formulas de integración de NewtonCotes. Corresponde al caso donde el polinomio es de primer grado (línea
recta).
b
b
I = ò f (x)dx @ ò a0 + a1 x dx
a
La recta que pasa por los puntos
a
(a, f (a)) y (b, f (b))
esta dada por:
f (b) - f (a)
a0 + a1 x = f (a) +
(x - a)
b-a
El área bajo la línea recta f1(x) es una aproximación de la integral de f(x) entre
los límites a y b
b
f (b) - f (a)
f (a) + f (b)
I @ ò f (a) +
(x - a)dx = (b - a)
b-a
2
a
La regla del trapecio
b
f (a) + f (b)
I = ò f (x)dx @ (b - a)
2
a
Geométricamente, la regla del trapecio equivale a aproximar el área
bajo la curva f(x), como el área del trapecio que se forma al unir los
puntos (a, f (a)) (b, f (b))
Error de la regla del trapecio
Cuando usamos la integral bajo un segmento de línea recta para
aproximar la integral bajo una curva, se tiene un error que puede ser
importante. Una estimación al error de truncamiento para una sola
aplicación de la regla del trapecio es
1
Et = - f ''(x )(b - a)3
12
Donde x esta en algún lugar del intervalo de a a b
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio
f (a = 0) = 0.2
f (b = 0.8) = 0.232
b - a = 0.8
f (a) + f (b)
0.2 + 0.232
I @ (b - a)
= 0.8
= 0.1728
2
2
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
El área bajo la curva es mucho mayor que el área debajo de la
aproximación lineal, de acuerdo a la gráfica mostrada en la
diapositiva anterior.
¿Cuanto es el error debido al aproximar la integral del polinomio
de grado usando la regla del trapecio?
0.8
I=
ò
0.8
f (x)dx =
0
= 1.640533
2
3
4
5
(0.2
+
25x
200x
+
675x
900x
+
400x
)dx
ò
0
Ejemplo de la regla del trapecio
El error porcentual es de
E(%) =
1.640533 - 0.1728
*100 = 89.5%
1.640533
¿Cómo se puede disminuir el error?
Se puede dividir el intervalo de interés, en más
intervalos. En otras palabras aplicar varias veces
la regla del trapecio en el intervalo de interes
La regla del trapecio de aplicación
múltiple
Una forma de mejorar la precisión
de la regla del trapecio consiste en
dividir el intervalo de integración
de a a b en varios segmentos, y
aplicar el método a cada uno de
ellos. La área asociada a cada uno
de los intervalos se suman después
para obtener la integral en todo el
intervalo.
Las
ecuaciones
resultantes se llaman fórmulas de
integración, de aplicación múltiple
o compuesta.
Vamos a dividir el intervalo de
interés en n segmentos del mismo
ancho, es decir tendremos n+1
puntos igualmente espaciados.
La regla del trapecio de aplicación
múltiple
Aplicando la regla del trapecio a cada una de las integrales
La regla del trapecio de aplicación
múltiple
Simplificando, se obtiene
b
n-1
hé
ù
I = ò f (x)dx @ ê f (a) + 2å f (xi ) + f (b)ú
2ë
û
i=1
a
n-1
é
ù
b
ê f (a) + 2å f (xi ) + f (b) ú
i=1
ú
I = ò f (x)dx @ (b - a) ê
2n
ê
ú
a
êë
úû
Erro de la regla del trapecio de
aplicación múltiple
(b - a)3 n-1 ''
Et = f (xi )
3 å
12n i=1
Simplificando, se obtiene
n-1
''
f
å (xi )
(b - a)3 i=1
Ea =
12n 2
n
(b - a)3 ''
=
f
2
12n
Así, si se duplica el número de segmentos, el error de truncamiento se divide
entre 4
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple
Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4
f (a = 0) = 0.2
f (x1 = 0.4) = 2.456
f (b = 0.8) = 0.232
b
b-a
= 0.4
n
h
I = ò f (x)dx @ [ f (a) + 2 f (x1 ) + f (b)]
2
a
0.4
=
0.2 + 2 * 2.456 + 0.232 ]
[
2
= 1.0688
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple
Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple
Usaremos inicialmente n=2, lo cual da un h=0.4
E(%) =
1.640533 -1.0688
*100 = 34.9%
1.640533
Utilizando dos divisiones del intervalo el error ha disminuido de un
89.5% a un 34.9%
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple
Usaremos n=3, lo cual da un h=0.2667
f (a = 0) = 0.2
f (x1 = 0.2667) = 1.4327
