Podstawy mechaniki klasycznej

Report
Fizyka dla humanistów
Podstawy mechaniki
klasycznej
Andrzej Łukasik
Zakład Ontologii i Teorii Poznania
Instytut Filozofii UMCS
http://bacon.umcs.lublin.pl/~lukasik
www.filozofia.umcs.lublin.pl
XVII w. – matematyczne przyrodoznawstwo
•
•
•
•
•
•
•
„Filozofia zapisana jest w tej ogromnej księdze, którą stale mamy otwartą przed
naszymi oczami; myślę o wszechświecie; lecz nie można jej zrozumieć, jeśli się
wpierw nie nauczymy rozumieć języka i pojmować znaki, jakimi została
zapisana. Zapisana została zaś w języku matematyki, a jej literami są trójkąty,
koła i inne figury geometryczne, bez których niepodobna pojąć z niej ludzkim
umysłem ani słowa; bez nich jest to błądzenie po mrocznym labiryncie” (Galileo
Galilei, Il saggiatore).
Dawniej: matematyka jako język przyrody
Współcześnie: matematyka jako język
nauki o przyrodzie
Wcześniejsze próby opisu zjawiska ruchu (Zenon, Arystoteles
Kartezjusz) – język potoczny [nieefektywne]
Od Galileusza i Newtona – opis ruchu w języku matematyki
[okazały się skuteczne]
2
Arystoteles vs Galileusz
•
•
•
•
Prędkość spadającego ciała jest
proporcjonalna do jego ciężaru
Nie można pominąć oporu ośrodka,
ponieważ próżnia nie istnieje w
przyrodzie
spadek swobodny
http://www.youtube.com/watch?v=K
Dp1tiUsZw8
•
•
Wszystkie ciała spadają z takim
samym przyspieszeniem
niezależnie od ciężaru
Przy pominięciu oporu ośrodka (tzn.
w próżni)
3
•
•
•
Arystoteles – wyróżniony układ
odniesienia związany ze środkiem
Wszechświata (Ziemi)
Ziemia jest nieruchoma
Kopernik – Ziemia porusza się
wokół Słońca…
•
•
Problem: czy (jeśli Ziemia się
porusza) wystrzelony pionowo w
górę z działa pocisk trafi z powrotem
w lufę działa?
Problem: po jakiej trajektorii porusza
się przedmiot spadający z masztu
statku gdy statek płynie?
–
–
Względem brzegu
Względem pokładu
Względność ruchu
•
•
•
•
•
Układ odniesienia
Ruch ciał można rozpatrywać jedynie względem innych ciał
Inercjalny układ odniesienia
Każdy układ odniesienia poruszający się ze stałą prędkością v względem
inercjalnego układu odniesienia jest układem inercjalnym – wszystkie układy
inercjalne są sobie równoważne
Trajektorie ciał w różnych układach inercjalnych mogą wyglądać różnie, ale
prawa ruchu są we wszystkich układach inercjalnych takie same
5
Zasada względności
•
•
•
„Nie istnieją zjawiska, które charakteryzują się własnościami wymagającymi
pojęcia bezwzględnego spoczynku” [N. David Mermin, Czas na czas. Klucz do
teorii Einsteina, tłum. J. Przystawa, Prószyński i S-ka, Warszawa 2008, s. 19]
Zasada względności jako przykład zasad niezmienniczości
„Wszystkie rzeczy pozostają takie same, bez względu na to
– Gdzie jesteś (niezmienniczość względem przesunięcia w przestrzeni –
jednorodność przestrzeni)
– Kiedy jesteś (… w czasie – jednorodność czasu)
– W którą stronę patrzysz (… obrotów w przestrzeni – izotropowość
przestrzeni)
– Jak szybko się poruszasz (dla ruchu jednostajnego) – ZASADA
WZGLĘDNOŚCI”
6
Zasada względności
•
•
•
„jeśli jakiś obiekt ma pewne własności w układzie odniesienia, w którym
spoczywa, wówczas, jeżeli ten sam obiekt porusza się ruchem jednostajnym, to
