RaulValencia_Ingredientes_del_MEF_1

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 Descripción
matemática del método
 Nociones básicas de análisis funcional
 Notación forma integral compacta
 Formulación débil


El proceso de discretización espacial por FEM se
apoya en la representación discreta de la forma
integral débil de las ecuaciones diferenciales a ser
discretas.
Esta formulación requiere de la definición de algunos
espacios de funciones, sus normas asociadas y la
introducción de la forma compacta de las funciones de
estos espacios.



En un problema definido mediante ecuaciones diferenciales, una alternativa de
reformulación es la forma variacional ó débil, en que dichas ecuaciones se
escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los
métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o
espacio funcional.
El dominio debe dividirse mediante una partición en subdominios, llamados
elementos finitos. Asociada a la partición anterior se construye un espacio
vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la
solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos, una combinación
lineal en dicho espacio vectorial.
Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de
elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un
número de ecuaciones finito donde el número de incógnitas será igual a la
dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido.
El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones.
Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un
problema de álgebra lineal.

Los vectores en el espacio R se pueden
pensar como funciones evaluadas en valores
discretos de una variable, por ejemplo, la
sucesión geométrica
[1, 1/2, 1/4, 1/8,...]
es la función f(x)=(1/2)x, evaluada en
x=0,1,2,3,...
En forma similar, la sucesión aritmética
[2, 4, 6, 8, 10,...]
Se expresa como la función f(x) =2x+2
evaluada en x=0,1,2,3,...
¿y qué pasa si x toma valores continuos?
Si x toma valores continuos en el intervalo
de números reales [a,b] los vectores se
transforman en funciones de valor real en
ese intervalo.
Sin embargo, este conjunto de funciones es
demasiado extenso y sólo algunos
subconjuntos son de interés, especialmente
los de funciones de norma finita.
¿Pero y ... Como se define la norma de una
función?



Un vector es un elemento de un
espacio vectorial del que, en
ocasiones, especialmente en
Física y Geometría, interesa
conocer su longitud. Para ello se
hace
necesario
definir
un
operador norma que determine
el tamaño de sus elementos.
La definición general de norma
se basa en generalizar a espacios
vectoriales abstractos la noción
de módulo de un vector de un
espacio euclídeo.
Recuérdese que en un espacio no
euclídeo el concepto de camino
más corto entre dos puntos ya no
es identificable con el de la línea
recta.


En un espacio vectorial dotado
de producto escalar existe una
norma asociada al producto
escalar definida
Será la norma natural en el
contexto de elementos finitos


Una parte imprescindible en un análisis con el
método de elementos finitos FEM es la evaluación
del error inherente a la solución.
Existen algunos procedimientos que permiten hacer
una estimación del error para determinar la calidad
de la solución. Los errores en la solución de un
problema cuando se emplea FEM se pueden
clasificar:
• Errores de modelado
• Errores de discretización: aparecen debido a la representación
que se hace del sistema continuo, con un número infinito de
grados de libertad, en un sistema discreto con N grados de
libertad. Predominante.
• Errores de redondeo y manipulación matemática



Lo más práctico en un FEA, es medir los errores
de discretización utilizando una norma que
proporcione una magnitud de error en términos
de una magnitud escalar.
Por ejemplo en problemas de elasticidad se
utiliza ampliamente la norma energética ya que
se relaciona directamente con la energía del
sistema. En otras aplicaciones puede tener más
sentido físico otras normas.
Una de ellas es la norma energética.
La manera natural de redefinir el producto
interno para funciones, es transformando la
sumatoria en una integral, así, para las
funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]:
b
 f , g   f (u ) g (u )du
a
De acuerdo a esto, la norma de la función f,
será
1/ 2
2


f   f , f     f (u )du 
a

b
Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x),
g(x)=cos(x), definidas en el intervalo
2
[0,2]
 f , g   sin( u ) cos(u )du
0
a) Producto interno:
=
0, es decir, son funciones ortogonales.

b) Normas: f    sin (u ) du 
= 
2

0
1/ 2
2

1/ 2
2

g    cos 2 (u ) du 
 0

= 
Las Normas lp definidas para vectores en R
se transforman en las normas Lp que se
definen para una función f(x) en el intervalo
[a,b]como sigue

b
f   | f ( x) | dx
p
a

1/ p
Así, las funciones de norma L2 finita
conforman el conjunto de funciones de
cuadrado integrable o Espacio L2.
 Con
Y
el producto escalar:
la norma:
 Las
integrales de la formulación variacional
exigen que las funciones u(x), v(x),u’(x) y
v’(x) tengan definido
el cuadrado
integrable sobre el dominio 


