6. Distribución Normal

Report
TEMA: “DISTRIBUCION NORMAL”
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Estandarización de la
distribución normal
Cálculo de valores Z
Determinar la probabilidad
de un valor aleatorio
Hallar el valor de una
variable aleatoria a parir
de la probabilidad
Aproximar la distribución
binomial

La distribución normal es disposición única de valores
única en la cual, si éstos se representan en una grafica,
la curva resultante toma la forma peculiar simétrica y
acampanada.
 En la figura 6.1 se representa esta grafica, donde las
observaciones individuales se colocan en el eje de las
abscisas y la frecuencia con la que ocurrieron las
observaciones en el eje de ordenadas. Si se supone que
los valores son normales (es decir, siguen una
distribución normal), entonces, por definición de
normalidad, las observaciones extremas ocurrirían con
una frecuencia relativamente pequeña.
 Recordemos, además, que en una distribución normal el
50% de las observaciones están por encima de la media
y el 50% restante por debajo de la misma.
Análogamente, de toda el área comprendida entre la
curva y el eje de abscisas el 50% esta a la derecha de la
media y el otro 50% a la izquierda de la misma.
 Esta
distribución característica no es
frecuente en el mundo que nos rodea. En
muchas ocasiones encontraremos que un
conjunto de valores se corresponde con
una distribución normal lo que permite
aplicar este importante principio
estadístico.
 Hay dos parámetros que determinan por
completo la forma y posición de una
distribución normal: su media µ y su
desviación típica σ.
Figura 6.1
Frecuencia de observaciones
f ( x)
 2
50% 50%
  67
(pulgadas)
REGLA EMPIRICA
La regla empírica que estudiamos en el capitulo 3
se puede aplicar a cada una de las distribuciones.
La regla empírica dice que, con independencia del
valor de la media o de la desviación típica:
 El 68.3% de todas las observaciones están
dentro de una desviación típica del media.
 El 95.5% de todas las observaciones se sitúan
dentro de dos desviaciones típicas de la media.
 El 99.7% de todas las observaciones se
encuentran dentro de tres desviaciones típicas
de la media.
VARIABLE TIPIFICADA


Pueden existir un número infinito de distribuciones
normales posibles, cada una de ellas con su media y
desviación típica propias. Como es evidente que no
podemos estudiar un número de posibilidades tan
enorme, hemos de convertir todas estas distribuciones
normales a una sola forma estándar. Esta
transformación a la distribución normal estándar se
realiza con la formula de transformación (o formula de
Z):
Z= X - µ/ σ
Donde Z es la variable tipificada y X cualquier valor
especificado de la variable aleatoria. Después de este
proceso de transformación, la media de la distribución
es 0 y la desviación típica es 1.


Pongamos un ejemplo de este proceso de
transformación (Figura 6.5). Telcom es una empresa de
servicios telefónicos para ejecutivos en el área
metropolitana de Chicago. Ha encontrado que el
mensaje telefónico medio es de 150 segundos, con una
desviación típica de 15 segundos. También ha
observado que la duración de los mensajes es una
variable que sigue una distribución normal.
Esta distribución esta centrada en 150 segundos y es
simétrica respecto de este punto. Debajo de la
distribución esta dibujado un segundo eje. En éste la
escala no esta en unidades de tiempo, sino en unidades
de Z. en el se expresan las distancias a lo largo del eje
en valores de Z. en la escala de Z, la distribución esta
centrada en el punto medio de cero, porque el
numerador de la fórmula de transformación exige que
respetemos la de 150.
Figura 6.4
 1

 2 1   0 1
2 
Figura 6.5
120
2
180
150
1
(segundos)
Valores de Z
0
1
2
CALCULO DE VALORES DE Z

La transformación en una distribución normal
estandarizada ayuda a determinar esa área. En la tabla
E se relacionan las áreas deseadas comprendidas
debajo de una curva normal estandarizada. La tabla
exige que calculemos el valor de Z con la formula de
transformación. Este valor de Z nos permite entonces
consultar el área deseada en la tabla. Pero recuerde que
las entradas en la tabla indican solo la porción del área
comprendida debajo de la curva desde la media hasta
un valor cualquiera por encima o por debajo de la
misma. Si se desea un área diferente, habrá que hacer
un ajuste.
Ejemplo:

