Capítulo 2. Productos notables y factorización

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1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
1.Una suma por una diferencia.
2. Binomio al cuadrado.
3. El producto de dos binomios con un término
en común.
4. El cuadrado de un multinomio.
 a  b a  b
 a  b a  b  a
2
b
2
 s  5 s  5
s5

s_____
5
2
s  5s
 5s  25
__________
2
s  0  25
 s  5 s  5  s
2
 25
3a  2b3a  2b
 3a  2b  3a  2b 
  3a    2b   9a  4b
2
2
2
 3a  2b  3a  2b   9a
2
2
 4b
2
 2h
3
 7k
2
 2h
3
 7k
2

 2h  7k  2h  7k  
  2h    7 k  
3
2
3
3 2
2 2
 4h  49k
6
 2h
3
 7k
2
2
4
 2h
3
 7k
2
  4h
6
 49k
4
a  b
2
a  b
2
 a  2ab  b
2
2
 4r  2 s 
2
 4r  2 s  
2
2
  4r   2  4r  2s    2s  
2
 16r  16rs  4s
2
 4r  2 s 
2
2
 16r  16rs  4s
2
2
 h  3k 
2

 h  2h  3k    3k  
2
2
 h  6hk  9k
2
 h  3k 
2
2
 h  6hk  9k
2
2
a  b
2
a  b
2
 a  2ab  b
2
2
 5a b  3cd  
  5a b   2  5a b  3cd    3cd 
2 2
3
3
2
3
2
 25a b  30a bcd  9c d
6 2
3
 5a b  3cd 
3
2 2
2
2
2

2
 25a b  30a bcd  9c d
6 2
3
2
2
2
 x  a  x  b
 x  a x  b  x   a  b x  ab
2
 7i  1 7i  2  
2
  7i    1  2  7i    1 2  
2
 49i   3 7i   2 
 49i  21i  2
2
 7i  1 7i  2   49i
2
 21i  2



  2q    2 p  2r   2q    2 p  2r  
 2q   2 2 p q  2 2r q   4 p r 
2q  2 p
2
2
2
2q  2r
2
2
3
3
2
3
 2q 2  2 2 p 2 q  2 2r 3 q  4 p 2 r 3
2 3
3
 m 1  m 1 
     
 3 2  3 6 
2
 m   1 1  m   1  1 
              
 3   2 6  3   2  6 
2
2
m  3  1  m  1 m  2  m  1


     
   
9  6  3  12 9  6  3  12
2
2
m
2m 1 m
m 1


 
 
9
18 12 9
9 12
El cuadrado de un multinomio es
igual a la suma de los cuadrados
de cada término, más la suma
algebraica del doble producto de
cada término por cada uno de los
que le suceden.
El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadrados
de cada término, más la suma algebraica del doble producto de
cada término por cada uno de los que le suceden.
a  b  c
2

 a  b  c  2ab  2ac  2bc
2
2
2
El cuadrado de un multinomio es igual a la suma de los cuadrados
de cada término, más la suma algebraica del doble producto de
cada término por cada uno de los que le suceden.
a  b  c  d 
2

 a b c d 
2
2
2
2
2ab  2ac  2ad  2bc  2bd  2cd
x  2y
2
 z  3w 
1 3
2
2
r

3
s

t


4 
3
 2a
2
 a  1
2
2
2
1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
Para factorizar un multinomio es
necesario encontrar primero dos
o más multinomios o un monomio
y uno o más multinomios, cuyo
producto sea el multinomio dado.
1. Multinomios que tienen un factor común.
2. La diferencia de dos cuadrados.
3. Trinomios que son cuadrados perfectos.
4. Trinomios factorizables que no son
cuadrados perfectos.
Si cada término de un multinomio
es divisible por un mismo monomio,
el multinomio se puede factorizar
dividiéndolo por el monomio de
acuerdo con el método visto en el
capítulo 1.
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,
el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio de
acuerdo con el método visto en el capítulo 1.
2ax  7ay  5az
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,
el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio de
acuerdo con el método visto en el capítulo 1.
2ax  7 ay  5az  1 2ax  7 ay  5az  
a
 2ax  7ay  5az 
  2ax  7ay  5az   a 

