Jak uczyć zadań na dowodzenie na różnych etapach edukacyjnych

Report
Jak uczyć zadań na
dowodzenie na różnych
etapach edukacyjnych
Niwki, 28.01.2013r.
Od 2010 roku matura z matematyki jest
obowiązkowa na poziomie podstawowym.
W arkuszach maturalnych na poziomie
podstawowym znajdują się zadania ze
standardu piątego dotyczącego rozumowania i
argumentacji w których uczeń powinien
prowadzić proste rozumowanie, składające się
z niewielkiej liczby kroków.
W arkuszu rozszerzonym także występują
zadnia dwa zadania ze standardu piątego.
Najtrudniejsze są zadania na dowodzenie z
geometrii, dlatego że zdający powinien
sporządzić rysunek, wprowadzić zgodnie z
założeniem oznaczenia, zauważyć kilka
własności geometrycznych i wyodrębnić, co
jest założeniem a co tezą (w wielu
przypadkach uczniowie traktują tezę jako
założenie).
Twierdzenia matematyczne możemy
dowodzić, stosując dwie metody:
dowodzenie wprost i nie wprost.
Można wykorzystać także zasadę indukcji
matematycznej, nie została ona jednak objęta
podstawą programową. Aby stwierdzić
prawdziwość twierdzenia, przeprowadza się
rozumowanie zgodne z prawami logiki zwane
dowodzeniem tego twierdzenia. W dowodzie
korzystamy z założeń dowodzonego
twierdzenia, aksjomatów lub z wcześniej
udowodnionych twierdzeń.
Dowód, w którym rozpoczyna się od
założeń, przeprowadza się wnioskowanie i
w ten sposób dochodzi do tezy nazywa się
dowodem wprost.
Dowód nie wprost polega na
zaprzeczeniu tezy dowodzonego
twierdzenia i wykazaniu, że przyjęcie
takiego zaprzeczenia prowadzi do
sprzeczności z założeniem lub wcześniej
dowiedzionym twierdzeniem lub
aksjomatem. Uzyskana sprzeczność
oznacza, że rozpatrywane twierdzenie
należy uznać za prawdziwe.
W zadaniach typu uzasadnij, że… uczeń ma
wskazany cel, który powinien osiągnąć,
poszukując odpowiedniego sposobu oraz
powołując się na znane własności.
W zbiorze zadań występują także zadania
typu uzasadnij, że…, chociaż główną część
ich dowodu stanowią obliczenia lub
budowanie modelu matematycznego.
Zdający powinien zastosować strategię,
która jasno wynika z treści zadania lub
zbudować model matematyczny do pewnej
sytuacji i krytycznie ocenić jego trafność
Wykaż, że liczba
 = + + + −  ∗  , gdzie  ∈  i
jest liczbą parzystą.
1.
D: Aby wykazać, że liczba jest parzysta,
należy pokazać, że liczba jest podzielna
przez 2. Korzystając z działań na potęgach,
liczbę x możemy zapisać w postaci:  =
7 72 + 7 − 2 = 7 ∗ 54 = 2 ∗ 27 ∗ 7 , wobec
tego liczb x jest liczbą parzystą.
2. Uzasadnij, że liczba
+ − + +  − 
jest podzielna przez 10.
: 7+2 − 2+2 + 7 − 2 = 10k, n, k ∈ +
 = 7+2 − 2+2 + 7 − 2 =
= 7 49 + 1 − 2 4 + 1 =
=50 ∙ 7 − 5 ∙ 2 =
=7 ∙ 50 − 2−1 ∙ 10 =
=10 74 ∙ 5 − 2−1 =
=10 = ,
 ∈ +
3. Wykaż, że liczba
 +  ∗  + 
jest podzielna przez liczbę 2016.
D: 20152015 + 2 ∗ 20152014 + 20152013 =
= 20152013 20152 + 2 ∗ 2015 + 1 =
= 20152013 2015 + 1 2 = 20152013 ∗ 20162 ,
więc liczba jest podzielna przez 2016
4. Wykaż, że jeśli liczby a, b, c są pierwszymi, różnymi
liczbami to stosunek odwrotności tych liczb



+ + nie jest liczbą naturalną.