El director ejecutivo de Telcom quiere
determinar la probabilidad de que una llamada
telefónica cualquiera dure entre 150 y 180
segundos. La formula de transformación nos da:
Z= X - µ/ σ
Z= 180-150/15
Z=2
Es decir:
P (150≤ X ≥ 180) = P (0≤ Z ≥ 180)
 Un valor de Z=2 da lugar a un área de 0.4772
en la tabla E. Por tanto, hay un 47.72% de
probabilidad de que cualquier llamada telefónica
elegida al azar dure entre 150 y 180 segundos.
Figura 6.8
P(150 ≤ X ≥ 180)
4772
150
180
Z
0
2


En la sección 6.3 se pedía calcular una probabilidad
dado cualquier valor de X. es decir, se tenía un valor
concreto de X de la variable aleatoria y se deseaba
hallar el área comprendida entre dicho valor y la media.
Se demostró que ésta es una práctica muy corriente en
muchos aspectos de los negocios.
Pero a veces ocurre que se conoce la probabilidad y hay
que determinar el valor de X que da lugar a dicha
probabilidad deseada. Por ejemplo supongamos que los
asesores económicos del presidente proponen un
programa de bienestar social para ayudar a los
disminuidos, que consista en pago dinerario al 15% de
las personas más pobres de la nación. Entonces surge
la pregunta de qué nivel de ingresos separan ese 15%
inferior de la población del resto. En 1988la renta
personal disponible era 11.151 dólares de 1982, con una
desviación típica de 3.550 dólares. Es lo que se
representa en la figura 6.9.
Figura 6.9
  3.550
35
5
15
?
11.151
Ingresos de dólares
de 1982
Z
1.04
0

Se trata de encontrar el nivel de ingresos,
indicado por <<?>>, que separa el 15% inferior
del 85% superior.
 Supongamos que los ingresos siguen una
distribución normal. La pregunta anterior se
convierte en ésta: << Si se quiere subvencionar
a las personas que reciben ingresos
comprendidos en el 15% más bajo del país,
¿bajo qué nivel han de estar los ingresos de una
persona para que reciba la subvención?>>. Es
decir, ¿qué nivel de ingresos separa el 15% de
la población con menor renta del otro 85%?


Como se ve en la figura 6.9, conocemos el área y
buscamos el valor de X que corresponde al signo de
interrogación. En los problemas anteriores calculábamos
un valor de Z y lo utilizamos para buscar un área en la
tabla. Ahora tenemos un área y podemos utilizar la tabla
E para buscar el valor de Z correspondiente. Aunque el
valor que nos interesa es 0.15, deberemos buscar
0.3500 (0.5-0.15), porque en la tabla sólo se indican las
áreas desde la media a cualquier valor por encima o por
debajo de ella. Entonces buscaremos en el cuerpo
principal de la tabla E el valor del área 0.3500. El mas
próximo que podemos conseguir es .03508, el cual
corresponde a un valor de z igual a 1.04 (Se puede
utilizar la extrapolación si se requiere un mayor grado de
exactitud). Como:
Z= X - µ/ σ
Y se encontró el valor 1.04 para Z, tenemos:
-1.04= X – 11.151/ 3.550


Entonces despejamos X y obtenemos X= 7.459
dólares. Cualquier persona con unos ingresos de
7.459 dólares o menos recibirá subvención del
gobierno.
Obsérvese el signo negativo del valor de Z. el signo
algebraico de z carecía de importancia en los
problemas anteriores porque nos limitábamos a
utilizar el valor de Z para buscar un área en la tabla
E. pero ahora el valor de Z se utiliza en los cálculos
matemáticos con los que se trata de hallar el valor
de X. Por tanto, su signo tiene importancia. La regla
práctica es que, como estamos en el área situada a
la izquierda de la media, el signo siempre es
negativo.


Vimos en el capitulo anterior que la distribución de
Poisson era una aproximación útil de la distribución
binomial. Esta aproximación solía ser necesaria si el
numero de intentos era grande, puesto que la tabla
binomial solo suministraba valores hasta n=20.
La distribución normal también puede servir como
aproximación de la binomial. Pero mientras que la
distribución de Poisson es adecuada cuando π es
pequeño (con preferencia si π ≤ 0.10), la
distribución normal proporciona una estimación mas
exacta de la binomial cuando np ≥ 5 y n (1p) ≥ 5, y
cuando π es cercano a 0.50, porque la binomial se
aproxima a la simetría a medida que π se aproxima
a 0.50.
 Consideremos
un sindicato en el cual el
40% de los afiliados están a favor de una
huelga contra la dirección. Se eligen al
azar quince afiliados. ¿Cuál es la
probabilidad de 10 esten a favor de la
huelga? Si recurrimos a la tabla binomial:
P= (X=10)n =15, π = 40) = 0.0245

similar documents