a
a


 2ax 7ay 5az 


 a
  a  2x  7 y  5z 
a 
a
 a
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,
el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio de
acuerdo con el método visto en el capítulo 1.
2ax  7ay  5az  a  2x  7 y  5z 
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,
el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio de
acuerdo con el método visto en el capítulo 1.
t s  11t s  2t s
3 2
2 3
2
Si cada término de un multinomio es divisible por un mismo monomio,
el multinomio se puede factorizar dividiéndolo por el monomio de
acuerdo con el método visto en el capítulo 1.
t s  11t s  2t s 
3 2
2 3
2
t s  ts  11s  2 
2
2
3r  2m  n  4s  2m  n   4t  s  2m  n
3r  2m  n   4s  2m  n    4t  s  2m  n 
 2m  n  3r  4s  4t  s 
 2m  n  3r  5s  4t 
xz  xy  x
3
2 z ( x  y)  4 z ( x  y)
2
3r  2m  n   4s  2m  n    4t  s  2m  n 
a b
2
2
Los factores de la diferencia de los
cuadrados de dos números son,
respectivamente, la suma y la
diferencia de los dos números.
a  b   a  b a  b
2
2
25a  b 
4
  5a
8
  b  
  5a    b    5a    b   
  5a  b  5a  b 
25a  b   5a  b  5a  b 
2 2
4 2
2
4
2
4
4
8
2
2
4
2
4
4
2
4
81 16 25 8
x 
y 
49
36
2
2
9 8 5 4
 x   y  
7  6 
  9 8   5 4    9 8   5 4  
   x    y    x    y   
  7   6    7   6  
 9 8 5 4  9 8 5 4 
  x  y  x  y 
6  7
6 
7
81 16 25 8  9 8 5 4  9 8 5 4 
x 
y   x  y  x  y 
49
36
6  7
6 
7
 5a  3b    3m  4n  
  5a  3b    3m  4n    5a  3b    3m  4n   
  5a  3b  3m  4n  5a  3b  3m  4n 
2
2
 5a  3b    3m  4n  
  5a  3b  3m  4n  5a  3b  3m  4n 
2
2
Los trinomios
 a  b   a  2ab  b
2
2
2
 a  b   a  2ab  b
2
2
2
son cuadrados perfectos y en cada caso se
observa que dos de los términos son
cuadrados perfectos y positivos y que el
tercer término es el doble producto de la
raíz cuadrada de los otros dos.
2
2
a

b

a

2
ab

b


2
 a  b
2
 a  2ab  b
2
2
Además, que si el término del doble producto
es positivo, el trinomio es el cuadrado de la
suma de las dos raices cuadradas, y que si el
término del doble producto es negativo, el
trinomio es el cuadrado de la diferencia de
las dos raíces cuadradas.
2
2
a

b

a

2
ab

b


2
 a  b
2
 a  2ab  b
2
2
4s  12s  9
2
 a  b   a  2ab  b
2
2
2
 a  b   a  2ab  b
2
2
2
4s  12s  9   2s  3
2
2
4k  4k  1 
2
  2k   2  2k 1  1 
2
2
  2k   1   2k  1
2
4k  4k  1   2k  1
2
2
2
2
c
1 1
  2 
16 2 c
2
2
c
 c  1   1 
    2       
4
 4  c   c 
2
 c   1    c 1 
          
 4   c    4 c 
c
1 1  c 1
  2   
16 2 c
4 c
2
2
2
 x  a x  b  x   a  b x  ab
2
4 x²  4 xy  3 y ²
4 x²  4 xy  3 y ²
 2 x  3 y  2x  y 
s ²  4s  21
s ²  4s  21
 s  7  s  3
4
4
3 p ²  pq  q ²
3
9
4
4
3 p ²  pq  q ²
3
9
4
4
q ²  pq  3 p ²
9
3
2
 2

 q  3 p  q  p 
3
 3

Para entender este caso, hagamos
primeramente la multiplicación
de dos binomios:
 ax  by  cx  dy 
 ax  by cx  dy 
ax  by