f (x2 = 0.5333) = 3.4872
b-a
= 0.2667
n
f (b = 0.8) = 0.232
b
h
I = ò f (x)dx @ [ f (a) + 2 f (x1 ) + 2 f (x2 ) + f (b)]
2
a
0.4
=
0.2 + 2 *1.4327 + 2 * 3.4872 + 0.232 ]
[
2
= 1.3695
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple
Usaremos inicialmente n=3, lo cual da un h=0.2667
Ejemplo de la regla del trapecio
Aproxime la integral de la curva
f (x) = 0.2 + 25x - 200x 2 + 675x 3 - 900x 4 + 400x 5
Entre a=0 y b=0.8 usando la regla del trapecio de aplicación múltiple
Usaremos inicialmente n=3, lo cual da un h=0.2667
E(%) =
1.640533 -1.3695
*100 = 16.5%
1.640533
Utilizando dos divisiones del intervalo el error ha disminuido de un
89.5% a un 34.9%
Ejemplo de la regla del trapecio
múltiple en Matlab
n = 5;
a = 0;
b = 0.8;
x = linspace(a,b,n+1);
x2 = x.*x;
x3 = x2.*x;
x4 = x3.*x;
x5 = x4.*x;
y = 0.2+25*x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5;
integral = y(1);
for i = 2:n
integral = integral + 2*y(i);
end
integral = integral + y(n+1);
h = (b-a)/n;
integral = integral*h/2;
integral
Ejemplo de la regla del trapecio
múltiple en Matlab
for n= 2:15
a = 0;
b = 0.8;
x = linspace(a,b,n+1);
x2 = x.*x;
x3 = x2.*x;
x4 = x3.*x;
x5 = x4.*x;
y = 0.2+25*x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5;
integral = y(1);
for i = 2:n
integral = integral + 2*y(i);
end
integral = integral + y(n+1);
h = (b-a)/n;
integral = integral*h/2;
resultado(n-1,:)= [n,h, integral];
end
Resultados obtenidos para diferentes
valores de n
n
h
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Integral
0,4000
1,0688
0,2667
1,3696
0,2000
1,4848
0,1600
1,5399
0,1333
1,5703
0,1143
1,5887
0,1000
1,6008
0,0889
1,6091
0,0800
1,6150
0,0727
1,6195
0,0667
1,6228
0,0615
1,6254
0,0571
1,6275
0,0533
1,6292
A medida que n incrementa, el valor de
la integral que se obtiene usando la regla
del trapecio múltiple se aproxima a la
solución analítica
Regla de Simpson 1/3
Además de aplicar la regla del trapecio con una
segmentación fina, otra forma de obtener una
estimación más exacta de una integral consiste en
usar polinomios de grados superior para unir los
puntos.
Por ejemplo, otro punto entre la mitad entre f(a)
y f(b), los tres puntos se pueden unir con una
parábola. Si hay dos puntos igualmente
espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se
pueden unir con mediante un polinomio de
tercer grado.
Las formulas que resultan de tomar las integrales
bajo esos polinomios se conocen como reglas de
Simpson
f (x0 ) = a0 + a1 x0 + a2 x02
f (x1 ) = a0 + a1 x1 + a2 x12
f (x2 ) = a0 + a1 x2 + a2 x22
é 1 x
0
ê
ê 1 x1
ê
êë 1 x2
x02 ù é a0
úê
2
x1 ú ê a1
úê
2
x2 ú ë a2
û
ù é f (x0 ) ù
ú ê
ú
ú = ê f (x1 ) ú
ú ê f (x ) ú
2
û ë
û
é a0 ù é -(x1 x2 ) / (x0 x1 + x0 x2 - x1 x2 - x02 ) -(x0 x2 ) / (x0 x1 - x0 x2 + x1 x2 - x12 )
(x0 x1 ) / (x0 x1 - x0 x2 - x1 x2 + x22 )
ê
ú ê
2
2
2
a
ê 1 ú = ê (x1 + x2 ) / (x0 x1 + x0 x2 - x1 x2 - x0 ) (x0 + x2 ) / (x0 x1 - x0 x2 + x1 x2 - x1 ) -(x0 + x1 ) / (x0 x1 - x0 x2 - x1 x2 + x2 )
ê a ú ê
-1 / (x0 x1 + x0 x2 - x1 x2 - x02 )
-1 / (x0 x1 - x0 x2 + x1 x2 - x12 )
1 / (x0 x1 - x0 x2 - x1 x2 + x22 )
ë 2 û êë
ù é f (x ) ù
0
úê
ú
ú ê f (x1 ) ú
úê
ú
úû ë f (x2 ) û
Regla de Simpson 1/3
b
b
h
I = ò f (x)dx @ ò f2 (x)dx = [ f (x0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 )]
3
a
a
é f (x0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 ) ù
I @ (b - a) ê
úû
6
ë
I @ Ancho por altura promedio
Regla de Simpson 1/3
Error
1 5 4
Et = - h f (x )
90
(b - a)5 4
Et = f (x )
2880
Así, la regla de Simpson 1/3 es más exacta que la regla del trapecio. Además,
es más exacta de lo esperado, porque en lugar de ser el error proporcional a la
tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. En otras
palabras, da resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se
obtenga un parábola.
