Ondas mio

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Ondas
Frentes de onda y rayos
• Frentes de onda: lugar geométrico de los
puntos del espacio que están en fase.
– 1D=Líneas (onda plana)
– 2D=círculos
– 3D=esferas
• Rayos: Líneas perpendiculares a los frentes
de onda. Indican la propagación de la onda.
Energía de una onda
• Toda la energía de una onda armónica se
produce en el foco, que realiza un MAS
• Definimos la Potencia producida por el foco
como la energía que produce por unidad de
tiempo:
– P=ΔE/ Δt; Unidad=J/s=Watio=W
Propagación
• La energía producida en el foco se distribuye
entre cada vez más osciladores (si se propaga
en 2D o 3D, al menos), de tal forma que como
cada vez son más “tocan” a menos.
• Como la EMAS=1/2kA2, los osciladores más
lejanos tendrán menos A hasta desaparecer la
onda, incluso aunque el medio sea
perfectamente elástico y no absorba energía.
¿relación r (distancia al foco) y A?
• Para ver dicha relación, introducimos un
nuevo concepto, la Intensidad de una onda.
Si nos preguntamos de qué depende la energía solar que entra
por una ventana, responderemos que del tiempo y de la
superficie de la ventana.
• I= ΔE/ Δt ΔS=Energia que atraviesa en la unidad de tiempo
la unidad de superficie colocada perpendicularmente a la
dirección de propagación. Unidad=W/m2
Un foco y 2 frentes de onda
• Por los 2 atravesará la misma potencia, la que
se produce en el foco
P=I1S1=I2S2
I14πr12=I24πr22
I1r12=I2r22
I α 1/r2
¿Y con A?
• Ya sabemos que I disminuye con el cuadrado
de r. ¿Y A?
• La intensidad I será proporcional a la energía
de cada oscilador (ΔE/ Δt ΔS) , y por tanto,
proporcional a
A2 ->
Iα
2
A
Sale…..
• Combinando las 2 expresiones anteriores
• I α A2
• I α 1/r2
• A2 α 1/r2->A α 1/r
Si se quiere ser riguroso: E=1/2kA2=1/2m4π2ν2A2= 2mπ2ν2A2
Ecada superficie=nº osciladores/S(=σ)·4πr2·Potencia de un oscilador=
σ·4πr2· 2mπ2ν2A2. Al igualar en cada superficie se obtiene:
A12r12= A22r22
Onda atenuada. Sin pérdida de energia
Absorción de energía por el medio
• Absorción. Paneles para absorber el sonido.
ΔI/I0=-βL->
ΔI/I=-β Δx
I
I
dI/I =-βdx
0
 
0 
=

− βdx
0
L
Propagación: Huygens
• Propagación de una onda: Todo punto de un
frente de ondas se convierte a su vez en un
emisor de ondas secundarias cuya envolvente
es el nuevo frente de ondas.
Uso del P. Huygens: Difracción
Se usa para demostrar las leyes
de la reflexión y la refracción
Una onda llega a un cambio de
medio…
• Y en esa interfase se producen 2 ondas, una que
vuelve al medio original (reflexión) y otra que
atraviesa al segundo medio (refracción).
Nota: A veces la refracción no es posible: Medio opaco a la luz, cuerda amarrada
en un extremo.
– Reflexión: Rayo en un espejo, Eco del sonido: Cambio
de dirección de la onda dentro del mismo medio al
llegar a la superficie de separación entre 2 medios.
– Refracción: Rayo de luz en un prisma: Cambio de
dirección de una onda que pasa a otro medio debido a
su cambio de velocidad de propagación.
Ley de la reflexión y la refracción
• 1ª. Los rayos incidente, reflejados, refractado
y la normal a la superficie están en el mismo
plano.
• 2ª. REFLEXION: El ángulo que forma el rayo
incidente con la normal es el mismo que el
que forma el ángulo reflejado con la normal
Seguimos…
• 3ª: Ley de Snell: El cociente entre el seno del
ángulo de incidencia y de refracción es igual al
cociente entre las velocidades de propagación
de la onda en ambos medios
•
 1
 2
=
1
2
• Situaciones en la refracción:
Ruedas en un plano inclinado
Difracción
• la difracción es un fenómeno característico de
las ondas. Se basa en el curvado y esparcido
de las ondas cuando encuentran un obstáculo
o al atravesar una rendija.
• La difracción ocurre en todo tipo de ondas
• Se observa muy bien si la rendija L≈λ
Interferencias
• Cuando llegan 2 o mas ondas a un punto se
suman sus efectos->Principio de
superposición.
• Fenómenos propiamente ondulatorio.
• La luz no se sabía si era onda o partícula (rayos
no coherentes), hasta que se realizó el
experimento de la doble rendija>Experimento de Young
Experimento Young
INTERFERENCIA DE DOS PULSOS DE ONDA
Estudio gráfico
n=0
n=1/2
n=1
n=3/2
n=2
n=3
A
B
n=4
Cresta de la onda
C
Valle de la onda
Interferencia constructiva
F1
Punto A:
Distancia foco 2: x2=9 (Cresta)
Distancia foco 1: x1=6 (Cresta)
Difer. de camino: x2-x1=3
Tipo Interferencia: Constructiva
Punto B:
Distancia foco 2: x2=6,5 (Valle)
Distancia foco 1: x1=5,5 (Valle)
Difer. de camino: x2-x1=
Tipo Interferencia: Constructiva
F2
Interferencia destructiva
Punto C:
Distancia foco 2: x2=7 (Cresta)
Distancia foco 1: x1=2,5 (Valle)
Difer. de camino: x2-x1=4,5
Tipo Interferencia: Destructiva
Fotografía de interferencias de una cubeta de ondas
Analíticamente
1 =   − 1 + 
1 + 2
2 = ( − 2 + )
=    − 1 +  + ( − 2 + )
sena  senb  2 sen
ab
2