Założenie: liczby a, b, c są liczbami pierwszymi (liczbami
pierwszymi nazywamy te liczby naturalne, które mają tylko
dwa dzielniki)
1
1
1
Teza: + + nie jest liczbą naturalną



Zauważmy, że ten dowód będzie nam łatwiej poprowadzić
metodą nie wprost.
1
1
1
D(nie wprost): Załóżmy, że + + = ,  ∈ ,



Pomnóżmy obie strony równania przez abc, zatem
 +  +  = ,
 =  −  − 
 =   −  − 
Czyli liczba bc, która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych
dzieli się przez a. Zachodzi więc sprzeczność z założeniem, bo
liczby a, b, c są liczbami pierwszymi zatem teza jest
prawdziwa.
Trzy elementarne nierówności i
ich zastosowania
Przy dowodzeniu nierówności stosujemy
elementarne przejścia równoważne,
przeprowadzamy rozumowanie typu: jeżeli
 ≥  oraz  > 0, to  ≥  2 ≥  2 .
Własność 1: Dla każdych liczb
rzeczywistych a i b prawdziwa jest
nierówność:  +  ≥ , przy czym
równość zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy a=b.
1° D:  −  2 ≥ 0 2 − 2 +  2 ≥ 0
2 +  2 ≥ 2
Lub:
2° D: 2 +  2 ≥ 2
2 − 2 +  2 ≥ 0
−
Własność 2: Dla każdych nieujemnych
liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest
+
nierówność
≥ .
1° D:
− 
2
≥0
 − 2  +  ≥ 0
+
 +  ≥ 2 
≥ ,
2
Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko
wtedy, gdy a=b lub
+
2° D:
≥ 
2
 +  ≥ 2 
 − 2  +  ≥ 0
− 
2
≥0
Własność 3: Dla każdych liczb rzeczywistych
a i b takich, że  > , prawdziwa jest


nierówność + ≥ .


1° D:  −  2 ≥ 0 2 − 2 +  2 ≥ 0 2 +  2 ≥ 2,
z założenia  > 0
2

2
+

Lub
2° D:
≥2








+ ≥ 2, równość zachodzi gdy  = 
+ ≥2
2 +  2 ≥ 2
2 − 2 +  2 ≥ 0
 −  2 ≥ 0,
Nierówność prawdziwa dla każdych liczb
rzeczywistych a i b takich, że  > 0
1.
Wykaż, że jeżeli , ,  > 0, to  +   +  
2. Jeżeli  ,  , … ,  ∈ +   ∙  ∙ … ∙  = , to
 +   +   +  ∙ … ∙  +  ≥  .
W dowodzie wykorzystamy związek między
średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch
liczb dodatnich (własność 2)
3. Uzasadnij, że
 ° +  ° +  ° + ⋯ +  ° = .
D: Korzystając z własności sumy logarytmów
można zapisać:
log 1° + log 2° + log 3° + ⋯ + log 89° = log 1° ∙ 2° ∙
4. Wykaż, że zachodzi równość:
1
log 4∙log4 
D: L=
= |4 − | dla  = 3 lub  = 5.
1
log 4∙ log4 
=
log4 
log4 
=1
(z zamiany podstawy logarytmu).
4 −  = 1 4 −  = 1˅ 4 −  = −1
 = 3 ˅ = 5).
6

5. Uzasadnij, że równanie 5 −  = ma
trzy rozwiązania 1 , 2 , 3 takie, że jedno z
nich jest iloczynem dwóch pozostałych.
6. Uzasadnij, że dla k=2, równanie |
7. Wielomian W(x) jest wielomianem
stopnia czwartego, którego pierwiastkami
są liczby -2, -1, 1, 2. Uzasadnij, że

2

3
= 1.
8. Uzasadnij, że zbiorem wartości funkcji
f x =
2
2
 +
,  ∈  jest zbiór 0; 1 > .
9. Wiedząc, że dla pewnego ciągu
geometrycznego  ) o wyrazach dodatnich
prawdziwa jest równość 16 = 257 ∙ 8 , wykaż,
że iloraz tego ciągu  = 2. Symbol  oznacza
sumę n kolejnych początkowych wyrazów ciągu
 ).
10. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny
1 
 ) określony wzorem  =
,  = 1, 2, 3 …
2
Uzasadnij, że należy wziąć co najmniej 14
kolejnych wyrazów tego ciągu, aby ich suma
różniła się od sumy wyrazów tego
nieskończonego ciągu geometrycznego o mniej
niż 10−4 .
11. Dana jest funkcja
  = 2 cos 2 2) + cos 2) i
  = 2 sin2 2) − cos 2). Wykaż, że   +   = 2.
12. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej 
1
prawdziwa jest nierówność sin3  ∙ cos  − cos 3  ∙ sin  ≤ .
4
13. Kod dostępu do komputera Bartka złożony jest z
trzech kolejnych naturalnych potęg liczby 4 ułożonych
w kolejności od największej do najmniejszej. Suma tych
potęg jest równa 5376. Znajdź kod dostępu do
komputera Bartka, zapisz rozumowanie.
4 + 4+1 + 4+2 = 5376
4 1 + 4 + 16 = 5376
4 ∗ 21 = 5376
4 = 256
4 = 44
Kod Bartka składa się z następujących potęg: 44 45 46 , czyli 25610244096.
14. Uzasadnij, że pole trójkąta, w którym
dwa boki mają długość 126 i 32, nie jest
większe od 2016.
D: Korzystając z wzoru na pole trójkąta:
1

