Minicurso sobre o software MODELLUS

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Mini Curso: Modellus
Análise de modelos matemáticos por
meio de simulações computacionais
Mini Curso: Modellus
Modellus é uma aplicação disponível gratuitamente que
permite que os alunos e professores (ensino secundário e
superior) utilizem a matemática para criar ou explorar modelos
de forma interativa.
O Modellus é usado para introduzir a modelagem
computacional, que nos permiti elaborar de maneira fácil e
intuitiva modelos matemáticos usando a notação matemática
padrão.
Possibilita, também, criar animações com objetos interativos
relacionados às expressões matemáticas descritas no modelo.
Desta forma, propicia explorar as múltiplas representações e
analisar dados experimentais em forma de imagens, animações,
gráficos e tabelas.
O principal foco do Modellus é a modelagem e o significado dos
modelos.
Mini Curso: Modellus
1) Acessar a página
http://modellus.co/index.php/pt/baixar
2) Seguir a instruções fornecidas
Mini Curso: Modellus
Em um único ambiente (tela) o software
oferece as opções:
1) Janela do Modelo
Mini Curso: Modellus
Nesta janela digitão-se as funções
matemáticas que representam o
modelo.
Podem ser utilizadas quantas funções
quanto forem necessárias.
EXERCÍCIO: Na Janela Modelo digitar
x = t^2
Que representa a função f(t) = t2.
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2) Janela do Gráfico
Mini Curso: Modellus
Nesta janela o software plota o gráfico
da função descrita na janela Modelo
EXERCÍCIO:
Clique na “setinha” verde
localizada no canto
inferior à esquerda.
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2) Janela do Tabela
Mini Curso: Modellus
Nesta janela o software exibe para cada
valor atribuido à variável independente
t, o correspondente valor de x(t)
EXERCÍCIO:
Observe a tabela criada pelo software
Mini Curso: Modellus
Obtendo uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus
Observe que o software plotou os pontos
(-2, 4), (-1, 1), (0,0), (1, 1)e (2, 4), e em
seguida uniu tais pontos por meio de um
segmento de reta.
É assim que o software plota o gráfico. Ou
seja, para cada valor de t, ele calcule o x(t)
correspondente, marca cada ponto (t, x(t))
e uni cada ponto por meio de um segmento
de reta.
Mini Curso: Modellus
Como melhorar o gráfico?
Basta alterar o Δt
EXERCÍCIO:
Na barra no topo superior, clique em Variável
Independente, altere o Δt para 0.1 e clique na
“setinha” verde (canto inferior à esquerda) e
observe o novo gráfico e a nova tabela.
Mini Curso: Modellus
Assim obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus
Observe que o gráfico se
assemelha à curva esperada e a
tabela exibi os valores
assumidos por t e os respectivos
valores de x(t)
Mini Curso: Modellus
Análise do itens que constam
na barra superior
Início
Ao clicar em Início obtemos as
opções
Mini Curso: Modellus
Mini Curso: Modellus
Neste item cabe destacar a opção
Casas Decimais.
Como o software utiliza cálculos para
marcar os pontos do gráfico, ele
realiza aproximações determinadas
pelo número de casas decimais que
for escolhida nesta opção.
Mini Curso: Modellus
EXERCÍCIO:
Na opção Casas Decimais, altera para
3, por exemplo. Em seguida, retorne
ao modelo desenvolvido até o
momento e clique na “setinha” verde.
Observe o que ocorre no gráfico e na
tabela.
Mini Curso: Modellus
Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus
Observe que a tabela
exibi valores de t e de
x(t) com três casas
decimais
Mini Curso: Modellus
Variável independente
Nesta opção cabe destacar
que é possível alterar o
“nome” da variável
independente, o passo desta
variável e o intervalo de
variação.
Mini Curso: Modellus
EXERCÍCIO:
Altere o nome da variável.
Altere o passo para 0.001 (três casas
decimais, que é possível, pois na opção
Início foi determinado que seriam 3 casas
decimais).
Altere o intervalo de variação.
Clique na “setinha” verde e observe.
Mini Curso: Modellus
Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus
Modelo
Nesta opção pode-se escolher o
tipo de função que pretende-se
trabalhar.
