Limit Distribusi - Blog Mahasiswa UI

Report
Limit Distribusi
Pendahuluan
• X peubah acak berdistribusi b(n,p), maka
n=1  X1 berdistribusi b(1,p)
n=2  X2 berdistribusi b(2,p) dst
maka dikatakan peubah acak X bergantung pada n
• X peubah acak denganp.d.f :
f(x) = 1 ; 0 < x < 1
= 0 ; x lain
t
e
1
tx
M  t    e dx 
,t  0
t
0
1
= 1
,t  0
.
X mempunyai M.G.F :
 
E etX
 e n 1


 t

n 

=
1
t
n
, t0
,t =0
M.G.F dari X bergantung pada n
5.1 Konvergen dalam Distribusi
Definisi:
Misalnya Fn(y) adalah fungsi distribusi dari
variabel acak Yn, n=1,2,…,n. Jika F(y) adalah
distribusi dan jika :
lim F  y   F  y  ,  y dimana F ( y) kontinu
n 
n
maka Y1,Y2,…,Yn konvergen dalam distribusi ke
variabel random Y dengan fungsi distribusi
F(y).
5.2 Konvergen dalam probabilitas
Definisi:
Barisan X1, X2,X3, . . . Konvergen dalam
probabilitas ke peubah acak X,
>0
lim Pr  X n  X     1 atau lim Pr  X n  X     0
n 
n 
Contoh:
X n menyatakan mean dari sampel acak ukuran n
dari distribusi dengan mean µ dan variansi 2.
2

 X   dan   n . Maka  fixed   0 didapat
k 
k
 n

Pr X n      Pr  X n   
  maka k=
 bila

n
n

2
X


k 
2

sehingga lim Pr  X n   
0
  nlim
2
n 

n
n

maka terbukti X n , n=1,2,3,...konvergen dalam probabilitas ke  ,
jika  2 hingga.
• Jika µ hingga, maka cukup untuk menjamin
konvergen dalam probabilitas.
• Hasil ini disebut weak law of large numbers
• Konvergen dalam distribusi lebih lemah dari
konvergen dalam probabilitas, sehingga
konvergen dalam distribusi sering disebut
konvergen lemah.
Teorema:
• Misal Fn(y) fungsi distribusi dari peubah acak Yn yang
bergantung pada integer positif n. Misal c konstanta yang tak
bergantung pada n.Barisan Yn, n=1,2,3,… konvergen dalam
probabilitas ke c jikka limit distribusi dari Yn degenerate pada y
=c
Misal lim Pr  Yn  c     1,   0
n 
Bukti : 
Pr  Y  c     Pr  c    Y  c   
n
n
= Pr Yn  c    -Pr Yn  c   
= Fn  c       Fn  c    
1  lim Pr  Yn  c     lim Fn  c       lim Fn  c    
n 
n 
n 
karena 0  Fn ( y )  1y dan  n positif integer, maka
lim Fn  c       1 dan lim Fn  c      0
n 
n 
sehingga   0 didapat : lim Fn ( y )  0, y  c
n 
lim Fn ( y )  0, y  c
n 
maka Yn degenerate di y  c
• Bukti 
distribusi limit dari Yn degenerate di y = c
lim Fn ( y )  0, y  c
n 
=1,y  c
Pr  Yn  c     Fn  c       Fn (c   )
lim Pr  Yn  c     lim Fn  c       lim Fn (c   )
n 
n 
n 
= 1 - 0 = 1 ,  > 0
Maka terbukti Yn konvergen dalam probabilitas ke c
• Teorema:
Jika Xn konvergen ke X dalam probabilitas,
maka Xn konvergen ke X dalam distribusi.
Bukti : lihat 6th ed
• Teorema :
Jika Xn konvergen ke konstanta b dalam distribusi, maka
Xn konvergen dalam probabilitas ke b.
• Bukti : misal > 0, maka :
lim Pr  X n  b     lim FX n (b   )  lim FX n (b    0)  1  0  1
n 
terbukti
n 
n 
5.3 Limit Fungsi Pembangkit Momen
• Misal peubah acak Yn dengan fungsi distribusi
Fn(y) dan M.G.F M(t;n) ada untuk –h < t < h n.
Jika ada peubah acak Y dengan fungsi distribusi
F(y) dengan M.G.F M(t) terdefinisi untuk |t|
h1 < h , demikian sehingga lim M  t; n   M t  ,maka
Yn mempunyai distribusi limit dengan fungsi
distribusi F(y)
n 
• Contoh 1:
Yn berdistribusi b(n,p).
µYn = np untuk setiap n, p = µ/n dimana µ
konstan.
 1  p   pe   (1   )   et 
n
n 

 
  e
= 1 
M t, n   E e

Yn
t
n
 1 

n

t
   et  1 
  et 1
e
lim M  t , n   lim 1 
t
n 
n 
n


e


 et 1
merupakan M.G.F dari Poisson.
maka Yn mempunyai distribusi limit Poisson dengan mean 
• Contoh 2:
Zn berdistribusi 2(n) ,M.G.F dari Zn adalah (1-2t)-n/2 ,
maka mean =n dan variansi = 2n.
Yn=(Z-n)/√n adalah peubah acak yang bergantung n.

  Z n  n     tn
M  t ; n   E exp t 
   e
  2n   

 tn
2n
=e
=

e
 t 2
n
1  2 t


2n 
 2  1  2
n

n
2n
 t Zn
Ee

2n



2

t
2n 
n
2
 t
 e

2
n
2 t
t e
n
2

n


n
2

similar documents