En análisis matemático, una función f(x) de una
variable real con valores reales o complejo se dice
de cuadrado sumable o también de cuadrado
integrable sobre un determinado intervalo, si la
integral del cuadrado de su módulo, definida en el
intervalo de definición, converge.
El conjunto de todas las funciones medibles de
cuadrado integrable sobre un dominio dado forman
un espacio de Hilbert sumable, también llamado
espacio L2.
El espacio R contiene las sucesiones de números
reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo:
[0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesión aritmética)
[1, ½, ¼, 1/8, ...] (Sucesión geométrica)
[1, ½, 1/3, ¼, ...] (Sucesión armónica)
[1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesión de Fibonacci)
[0, sen(1), sen(2), sen(3),....]
Etc..
Este espacio es demasiado grande y con pocas
propiedades interesantes, ya que la norma de sus
vectores puede ser infinita.
Si nos restringimos a considerar solamente
sucesiones de “longitud” finita o norma
euclideana finita obtenemos un espacio
Vectorial llamado Espacio de Hilbert o
espacio l2.
Así, un vector [x1,x2,x3,...] está en el
espacio de Hilbert si
||x||2=x12+x22+x32,+... Es un número finito.
El espacio de Hilbert es de interés especial
porque en él está bien definido el producto
interno (no se hace infinito).
Así, para dos vectores arbitrarios x=
[x1,x2,x3,...], y= [y1,y2,y3,...] en este espacio:
<x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... <
De hecho, al igual que en todo espacio vectorial,
se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy:
|<x,y>|  ||x|| ||y||
Y como x, y tienen norma finita, <x,y> será
finito.
Ejemplo: ¿qué significa la desigualdad de
Schwartz para vectores en R3?
Solución. Sean dos vectores arbitrarios en
R3, x=[x1,x2,x3], y= [y1,y2,y3], la desigualdad
de Schwartz garantiza que:
|x1y1+x2y2+x3y3|2 
(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)
Por ejemplo, sean x=[1 2 3], y= [4 5 6], la
desigualdad da: 1024  (14)(77)=1078



Se define C0 y C1 en un intervalo abierto :
Así C representa el espacio de funciones
infinitamente diferenciables definidas en , a valores
reales.
Otro concepto importante para construir cualquier
solución matemática es la distribución, que es el
espacio donde se definen las funciones de prueba.
 Las
distribuciones son la generalización
del conjunto de funciones infinitamente
derivable
 Se usará la notación multi-indice para las
derivadas parciales:
y entero no negativo
Definida:


Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial
funcional, dotado de una norma de tipo Lp, tal que la
función y sus derivadas hasta cierto orden tienen
norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser
considerado como un subespacio de un espacio Lp. Se
define como:
Equipados con la norma
 Para
k=1
 Este
espacio está equipado con el
producto interno
Y
la norma
 En
matemáticas, se denomina soporte de
una función al conjunto de puntos donde la
función no es cero. Se define
 Cuando
x se anula en la vecindad de la
frontera  con acotamiento de la función, se
denomina soporte compacto de la función.
 Este concepto permite llevar a la siguiente
definición:
 Es
el espacio de funciones continuas e
infinitamente
diferenciables
cuyas
funciones acotadas derivables se hacen
cero en la vecindad de la frontera. Con
este concepto se define los sub espacios
de la formulación débil. Otro subespacio
que se usará frecuentemente es:
Las Normas lp definidas para vectores en R
se transforman en las normas Lp que se
definen para una función f(x) en el intervalo
[a,b]como sigue

b
f   | f ( x) | dx
p
a

1/ p
Así, las funciones de norma L2 finita
conforman el conjunto de funciones de
cuadrado integrable o Espacio L2.


Los problemas de valor en la frontera se hará uso de la
forma bilineal:
Forma trilineal:
Con la notación:



Un fenómeno puede ser descrito por una ecuación
diferencial de clase 2 (formulación fuerte) con unas
condiciones de frontera que pueden ser descritas:
Se tomarán:
Para resolverla se debe garantizar continuidad,
derivabilidad e integrabilidad. Algunas veces no es
posible cumplir estas condiciones para solucionar el
modelo matemático.
 Se
analizará la ecuación de Poisson:
 Donde
 Es
la función u(x) debe estar definida:
importante debilitar la ecuación diferencial
para que se reduzcan los requerimientos para
su solución. Algunas veces la notación será:


El primer paso es construir una función de prueba tal
que w(x)  C1 que multiplica la ecuación gobernante y
se integra:
Si al término de la izquierda se aplica las identidades
de Green y teorema de divergencia quedaría:
Primera Identidad de Green
Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se
deduce del teorema de la divergencia tomandof   g . Hay que tener en
cuenta, además, que:   f    (g)    g    g , con ello resulta:


   g d     g n d    g   d 


Segunda Identidad de Green
Se toma un campo escalar y tal que g  y
identidad quedaría como:


, entonces la primera
 2 y d     y n d      y d 


Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la
segunda identidad de Green:


(2y  y 2 ) d    (y  y  )  n d 

 Sustituyendo
en la ecuación inicial y
aplicando la condición de Neumann:
 En
 El
la notación compacta:
siguiente paso sería construir una base
funcional y resolver el problema en esa
base, donde la solución integral exige
 Las
soluciones de la formulación débil
algunos casos no tienen la solución
clásica. Sin embargo aplicando el
teorema de Lax Milgram se puede
demostrar que tienen solución única.
 La
forma débil se puede asumir que viene de
la minimización del funcional cuadrático
tomando
como la variación de u:
 En
 Si
su forma compacta:
se hace
Si tuvieramos una base para un espacio de
funciones podríamos expresar cualquier
función como una Combinación Lineal
(serie) de funciones de la base.
Algunas bases comúnmente utilizadas son:
{1,x,x2,x3,...}  Series de Taylor
{1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de
Fourier
{1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de
Hartley
•Notas del Curso Método de
elementos de frontera. UPB
• Wikipedia
Gracias

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