Por exemplo, função potência
x^n, função extrair raiz
quadrada, etc.
Mini Curso: Modellus
Destaques desta opção
Taxa de Variação dx/dt
Neste caso o software interpreta
dx/dt como a derivada da
função descrita no modelo e
plota o gráfico desta função.
Mini Curso: Modellus
EXERCÍCIO:
Clique em dx/dt.
Clique no sinal de igual no teclado
do computador.
Coloque dx/dt =2.
Clique em Interpretar.
Mini Curso: Modellus
O que ocorreu?
O software apresentou a opção de
determinar Condições Iniciais.
Neste caso, o software entende
que para t=t_0 (0 valor inicial que
foi estipulado no intervalo de
variação de t), deve-se colocar
x(t_o) = condição inicial desejada.
Mini Curso: Modellus
Por exemplo:
Caso 1: x = 0
Caso 2: x = 1
Caso 3: x = -1
Caso 4: x = 10
Mini Curso: Modellus
Obtemos uma tela como a seguir.
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Na tabela:
2° coluna: x -> caso 1, cor =amarelo
3° coluna: x -> caso 2, cor = verde
4° coluna: x -> caso 3, cor = ciano
5° coluna: x -> caso 4, cor = azul
Mini Curso: Modellus
Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus
Na Gráfico:
1° coluna: x -> caso 1, cor = amarelo
2° coluna: x -> caso 2, cor = verde
3° coluna: x -> caso 3, cor = ciano
4° coluna: x -> caso 4, cor = azul
Mini Curso: Modellus
Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus
E o resultado final é
Mini Curso: Modellus
Condição
Nesta opção podemos escrever
funções que são definidas por
partes.
Mini Curso: Modellus
EXERCÍCIO:
Na janela do Modelo digitar:
1. x =
2. Clicar em Condição, opção que
aparece na barra superior
3. Escolher –t , se t<= 1
4. t^2 + 2
Mini Curso: Modellus
Obtemos uma tela como a seguir
Mini Curso: Modellus
Observe que:
Para 0<= t <= 1, o software plotou o
gráfico da função x(t) = -t e para
1 < t <= 3, foi plotado o gráfico da
função x(t) = t^2 + 2.
No ponto t = 1 ocorreu algo diferente.
Observando a tabela, percebe-se o
que houve.
Mini Curso: Modellus
Importante
Este tipo de opção nos permite
utilizar os recursos tecnológicos
para desenvolver melhor a idéia de
Composição de funções.
Para entender melhor isso vamos
fazer um exercício.
Mini Curso: Modellus
EXERCÍCIO:
Na janela do Modelo digite
1. x = sin(t)
2. y = abs(x)
Observe que a composição resulta
na função |sen(t)|
Mini Curso: Modellus
Assim obtemos como resultado
Mini Curso: Modellus
Parâmetros
Esta opção nos auxilia a plotar
gráfico de funções que
dependem de um determinado
parâmetro.
Para entender melhor isso
vamos fazer um exercício.
Mini Curso: Modellus
EXERCÍCIO:
Na janela modelo digite a
expressão x(t) = sin(A x t) e
clique em no botão Interpretar,
que se localiza na barra
superior.
Mini Curso: Modellus
Observe que automaticamente
o software abre a opção
Parâmetros.
Faça:
Caso 1: A = 2
Caso 2: A = 0.5
Caso 3: A = -0.25
Mini Curso: Modellus
Marque os respectivos casos
e cores nas opções Tabela e
Gráfico.
Mini Curso: Modellus
E assim obtemos a figura
Mini Curso: Modellus
Objetos
Esta opção nos permite introduzir
na tela elementos, tais como
Mini Curso: Modellus
Vamos entender melhor
isto por meio de um
exercício.
Mini Curso: Modellus
EXERCÍCIO:
Vamos representar por meio de
simulação computacional todas as
variáveis que envolvem a equação
do movimento
S = s_0 + v_0 t + 0.5 a t^2
Mini Curso: Modellus
Na janela do Modelo digite as
expressões:
s_0 = 4 x t
v_0 = s_0 + t^(0.5) – 2 x t + 4
a = sin(t)
s = s_0 + v_0 x t + a x t^2
Mini Curso: Modellus
Na janela do Tabela e Gráfico
escolha:
s_0 -> cor azul
v_0 -> cor verde
a -> cor vermelha
s -> cor amarelo
Mini Curso: Modellus
Assim obtemos a figura
Mini Curso: Modellus
Podemos inserir novos elementos
neste ambiente, onde cada
elemento representa uma das
expressões.