cx
 dy
_________
acx 2  bcxy
2

adxy

bdy
________________
acx 2   ad  bc  xy  bdy 2

2
2
ax

by
cx

dy

acx

ad

bc
xy

bd
y





 ax  by cx  dy   acx   ad  bc  xy  bdy
2
Consideremos un trinomio del tipo
px  qxy  ry .
2
2
Si px  qxy  ry   ax  by  cx  dy 
2
2
entonces
p  ac, q   ad  bc  , r  bd
2
Esto es, si px  qxy  ry se expresa
2
2
como el doble producto de dos binomios,
los primeros términos de los binomios deben
2
ser factores de px , los dos segundos términos
2
deben ser factores de ry y la suma de los
productos del primer término de cada binomio
por el segundo término de cada binomio por el
segundo término del otro debe ser qxy.
Consideremos un trinomio del tipo px 2  qxy  ry 2 .
Si px 2  qxy  ry 2   ax  by  cx  dy  entonces
p  ac, q   ad  bc  , r  bd
A los dos últimos productos
qxy
los denominaremos los productos cruzados.
14x  13xy  12 y
2
2
14 x  13 xy  12 y
2
2
14  1  14, 2  7
12  1  12, 2  6, 3  4
 2 x  3 y  7 x  4 y 
24c  26cd  15d
2
2
24c  26cd  15d
2
2
24  1  24, 2  12, 3  8, 4  6
15=1  15, 3  5
 2c  3d 12c  5d 
18 x  6 x  24 x
5
4
3
18 x  6 x  24 x
5
4
3
x 18 x  6 x  24 
3
2
x  9 x  12  2 x  2 
3
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
Ahora nos ocuparemos de aquellos
factores cuyos coeficientes son
números racionales y cuyos
exponentes son enteros.
Ahora nos ocuparemos de aquellos factores
cuyos coeficientes son números racionales
y cuyos exponentes son enteros.
Aquellas expresiones cuyos factores
no llenan estos requisitos se deoniman
irreductibles.
Corrientemente la suma de dos cuadrados
cs irreductible, aunque expresiones como
x  y y x  y , que son la suma de
6
6
12
12
dos cubos, pueden ser factorizados por
los métodos que aquí se indican.
Los binomios del tipo x  y se pueden dividir
en las cuatros clases siguientes:
n
n
1. La suma o la diferencia de dos cubos
2. Binomios del tipo x n  y n para n mayor que 3
y divisible por 2.
3. Binomios del tipo x  y para n mayor que 3
n
n
y divisible por 3.
4. Binomios del tipo x n  y n para n mayor que 3
y no divisible por 3 ni por 2.
x y
x y
3
3
x y x  y
3
3
2
x
3
3
x y x  y
2
x y x
x
3
y
3
x x y
3
2
2
x y x
x
3
y
3

x

x
y


_____________
3
2
0 x y y
2
3
x  xy
3
y
2
x y x
3
x x y
_____________
3
2
0x y y
2
3
x  xy
3
y
2
x y x
3
x x y
_____________
3
2
0x y
y
2
   x y  xy
2
2

3
x  xy
3
y
2
x y x
3
3
2

x

x
y
_____________
0 x y
2
y
3
  x y  xy 
_______________
2
0  xy 2  y 3
2
x  xy  y
3
3
x y x
y
2
2
3
2

x

x
y
_____________
0 x y
2
y
3
  x y  xy 
_______________
2
0  xy 2  y 3
2
x 2  xy  y 2
3
3
x y x
y
3
2

x

x
y
_____________
0  x2 y
 y3
2
2

x
y

xy


_______________
0  xy 2  y 3
2
3

xy

y
_________
0
x  y   x  y   x  xy  y
3
3
2
2

El primer factor de la suma de los cubos
de los números es la suma de los dos números.
El segundo factor es el cuadrado del primer
número menos el producto del primer
número por el segundo más el cuadrado
del segundo número.
27 s  t
6
3
3
i
9
 64 j
8
3
12
125m  8n
x y
x y
3
3
x y
2
2
 x  xy  y
x y
3
3
x  y   x  y   x  xy  y
3
3
2
2

El primer factor de la diferencia de los cubos
de los números es la diferencia de los dos
números.
El segundo factor es el cuadrado del primer
número más el producto del primer
número por el segundo más el cuadrado del
segundo número.
a b
3
3
3
y
125 x 
27
15
9
k  1000l
6
Binomios del tipo xn  y n para n mayor que 3 y divisible por 2.
En este caso se expresa x  y en la forma
n
n
x    y 
n/2 2
n/2 2
En esta forma el binomio es la diferencia de
dos cuadrados y se puede factorizar
mediante el empleo de
x  y =  x  y  x  y 
2
2
Si n / 2 es divisible por 2, se aplica nuevamente
el procedimiento anterior y se continúa así
hasta donde sea posible.
Binomios del tipo xn  y n para n mayor que 3 y divisible por 3.
En este caso x  y se puede expresar como
n
n
x   y  .
n /3 3
n /3 3
Por tanto, los binomios de este tipo se
consideran como la suma o la diferencia
de dos cubos y pueden aplicarse las fórmulas
x  y   x  y x
3
3
2
xy  y  .
2
Binomios del tipo xn  y n para n mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.
Si n es divisible por 2 o por 3, la expresión
se factoriza por los anteriores métodos.
Sin embargo, si n no es múltiplo de 2 ni de 3,
la expresión se puede factorizar por medio
de las siguientes fórmulas. Estas se dan sin
demostración, pero se pueden comprobar,
mediante divisiones laboriosas, para cualquier
valor entero positivo de n.
Binomios del tipo xn  y n para n mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.
Si n no es divisible ni por 2 ni por 3,
x y 
n
n
  x  y   x n 1  x n  2 y  x n 3 y 2  ...  x 2 y n 3  xy n  2  y n 1 
Binomios del tipo xn  y n para n mayor que 3 y no divisible por 3 ni por 2.
Para cualquier entero n no divisible ni por 2 ni por 3,
xn  y n 
  x  y   x n 1  x n  2 y  x n  3 y 2  ...  x 2 y n 3  xy n  2  y n 1 
x 2  y 2   x  y  x  y 
2
x  y   x  y   x  xy  y
2
x3  y 3
2
2
3
3
x y
n
n