−1 +
cos
ab
2
tendríamos:
1 + 2 =  =
+(−2 +)
−1 +

−(−2 +)
2
2
2
2− 1 +2 +2
(2 −1 )
1 + 2 =  2

=
2
2
(2 −1 )
1 +2
2
  +  − 
2
2
• Interferencia constructiva:
(2 − 1 )
2 (2 − 1 )
(2 − 1 )
= ;
= ;
2

2

=
• Interferencia destructiva:
(2 − 1 )
 2 (2 − 1 )
= (2 − 1) ;
2
2 
2
 (2 − 1 )
1
= (2 − 1) ;
= (2 − 1)
2

2
Caso especial de interferencias
Ondas estacionarias
Ondas Estacionarias
• Son un caso especial de interferencias en el que
una onda, confinada en un medio, interfiere con
su reflejo.
• Se producen en:
– Instrumentos de cuerda: cuerda y caja de resonancia.
– Instrumentos de viento: La onda de presión que se
produce en la lengüeta interfiere con el reflejo
producido en la boca del tubo (cambio de
presión=cambio de medio)
– Modelo de Bohr:
Observemos una onda reflejándose
Una onda, al llegar a un punto de cambio de medio en el que no puede vibrar,
se refleja y además se invierte.
Se puede ver en el dibujo superior o en video en los siguientes 2 enlaces:
- https://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs&feature=plcp
- https://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI&feature=plcp
Analiticamente
−
+
Recordemos que   −   = 2 2  2
Al reflejarse una onda transversal en un punto fijo experimenta un cambio de fase
de 180º. El signo menos de y2 aparece porque sen(180+α)=-senα
1 = ( + )
 + =    +  − ( − )
2 = −( − ) 1 2
2
2
= 2