Mini Curso: Modellus
Inserir uma partícula que
represente a variação do espaço
Clique em Objetos;
Clique em Partícula;
Clique no local da tela onde se
deseja colocar esta partícula;
Mini Curso: Modellus
Relacionando a partícula com a
equação do espaço
Clique na partícula;
Escolha sua representação (cão);
Em Coordenadas, para Horizontal
escolha t e para Vertical escolha s.
Escolher cor = amarelo.
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Assim obtemos a figura
Mini Curso: Modellus
Inserir um Vetor que represente o
espaço inicial
Clique em Vetor na barra superior;
Clique no local da tela onde deseja-se
localizar este vetor;
Relacione o vetor com a expressão que
representa o espaço inicial, como no
caso anterior (Coordenadas ->
Horizontal = t , Vertical = s_0, cor =
azul)
Mini Curso: Modellus
Assim obtemos uma figura como a seguir.
Mini Curso: Modellus
Inserir uma Caneta
Clique em Caneta na barra superior;
Clique no local da tela onde deseja-se
colocar a caneta;
Relacionar a caneta à expressão que
representa a aceleração a como antes
(Coordenadas -> Horizontal = t,
Vertical = a);
Escolher cor = vermelha.
Mini Curso: Modellus
Assim obtemos uma figura como a seguir
Mini Curso: Modellus
Inserir um objeto Analógico
Clique em Analógico na barra superior;
Clique no local da tela onde deseja-se
localizar o objeto;
Escolha Fundo = branco, Ponteiro = verde,
Tipo = relógio;
Para relacionar o relógio com a expressão da
velocidade inicial, na barra superior, em
Variável escolha v_0.
Mini Curso: Modellus
Assim, obtemos uma figura como a seguir
Mini Curso: Modellus
A figura final é como a seguir
Mini Curso: Modellus
LIMITE DE FUNÇÕES
Na definição de limite de uma função f(x),
quando x tende à um número real a, temos
que estabelecer uma relação entre Epsilon e
Delta, que representam distâncias.
Uma forma de verificar este tipo de relação
é observando a Tabela gerada pelo software,
e atentar para as casas decimais.
Para entender isso melhor, vamos analisar
um exercício.
Mini Curso: Modellus
Exercício:
Considere a função
O objetivo é calcular
Pela definição:
Vamos utilizar o software para gerar uma
tabela que relaciona as distâncias Epsilon e
Delta.
Mini Curso: Modellus
Início: Escolher 3 casa decimais;
Variável Independende:
Mudar o nome da vriável para x
Δx = 0.001
Variação de x: de 1.9 à 2
Modelo:
Digitar
Mini Curso: Modellus
A =2
L=4
d = abs(x - a)
E = abs(f - L)
Tabela:
Marcar
1° coluna -> x
2° coluna -> f
3° coluna -> E
4° coluna -> d
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Gráfico:
1° coluna -> f
Clicar na “setinha” verde e observar o
gráfico e a tabela gerados pelo software.
O gráfico nos auxilia a analisar o valor do
limite e a tabela nos ajuda a verificar a
relação entre os Epsilons e os Deltas.
Mini Curso: Modellus
Assim obtemos
Mini Curso: Modellus
OBSERVAÇÃO INTERESSANTE
Observando a tabela verifica-se que
Isso se deve ao fato de
Faça o seguinte exercício:
Troque a função original por
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Neste caso, L = 8 (observe os valores de f(x)
na tabela).
Observando a tabela gerada pelo software
percebe-se que
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Neste caso, isso ocorre pois
O software gerou
Mini Curso: Modellus
Exercício:
f(x) = x^2 – 1
a=2
L=3
Então
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Com isso obtemos
Colocar na janela Modelo
md = (E + 4)^(0.5) – 2
Colocar md na tabela e comparar com o gerado
pelo software.
Assim obtemos
Mini Curso: Modellus

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