Aplicación de la regla de Simpson
1/3
Aproxime el valor de la integral de la siguiente función
f (x) = 0.2 + 25x - 200x + 675x - 900x + 400x
2
3
4
Usando la regla de Simpson 1/3
f (a = 0) = 0.2
f (x1 = 0.4) = 2.456
f (b = 0.8) = 0.232
é 0.2 + 4 * 2.456 + 0.232 ù
I @ 0.8 ê
= 1.367467
ú
6
ë
û
5
Aplicación de la regla de Simpson
1/3
Error
Aproxime el valor de la integral de la siguiente función
f (x) = 0.2 + 25x - 200x + 675x - 900x + 400x
2
3
4
5
1.640533 -1.367467 )
(
E=
100 = 16.6%
t
1.640533
Es aproximadamente 5 veces más precisa que una sola aplicación de la regla del
trapecio
Regla de Simpson 1/3 de aplicación
múltiple
La regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de integración en
varios segmentos de un mismo tamaño.
Se debe utilizar un número par de segmentos para implementar el método
Aproxime el valor de la integral de la siguiente función
f (x) = 0.2 + 25x - 200x + 675x - 900x + 400x
2
3
4
5
Usando la regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple
f (a = 0) = 0.2
f (x1 = 0.2) = 1.288
f (x2 = 0.4) = 2.456
f (x3 = 0.6) = 3.464
f (b = 0.8) = 0.232
é 0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0,232 ù
I @ 0.8 ê
= 1.623467
ú
12
ë
û
Regla de Simpson3/8
De manera similar a la obtención de la regla del trapecio y Simpson 1/3,
es posible ajustar un polinomio de Lagrange de tercer grado a cuatro
puntos e integrarlo
I@
3h
f (x0 ) + 3 f (x1 ) + 3 f (x2 ) + f (x3 ))
(
8
(b - a)5 4
Et = f (x )
6480
La regla 3/8 es más exacta que la regla de 1/3.
Por lo general, se prefiere la regla de Simpson 1/3, ya que alcanza una
exactitud de tercer orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos
requeridos en la versión 3/8. No obstante, la regla de 3/8 es útil cuando
el número de segmentos es impar.
Regla de Simpson3/8
Aproxime el valor de la integral de la siguiente función
f (x) = 0.2 + 25x - 200x + 675x - 900x + 400x
2
3
4
5
Usando la regla de Simpson 3/8
f (a = 0) = 0.2
f (x1 = 0.2667) = 1.432724
f (x2 = 0.5333) = 3.487177
é 0.2 + 3(1.432774 + 3.487177) + 0.232 ù
I @ 0.8 ê
= 1.519170
ú
8
ë
û
f (b = 0.8) = 0.232
Et =
1.640533 -1.519170
100 = 7.4%
1.640533
Tarea
Evalué la integral siguiente:
p /2
ò 8 + 4 cos(x)dx
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
De forma analítica 0
Con una aplicación de la regla de trapecio
Con aplicación múltiple de la regla de trapecio n=3
Con una aplicación de la regla de Simpson 1/3
Con una aplicación de la regla de Simpson 3/8
Et =
1.640533 -1.519170
100 = 7.4%
1.640533

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