### Teorema Divergensi Gauss

Teorema
Divergensi
Gauss
Teorema Gauss
• In vector calculus, the divergence theorem, also known as Gauss's
theorem or Ostrogradsky's theorem, is a result that relates the flow
(that is, flux) of a vector field through a surface to the behavior of the
vector field inside the surface.
• More precisely, the divergence theorem states that the outward flux of
a vector field through a closed surface is equal to the volume integral
of the divergence of the region inside the surface. Intuitively, it states
that the sum of all sources minus the sum of all sinks gives the net flow
out of a region.
• The divergence theorem is an important result for the mathematics of
engineering, in particular in electrostatics and fluid dynamics.
• In physics and engineering, the divergence theorem is usually applied
in three dimensions. However, it generalizes to any number of
dimensions. In one dimension, it is equivalent to the fundamental
theorem of calculus.
• The theorem is a special case of the more general Stokes' theorem.
Teorema Gauss
• Andaikan S suatu benda pejal tertutup dan
terbatas dalam ruang dimensi-3, yang secara
lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus
sepotong-sepotong S (seperti pada gambar)
Teorema Gauss
• Andaikan F = Mi + Nj + Pk suatu medan vektor
sedemikian sehingga M, N, dan P mempunyai
turunan parsial pertama yang kontinu pada S
dan batasnya S. Jika n menyatakan normal
satuan terluar terhadap S , maka
òò F.n dS = òòò div F dV
atau
dS
S
æ¶ M ¶ N ¶ P ö
÷
çç
M
cos
a
+
N
cos
b
+
P
cos
g
dS
=
+
+
(
)
òò
òòò ççè ¶ x ¶ y ¶ z ø÷÷÷dV
dS
S
Teorema Gauss
• Tafsiran fisis
Misalkan F(x, y, z) menyatakan vektor kecepatan
fluida di (x, y, z) dan misalkan ΔS adalah bagian
dari permukaan S. Banyaknya fluida yang
melintasi permukaan ini per satuan waktu dalam
arah n, secara aproksimasi adalah F.n ΔS
òò F.n dS disebut juga fluks dari medan vektor F
dS
menembus permukaan S
Teorema Gauss
• div F (x0, y0, z0) mengukur laju pada mana
fluida “memencar” menjauhi (x0, y0, z0)
• Jika div F (x0, y0, z0) > 0, maka terdapat sumber
fluida di (x0, y0, z0)
• Jika div F (x0, y0, z0) < 0, maka terdapat suatu
tampungan untuk fluida di (x0, y0, z0)
Teorema Gauss
• Bukti:
Tinjau kasus dimana S adalah x-sederhana, ysederhana, dan z-sederhana dengan
Teorema Gauss
Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain
serupa.
Karena S adalah z-sederhana, maka S dapat
.
Seperti pada gambar sebelumnya, S terdiri dari tiga
bagian; S1 yang berpadanan dengan
; S2
; dan
permukaan S3 samping yang boleh kosong; pada S3,
cos  = 0, sehingga dapat diabaikan.
Teorema Gauss
Contoh 1
• Hitung fluks medan vektor F = x2i + 2xzj + yz3k
melewati permukaan benda pejal S yang
ditentukan oleh: 0  x  1, 0  y  2, 0  z  3
dengan perhitungan mandiri:
a) òò F.n dS
b) òòò div F dV
dS
S
Contoh 2
• Buktikan teorema Gauss untuk F = x i + y j + z k
dan S = {(x , y , z) : x 2 + y 2 + z2 £ a2 } dengan
perhitungan mandiri:
a) òò F.n dS
b) òòò div F dV
dS
S
Contoh 3
• Misalkan S tabung pejal yang dibatasi oleh
x2  y 2  4, z  0 dan z  3 dan misalkan n normal
satuan terluar terhadap S. Jika
F  ( x3  tan yz )i  ( y3  e xz ) j  (3z  x3 )k
Tentukan Fluks F melintasi S
Contoh 4
Evaluate
F.n dS where F = xy i + ½ y2 j


S
Exercise
Calculus 9th ed, Purcell
Problem Set 14.6 No. 7, 10, 12, 15