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Análisis Combinatorio
Objetivo de la Unida
• Analizar los principios fundamentales del análisis
combinatorio.
• Resolver situaciones problemáticas aplicando el análisis
combinatorio con y sin uso de la calculadora.
• Valorar la importancia del uso de la calculadora para la
resolución de problemas matemáticos.
• Reconocer la importancia de las variaciones,
permutaciones y combinaciones como técnicas para
resolver problemas científicos.
Teoría Combinatoria
La Combinatoria es una rama de las matemáticas cuyo objeto
es estudiar las posibles agrupaciones de objetos que podemos
llevar a cabo de un modo rápido teniendo en cuenta las
relaciones que deben existir entre ellas.
Se puede considerar que en el Occidente la combinatoria surge
en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre
Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que
formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad,
contenían asimismo los principios para determinar el número
de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se
estableció la tradicional conexión entre combinatoria y
probabilidad.
El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente
fue introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte
Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la
combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de
conjeturar por J. Bernoulli; este trabajo estaba dedicado a
establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue
necesario introducir también un buen número de nociones
básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como
aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que
con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el
establecimiento de la combinatoria como una nueva e
independiente rama de las matemáticas.
El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a
principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática
combinatoria. En sus artículos sobre la partición y
descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció
las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo
de configuraciones combinatorias.
1) Con 3 colores diferentes ¿cuántas banderas tricolores
podemos hacer colocando los colores horizontalmente?
Una bandera de otra se diferencia en tener un color
diferente o en el orden de colocación de los colores.
L
R
2) Cuantas combinaciones
deY 2 números diferentes
podemos hacer con los números del sistema decimal.
3) si tu numero telefónico es 829-920-6656, y alteramos
el orden: 829-920-5666, es el mismo numero telefónico?
Como pudimos observar en los ejemplos, las teorías
combinatorias nos pueden ayudar a resolver múltiples
problemas de la vida diaria.
Teorema Fundamental del Análisis
Combinatorio
• Si un evento A ocurre de m manera diferentes, y un
segundo evento B de n manera diferentes, entonces A
seguido de B ocurre de m x n manera diferentes.
• Ejemplo 1:
Para ir de Santo Domingo a Santiago hay 3 maneras: Carro,
Avion y Guagua. Para ir de Santiago a Puerto Plata hay 2
maneras: Guagua y Tren. De cuantas manera puede ir un
ciudadano de Santo Domingo a Puerto Plata?
• 3 x 2 = 6 de seis manera distintas.
• En general la teoria combinatoria es de gran
utilidad en aquellas áreas donde distintas
maneras de agrupar un numero finito de
elementos tenga importancia.
• En el análisis combinatorio se distinguen las
variaciones, las permutaciones y las
combinaciones.
Las Variaciones
Llamamos variaciones a los distintos grupos de elementos
que podemos formar tomados de n en n de un total
de m elementos.
Hay dos tipos de variaciones: sin repetición y con
repetición.
Variaciones sin repetición: los elementos no pueden
repetirse en el grupo dado.
Las variaciones de m elementos tomados de n en n, se
detona así: m V n = m(m-1) (m-2) … (m-2+1)
Ejemplo:
¿Cuántos grupos de 2 cifras (n) podemos formar con las
cifras 1, 2 y 3 (m)?
m V n = 3(3-1)
3V2=3x2=6
Variaciones
¿Cuántos grupos de 3 cifras (n) podemos formar
con las cifras 1, 2, 3, y 4 (m)?
n = 3 y m = 4 elementos
m V n = m(m-1)(m-2)
4 V 3 = 4 x 3 x 2= 24 cifras
Con la letras {a,b,c,d,e}. Cuantos grupos
diferentes se pueden formar tomado de 3 en 3?
Variaciones
Para hallar el números de variaciones de
cualquier caso dado, también lo podemos hacer
mediante la formula:
m!: Significa factorial un
m!
mVn 
número.
( m  n )!
Para hallar el factorial de un numero se utiliza la
formula m! = m x (m-1) x (m-2) x …. x 1
Así el factorial de 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Probar los ejemplos anteriores con la formula.
Variaciones con Repetición
En estos casos los elementos pueden repetirse
en la formación de los grupos.
Ejemplo: cuantos grupos diferentes de 2 en 2
puemos formar con la palabra AMOR:
m=4yn=2
AA, AM, AO, AR,
n=
n
2
MM, MA, MO, MR VR
m  4  16
OO, AO, OM, OR
RR, RA, RM, RO
m
• 2) Cuantas variaciones con repetición podemos hacer
con las 5 vocales tomadas de 2 en 2?
• 3) ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar
con los dígitos: 1, 2, 3, 4 ?
• m=4 n=3
• No entran todos los elementos. De 4 dígitos entran
sólo 3.
• Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231,
321.
• Sí se repiten los elementos.
Las permutaciones
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
•
Partiendo de un número m de elementos, llamamos
permutaciones a los distintos grupos que podemos formar
con los m elementos entrando todos los elementos en cada
grupo.
Un grupo de otro se diferencia en el orden de colocación de
sus elementos.
Tiene cierto parecido con las variaciones, su diferencia es
que m y n son iguales.
Según lo que acabas de leer podemos escribir:
• Vemos que las permutaciones de m elementos es igual al
producto de m factores decrecientes a partir de m de unidad
en unidad hasta llegar a 1.(Factorial de un numero)
• Con las cifras 1, 2 y 3 podemos hacer 6 números distintos:
Permutaciones
• Cuantas permutaciones se pueden hacer con
la palabra AMOR?
• Cuantas permutaciones se pueden hacer con
la palabra SAL?
Permutaciones con repetición
• En el caso de repetir algún elemento, dos veces,
como en el caso de la palabra ala, en la que el
elemento a se repite dos veces, escribiríamos:
• Para saber las permutaciones que podemos hacer
cuando un elemento, como en el caso de la
palabra ala se repite dos veces, tenemos que
dividir el total de las permutaciones de
los n elementos entre las permutaciones del
número del elemento que se repite.
En este caso, como el elemento a se repite 2 veces
tendremos:
• Los grupos que podemos formar son: ala, aal, laa
Permutaciones con repetición
• Las permutaciones que podemos hacer con la
palabra masa serán:
• masa, maas, msaa, amsa, amas, asma, asam,
aams, aasm, smaa
sama, saam
• Las permutaciones que podemos hacer con la
palabra banana
Las combinaciones

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