2
2
 =    
=   cos  ,    = 2()
El resultado es una sucesión de M.A.S. de A variable
según la distancia x
Nodos y vientres
• Hay partículas que oscilan con mucha amplitud (el doble de la original) y
partículas que no oscilan en absoluto (siempre se encuentran quietas). En
una onda estacionaria, en realidad no hay propagación de energía, sino
que existe un intercambio de energía cinética y potencial para cada
partícula del medio, es un estado de vibración.
• Nodos: puntos de no vibración: 2AsenKx=0 ->xnodos=0, λ/2, λ; etc
DISTANCIA ENTRE NODOS: λ/2
• Vientres: puntos de vibración máxima: 2AsenKx=+1 o -1 ->xvientres= λ/4,
3λ/4, 5λ/4; etc
DISTANCIA ENTRE VIENTRES: λ/2
Con esos datos y la idea que nodos y vientres están siempre intercalados
(a distancia λ/4) se pueden construir múltiples ondas estacionarias
En una cuerda
• Los extremos, al estar fijos, serán NODOS.
• Podemos producir varias ondas estacionarias (para
calcular su λ /2 recordar que la distancia
N-N= λ /2; V-V= λ /2 y N-V= λ /4 :
La primera tiene una frecuencia:
ν0=v/λ =v/2L. Se denomina
1er armónico o vibración fundamental
La cuarta tiene una frecuencia:
ν4=v/λ =2v/L=4v/2L=4ν0 .Se denomina
4º armónico o 3er sobretono
En una flauta
• En el extremos cerrado nodo y en el otro
vientre y en medio las distintas posibilidades
música
• Si tenemos en cuenta que la velocidad de una onda en una cuerda
viene dada por
– T= Tensión de la cuerda
– μ= densidad lineal (m/L)
• A mayor T mayor v y según lo anterior mayor frecuencia. Las
cuerdas producen sonidos más agudos al tensionarlas.
• Las cuerdas de los bajos son mas densas, mayor μ, y por tanto
menor v y menor frecuencia.
• Si bien se trata de una explicación grosera -una primera
aproximación- los agujeros laterales que tienen los instrumentos de
viento tienen en el efecto de alargar y acortar la longitud del tubo.
Lo propio hace el asa deslizante del trombón. Las curvas que deba
pegar la columna de aire no tienen ningún efecto sonoro, los
instrumentos las tienen para ahorrar espacio.
Onda estacionaria (Applet de java)
Videos
• Ondas estacionarias en video:
– Con extremos abiertos (vientres):
https://www.youtube.com/watch?v=7_GeW73SGnc
&feature=plcp
– Con los 2 extremos fijos (nodos):
https://www.youtube.com/watch?v=jovIXzvFOXo&f
eature=plcp
- Con un extremos libre y el otro fijo:
https://www.youtube.com/watch?v=DWhCdlPM19
M&feature=plcp
Efecto doppler
• Consiste en el cambio de la frecuencia percibida
por un observador (es un cambio aparente)
cuando hay movimiento relativo entre él y el
foco.
– Dopler (1842)->Sonido
– Fizeau (1848) ->ondas electromagnéticas (luz). El rayas
del espectro del H emitido por la luz de una galaxia se
“corren” hacia el rojo->Las galaxias se alejan->Hubble.
– Usaremos f en las ecuaciones en lugar de ν porque
aparecen muchas velocidades v que se pueden prestar
a confusión.
Es super útil
• Rádar de la policia (basado en el cambio de
frecuencia de la onda de radar emitida por el
aparato del coche policia y la onda reflejada
por el vehículo infractor)
• Ecografia doppler
• Astronomia
Efecto doppler del espectro del H
• Corrimiento hacia el rojo de la luz estelar.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Hubble
ejemplo
Un flash del efecto doppler
Estudio gráfico
Nace una onda. En el instante inicial el foco, que se encuentra en el origen, emite
una onda.
0
Estudio gráfico
Al cabo de un tiempo igual al período, T, el frente de la onda emitida antes llega a
λ y, mientras tanto, el emisor se ha movido a vfocoT y desde ahí emite el siguiente
frente de ondas.
1T
vfocoT
0 1
Estudio gráfico
Al cabo de un tiempo igual al 2T, el frente de ondas emitido desde el punto 0 está a
2λ del origen y el emitido desde el punto 1 avanzó λ desde su punto de emisión, vfocoT.
Mientras tanto, el emisor se ha movido a 2vfocoT y desde ahí emite el siguiente
frente de ondas.
λ-vfocoT
2T
2vfocoT
0 1 2
λ
2λ
La distancia entre 2 frentes de onda consecutivos
según se acercan al observador ya no es λ, sino
λ-vfocoT
Estudio gráfico
Cada frente avanza λ desde su anterior posición. El móvil avanza.
3T
3vfocoT
0 1 2 3
λ
3λ
2λ
La distancia entre 2 frentes de onda consecutivos
según se acercan al observador ya no es λ, sino
λ-vfocoT
¿Qué frecuencia mide el observador?
• A él los frentes no le llegan cada T segundos, sino
antes, ya que la distancia entre frentes es  −
 · =  ·  −  ·  = ( − ) · 
• Esa distancia se tarda en recorrer un tiempo  =
( − )·

=
.Ese t será el período


aparente que percibirá el observador, lo que
tardan en llegarle 2 frentes de ondas
consecutivos, T’.
′
• La  =
1
′
=

( − )·
=


 −
Seguimos…
• Si el observador estuviese “detrás” (el foco se
aleja de él), el signo del denominador sería el +,
ya que los frentes tardarían más en llegar, al tener
que recorrer  +  · .
1


′
 = ′=
=

( + ) · 
 + 
• Agrupando ambas expresiones:

+     
′
 =
 ±  −     
Para recordar

+     
 =
 ±  −     
• Para recordar el signo debemos recordar que si el
foco se acerca al nosotros, al observador, “acelera” la
llegada de las ondas, llegan antes, con un T’ menor y
por tanto con una frecuencia ν’ mayor. El signo del
denominador será el que hace que ν’ aumente, el
signo • Si el foco se aleja de nosotros, espacia aún mas la
llegada de los frentes, T’ mayor y ν’ menor. El signo
del denominador será el que hace que ν’ aumente, el
signo +
′
¿Y si se mueve el observador?
• El efecto es similar, pero la causa es el
“aceleramiento” o “retraso” en la llegada de
los frentes por causa del movimiento del
observador. Los frentes de onda son
perfectamente concéntricos, pero el
observador, al moverse a través de ellos,
acelera o retrasa su llegada.
¿Se ve?
0
demostración
• Desde que el observador atraviesa el primer frente de ondas,
el siguiente frente y él se dirigen al encuentro. Son como los
trenes que salían de 2 estaciones distintas separadas que
estudibais en 4º. Cada uno recorre para encontrarse vobs·t y
vonda·t y se encuentran cuando la suma de sus recorridos vale
λ. Ese t será el período T’ percibido por el observador


′
′
 =   +  ;  =
=
 +   + 
1  + 
= =
=
′

1  + 
 + 
=
>



′
resumen
• Al igual que antes, el signo será - si
se produce la situación contraria, el
observador se aleja.
• El resumen es:
 ± −   .  
 =

+   .  
′
Resumen
• Observador fijo- foco moviéndose:

+     
′
 =
 ±  −     
• Foco fijo-observador moviéndose:

±
−   .  


′
 =
+   .  

Combinamos…
• Si los 2 se mueven las combinamos y hacemos
que la ν’ del 1º sea la ν del segundo:

 ±
′
 =
 ± 

 ± 
′
 =
 ± 
SIGNOS
′
•  =
±

±
Se debe pensar en cada signo
independientemente del otro y pensando en
como influye individualmente en la f’
SITUACION
Signo foco
F
O
F
F
F O
Signo observador
-
-
O
-
+
O
+
+
+
-
Error
• Error muy extendido. La regla de los signos:
• La regla de los signos es:
– Si hay aproximación relativa la ν’ aumenta.
Aumenta el numerador(+) y disminuye el
denominador (-)
– Si hay alejamiento relativo la ν’ disminuye.
Disminuye el numerador(-) y aumenta el
denominador (+)
Un flash del efecto doppler
Un vídeo sobre el mismo efecto
Y otro sobre el mismo, pero en “divertido”.
The Bing Bang Theory. Sheldon Cooper y su disfraz
Y el último: Applet de java
Ejercicios
Un tren que se mueve con una velocidad de 40
m/s hace sonar su silbato, con una frecuencia de
500 Hz. Calcula las frecuencias escuchadas por
un observador en reposo a medida que el tren
se le aproxima y una vez que se aleja.
V(sonido)=340 m/s
S: 566 Hz y 447 Hz
Ejercicio
Una ambulancia viaja por una recien inagurada
autovía de Toledo a una velocidad de 40 m/s. Su
sirena emite un sonido de frecuencia 300 hz.
¿Con qué frecuencia escucha la sirena un
observador que viaja a 25 m/s en sentido
contrario)
a) Cuando se aproxima a la ambulancia
b) Cuando se aleja de ella. V(sonido)=340 m/s
S: 487 Hz y 332 Hz
Ejemplo interferencias
Un ejemplo: Un experimentador conecta dos tubos de goma a la
caja de un diapasón que es excitado eléctricamente y mantiene
los otros extremos de los tubos en sus oídos. Aumentando
progresivamente la longitud de uno de ellos, aprecia que cuando
la diferencia entre ambos es de 18 cm percibe por primera vez
un sonido de intensidad mínima. Se trata de determinar cuál es
la frecuencia del diapasón y la longitud de la onda sonora
correspondiente. (Considérese la velocidad del sonido en el aire
340 m/s.)
Solución
En este caso el diapasón equivale a dos focos, al generar ondas idénticas que
se propagan por caminos diferentes. Si el primer mínimo se consigue cuando
es igual a 18 cm, aplicando la condición de mínimo se tendrá:
x2-x1=λ/2
luego:
λ=2(x2-x1)=2·18=36 cm
Dado que la frecuencia f y la longitud de onda l están relacionadas por la
ecuación
v=l·ν
se tendrá:
 340 /
= =
= 940 

0,36 
Ejemplo Doppler
Una lancha rápida se acerca a la pared vertical de un
acantilado en dirección perpendicular. Con la ayuda de
un aparato de medida el piloto aprecia que entre el
sonido emitido por la sirena de su embarcación y el
percibido tras la reflexión en la pared del acantilado se
produce un salto de frecuencias de 440 Hz a 495 Hz. ¿A
qué velocidad navega la lancha? (Tómese la velocidad
del sonido en el aire v = 340 m/s.)
Solución
Observador (O) en movimiento y foco (F) en reposo:
′ =  1 +
0