  x  y   x  xy  y 
  x  y x  x y  x
n 1
n2
n 3 2
2 n 3
y  ...  x y
 xy
n2
 xy
n2
y
n 1

y
n 1

n no divisible ni entre 2 ni entre 3
x  y   x  y x
n
n
n 1
x
n2
n 3 2
2 n 3
y  x y  ...  x y
n no divisible ni entre 2 ni entre 3
x n  y n con n par y no divisible entre 3, es irreductible
m s
6
6
m s 
6
 m
6
  s  
  m    s    m    s   
  m  s  m  s 
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
m s 
6
 m
6
  s  
  m    s    m    s   
  m  s  m  s  
  m  s   m  s   m  ms  s 
3 2
3 2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
a b
16
16
a b 
16
 a
16
  b  
  a    b    a    b   
  a  b  a  b 
2
8
2
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a b 
8
 a
8
  b  
  a    b    a    b   
  a  b  a  b 
4 2
4 2
4
4
4
4
4
4
4
4
a b 
16
 a
16
  b  
  a    b    a    b   
  a  b  a  b  a  b 
2
8
2
8
8
8
8
8
8
4
4
8
4
4
a b 
4
 a
4
  b  
  a    b    a    b   
  a  b  a  b 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b 
16
 a
16
  b  
  a    b    a    b   
  a  b  a  b  a  b  a
2
8
2
8
8
8
8
8
8
4
4
8
2
2
2
b
2

a  b   a  b a  b
2
2
a b 
16
 a
16
  b  
  a    b    a    b  
  a  b  a  b  a  b   a  b  a  b 
8 2
8 2
8
8
8
8
8
4
4
8
2
2
b c
15
15
b c 
15
 b
15
  c  
  b    c    b    b  c    c   


  b  c  b  b c  c 
5 3
5 3
5
5
5 2
5
5
10
5 5
5
10
5
5 2
b c 
15
 b
15
  c  
  b    c   b    b  c    c   


  b  c  b  b c  c 
  b  c   b  b c  b c  bc  c  b  b c
5 3
5 3
5
5
5 2
5
5
10
4
5
5 5
3
5 2
5
10
2 2
3
4
10
5 5
c
10

b b c c 
10
5 5
10
  b  bc  c
2
2
b
8
 b c  b c  b c  b c  bc  c
7
5 3
4 4
3 5
7
8

x y
7
7
x y 
7
7
  x  y   x  x y  x y  x y  x y  xy  y
6
5
4 2
3 3
2 4
5
6

125   x  y 
3
125   x  y  
3
  5   x  y  
3
3
  5    x  y    5   5  x  y    x  y   


2
  5  x  y   25  5  x  y    x  y   


2
2
  5  x  y   25  5 x  5 y  x  y  2 xy 
2
2
  x  y  5   x  y  2 xy  5 x  5 y  25 
2
2
x   m  1
9
3
3
x   m  1 
9
 x
3
3
   m  1 
  x    m  1   x    x  m  1   m  1  