2
=
∙ sin , gdzie  jest kątem między
dwoma bokami trójkąta otrzymamy:
1
∆ = ∙ 126 ∙ 32 ∙ sin  = 2016 ∙ sin 
2
Zauważmy, że 0 < sin  ≤ 1, zatem pole
trójkąta nie przekroczy liczby 2016.
15. W trójkącie ABC, w którym  = 
,  =   ∢ =  z wierzchołka C
poprowadzono dwusieczną kąta, która
przecięła bok AB w punkcie D. Wykaż, że
2 cos 
 =
.
+
16. W trójkąt, którego boki mają długości
, , , wpisano okrąg i następnie
poprowadzono styczną do tego okręgu
równoległą do boku o długości c, nie
zawierającą tego boku. Wykaż, że długość
odcinka będącego częścią wspólną
poprowadzonej stycznej i trójkąta ma
 +−
długość  =
.
++
17. Wykaż, że dwusieczne dwóch sąsiednich
kątów równoległoboku są prostopadłe.
18. Dwusieczne kątów przy podstawie w
trapezie przecinają się w punkcie należącym do
krótszej podstawy. Wykaż, że długość krótszej
podstawy jest równa sumie długości ich
ramion.
19. W trójkącie prostokątnym promień okręgu
wpisanego ma długość r, zaś promień okręgu
na nim opisanego ma długość R. Wykaż, że
pole tego trójkąta jest równe  = 2 +  2
20. Podstawą ostrosłupa  jest
kwadrat  o boku długości . Odcinek
DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość
h. Punkt M jest środkiem odcinka DS.
Wykaż, że pole przekroju tego ostrosłupa
płaszczyzną BCM jest równe 
3
=  42 + ℎ2 .
8
21. W graniastosłupie prawidłowym
trójkątnym ściany boczne są kwadratami.
Uzasadnij, że  =
15
,
5
gdzie  jest kątem,
jaki tworzy przekątna ściany bocznej z
sąsiednią ścianą boczną.
22. Uzasadnij, że jest 28800 liczb
naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie
których występuje dokładnie raz cyfra 7 i
dokładnie dwa razy cyfra 4.
23. Listonosz losowo rozmieszcza osiem
listów w sześciu różnych skrzynkach na
listy. Uzasadnij, że prawdopodobieństwo
tego, że w każdej skrzynce znajdzie się
665
przynajmniej jeden list, jest równe
.
5832
24. Z 75 sześcianów o krawędzi długości 1
Bartek zbudował graniastosłup prawidłowy
czworokątny, którego każda krawędź miała
długość większą od 1. Wszystkie ściany
graniastosłupa pomalował na niebiesko a
następnie rozłożył graniastosłup na
początkowe sześciany. Czy podane zdania są
prawdziwe czy fałszywe? Zaznacz właściwą
odpowiedź.
A] Sześcianów z trzema ścianami niebieskimi było 8.
□Prawda
□Fałsz
B] Sześcianów z dwiema ścianami niebieskimi było więcej niż sześcianów z jedną
ścianką niebieską.
□Prawda
□Fałsz
C] Z sześcianów, które nie miały żadnej niebieskiej ściany można zbudować
sześcian.
□Prawda
□Fałsz
Na IV etapie edukacyjnym na poziomie
podstawowym ta sama treść zadania, lecz inne
polecenie:
Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy
jeden sześcian. Oblicz prawdopodobieństwo
wylosowania sześcianu:
A] z jedną pomalowaną ścianą,
B] z trzema pomalowanymi ścianami.
Na poziomie rozszerzonym sformułujemy pytanie:
Z 75 tak pomalowanych sześcianów losujemy
trzy sześciany. Oblicz prawdopodobieństwo,
że co najmniej dwie ściany sześcianu są
pomalowane .
Dziękuję za uwagę 
Opracowała M. Romanowska

similar documents