(O se acerca al F)
Observador (O) en reposo y foco (F) en movimiento:
′ =


1+ 0
(F se acerca al O)

Como se dan ambos casos, se aplicará sucesivamente ambas transformaciones a la frecuencia
emitida f para obtener la frecuencia percibido f'
′ = 
1+ /
1− /
=
1+ /
1− /
=
+
−
pues en este caso vF = vO
Sustituyendo resulta:
495 = 440
y despejando vF se tiene:
vF = 20 m/s = 72 km/h
340 + 
340 − 
El sonido
• Qué sabemos:
– Onda de presión
– Longitudinal
– Mecánica
Producción y propagación
• Mecanismo de producción:
– Voz humana
– Instrumentos
– oido
oido
• Entre 20 Hz y 20000 Hz (20 kHz)
• v(sonido en el aire)=340 m/s
• 17m>λ>1,7 cm
– Si f<20 Hz: infrasonidos
– Si f>20 kHz: ultrasonidos. Ambos no audibles. ¿Por
qué se usan los ultrasonidos)? λ bajo. Poder
resolución.
Velocidad del sonido
medio
Velocidad
hierro
5950 m/s
Aire seco
340 m/s
agua
1500 m/s
 =


ϒ=coeficiente adiabático=1,4 para los gases
diatómicos, como el aire
R=constante de los gases ideales=8,31 J/K·mol (ojo
unidades)
T=Temperatura absoluta
M=masa molecular del gas. Para el aire (21% O2 y 79 N2)
Maire=(21·32+79·28)/100=28,9 g/mol
Propiedades del sonido
• Tono: Es la cualidad que nos permite distinguir
los agudos (o altos) de los graves (o bajos). Es la
frecuencia. Las distintas notas musicales se
corresponden con frecuencias distintas.
• Timbre: Permite distinguir quién produce el
sonido y distinguir la voz de una persona de otra,
el sonido de un instrumento de otro… Se
relaciona con la complejidad de las sonidos, que
nunca son ondas puras (salvo los diapasones),
sino mezclas de armónicos.
Intensidad
• Como en cualquier onda:
• I= ΔE/ Δt ΔS=Energía que atraviesa en la unidad de tiempo la
unidad de superficie colocada perpendicularmente a la dirección de
propagación. Unidad=W/m2
• I es proporcional a A2 y a 1/r2
• Pero la sensación sonora (subjetiva) no es
proporcional a la intensidad. Para que una
persona aprecie que un sonido tiene doble
volumen que otro es necesario que el primero
sea aproximadamente 10 veces mayor.
Intensidad sonora
• Umbral de audición: La intensidad más baja que
se puede oír para una frecuencia dada. A 1000 Hz
la I. umbral se estima en I0=10-12 W/m2 y ahí
pondremos el cero de nuestra escala de
intensidad sonora
• La máxima intensidad sonora del tímpano
humano sin ocasionar dolor se estima en 1 W/m2.
Hay una variabilidad de 1012 W/m2 entre el
mínimo y el máximo. No pondremos máximo
porque el sonido puede ser de mayor intensidad
y dañar el timpano.
Decibelios
Por esa enorme variabilidad se emplea para medir
intensidades sonoras una escala logarítmica cuyas divisiones
son potencias de 10.
Se define intensidad sonora (en belios, B, en honor a
Alexander Graham Bell) como el logaritmo del cociente entre
la I del sonido y la I umbral:
  = 

0
(en B)
Se suele usar más un submúltiplo del Belio, el decibelio (dB). 1
B=10 dB. Para usar la formula anterior en dB haremos la
conversión de unidades:
   =

10 
 
0
1
= 



(en dB)
decibelios
La formula anterior puede
escribirse también como:
 =  / (β en decibelios)
10 dB->I=10I0
20 dB->I=100I0
30 dB->I=1000I0
Cada 10n dB la I se multiplica
por 10n
Eliminadas
Otra manera muy parecida de verlo
El observador acelera la llegada de los frentes
de onda. La velocidad relativa de las ondas con
respecto al observador es vrel=vonda+vobs, ya que van
al encuentro (principio de Galileo)

  + 
′
′
 = =  ;  =
=
=
′


1  + 
 + 
=
>



0
Al igual que antes, el signo será - si
se produce la situación contraria, el
observador se aleja

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