  x  m  1 x  x m  x  m  2m  1
3 3
3
3
3
3
3
3
3 2
6
3
3
3
3
3
6
3
3
2
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
Frecuentemente un multinomio que
contiene cuatro o más términos se
puede reducir a una forma factorizable
mediante una adecuada agrupación de
sus términos y posterior factorización
de los grupos.
Si esto es posible, el multinomio se
puede factorizar por medio de alguno
de los métodos anteriores.
mn  m  n  1
mn  m  n  1 
  mn  m    n  1 
 m  n  1   n  1 
  n  1 m  1
ab  3a  b  3
ab  3a  b  3 
  ab  b    3a  3 
 b  a  1  3  a  1 
  a  1 b  3
uv  5v  2u  10
uv  5v  2u  10 
  uv  2u    5v  10  
 u  v  2  5v  2 
  v  2  u  5 
rs  6 s  r  6
rs  6 s  r  6 
  rs  6 s     r  6  
 s  r  6   r  6 
  r  6  s  1
25r  10rs  s  t  4tu  4u
2
2
2
2
25r  10rs  s  t  4tu  4u 
2
2
2
2
  5r  s    t  2u  
2
2
  5r  s    t  2u    5r  s    t  2u   
  5r  s  t  2u  5r  s  t  2u 
9a  6ab  b  c  4cd  4d
2
2
2
2
9a  6ab  b  c  4cd  4d 
2
2
2
2
  3a  b    c  2d  
2
2
  3a  b    c  2d    3a  b    c  2d   
  3a  b  c  2d  3a  b  c  2d 
6ms  6m  13mn  4sn  6n
2
2
6ms  6m  13mn  4sn  6n
2
2
6m  13mn  6n  6ms  4ns
2
2
 2m  3n  3m  2n   2s  3m  2n 
 3m  2n  2m  3n  2s 
25 jk  15 j  13 jh  5hk  2h
2
2
25 jk  15 j  13 jh  5hk  2h
2
25 jk  5hk  15 j  13 jh  2h
2
2
2
5k  5 j  h    5 j  h  3 j  2h 
 5 j  h  5k  3 j  2h 
25r  10rs  s  t  4tu  4u
2
2
2
9a  6ab  b  c  4cd  4d
2
2
2
6ms  6m  13mn  4sn  6n
2
2
2
25 jk  15 j  13 jh  5hk  2h
2
2
2
2.1 El producto de dos binomios
2.2 El cuadrado de un multinomio
2.3 El proceso de factorización
2.4 Factores de binomios del tipo an+bn
2.5 Factorización por agrupación
2.6 Trinomios que son reductibles a la
diferencia de dos cuadrados
Si se puede convertir un trinomio
en un cuadrado perfecto,
mediante la adición de un término
que sea cuadrado perfecto,
entonces se puede expresar el trinomio
como una diferencia de cuadrados.
4 x  8x y  9 y
4
2
2
4
4 x  8x y  9 y 
4
2
2
4
 4 x4  8x2 y 2  9 y 4  4 x2 y 2  4 x2 y 2 
 4 x  8x y  4 x y  9 y  4 x y 
4
2
2
2
2
4
2
2
 4 x  12 x y  9 y  4 x y 
4
2
  2x  3y
2
2

2 2
4
2
2
 4x y 
2
2
2
2
2
2



  2 x  3 y   2 xy   2 x  3 y   2 xy 
  2 x  2 xy  3 y
2
2
 2 x
2
 2 xy  3 y
2

Debe observarse que este método
se aplica únicamente si al agregar
un cuadrado perfecto al trinomio
éste se convierte en cuadrado perfecto.
Por ejemplo,
x4  x2 y 2  y 4
se convierte en cuadrado perfecto cuando
se le sustrae x 2 y 2 .
Sin embargo, se tiene
x4  x2 y 2  y 4 
 x4  x2 y 2  y 4  x2 y 2  x2 y 2 
 x  2x y  y  x y   x  y
4
2
2
4
2
2
2

2 2
x y
2
2
que por ser suma de dos cuadrados no es factorizable.
a  2a b  9b
4
2 2
4
a  2a b  9b
4
2 2
4
a  2a b  9b  4a b  4a b
4
2 2
4
2 2
2 2
a  6a b  9b  4a b
4
2 2
4
2 2
 a  3b   4a b
 a  3b   2ab   a


2 2
2
2
2 2
2
2
 3b
2
  2ab 
 a  2ab  3b   a  2ab  3b 
2
a
2
2
 2ab  3b
2
2
 a
2
2
 2ab  3b
2

4x  41x y  64 y
4
2
4
8
4 x  41x y  64 y
4
2
4
8
4 x  41x y  64 y  9 x y  9 x y
4
2
4
8
2
4 x  32 x y  64 y  9 x y
4
2
4
8
2
4
2
4
4
 2x  8 y   9x y
 2 x  8 y   3 xy   2 x  8 y   3 xy


 2 x  8 y  3xy  2 x  8 y  3xy 
4 2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2



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