będzie miał takie same własności w układzie odniesienia, który porusza się z tą
samą prędkością wraz z nim” [Mermin 23]
W innym układzie może mieć inne własności – np. zjawisko Dopplera
Ruch jest stanem ciała (Newton) a nie procesem zmiany stanu (Arystoteles)
7
Zastosowanie zasady względności
•
Zderzenia dwóch kul sprężystych
– Przed zderzeniem (v1 = v2 = 5):
– Po zderzeniu (v1 = v2 = 5):
8
Zastosowanie zasady względności (1)
•
Zderzenia dwóch kul sprężystych
– Przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0):
– Po zderzeniu (v1 = ? v2 = ?):
9
Zastosowanie zasady względności (1)
•
Zderzenia dwóch kul sprężystych
– Przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „spoczywającym”]:
Niech U porusza się w prawo z prędkością w = 5 – w tym U kule poruszają się
naprzeciw siebie z v1 = v2 = 5
W układzie U: v1 = v2 = 5 (w przeciwnych kierunkach)
Zatem po zderzeniu: v1 = 5, v2 = 5 (w układzie U) – sytuacja analogiczna do
poprzedniej
10
Zastosowanie zasady względności (1)
•
Zderzenia dwóch kul sprężystych
– Ponieważ U porusza się w prawo z w = 5, w układzie „spoczywającym” v1 =
0, v2 = 10
– v1 = 5 – 5 = 0
– v2 = 5 + 5 = 10
Ilustracja potęgi zasady względności
11
Zastosowanie zasady względności (2)
•
Zderzenia dwóch kul niesprężystych (po zderzeniu kule sklejają się ze sobą,
obiekt pozostaje nieruchomy)
– Przed zderzeniem (v1 = v2 = 5):
– Po zderzeniu (v1 = v2 = 0):
12
Zastosowanie zasady względności (2)
•
Zderzenia dwóch kul niesprężystych (po zderzeniu sklejają się ze sobą, obiekt
pozostaje nieruchomy)
– Przed zderzeniem (v1 = 10; v2 = 0):
– Co się stanie po zderzeniu?
13
Zastosowanie zasady względności (2)
•
W układzie U poruszającym się w prawo z w = 5:
– Przed zderzeniem (v1 = v2 = 5):
– Po zderzeniu (v1 = v2 = 0) [w układzie U]:
Ponieważ układ U porusza się w prawo z w = 5, w układzie „spoczywającym”
v1 = v2 = 5
14
Zastosowanie zasady względności (3)
•
Zderzenia dwóch kul sprężystych
– Przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „spoczywającym”]:
– Po zderzeniu (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „spoczywającym”]:
– Na przykład zderzenie piłki pingpongowej z kulą do kręgli
15
Zastosowanie zasady względności (3)
•
Co się stanie?
– Przed zderzeniem (v1 = 0, v2 = 10) [w układzie „spoczywającym”]:
16
Zastosowanie zasady względności (3)
•
Niech U porusza się w lewo z w = 10
– Wówczas przed zderzeniem (v1 = 10, v2 = 0) [w układzie „poruszającym
się”]:
– Po zderzeniu v1 = 10, v2 = 0 (jak poprzednio)
17
Zastosowanie zasady względności (3)
•
W układzie „spoczywającym”
– Po zderzeniu (v1 = 20, v2 = 10)
– Po zderzeniu v1 = 10 + 10 = 20, v2 = 10
18
Zastosowanie zasady względności (4)
•
W układzie „spoczywającym”
– Przed zderzeniem (v1 = 5, v2 = 5)
– Co się stanie po zderzeniu?
19
Zastosowanie zasady względności (4)
•
W układzie „poruszającym się” w lewo z w = 5, v1 = 10, v2 = 0 (duża kula
spoczywa)
– Zetem po zderzeniu v1 = 10, v2 = 0
20
Zastosowanie zasady względności (4)
•
W układzie „spoczywającym” v1 = 15, v2 = 5
– Po zderzeniu mała kulka porusza się z prędkością 3 razy większą!
21
Matematyczne przyrodoznawstwo
•
•
•
Idealizacja (np. punkt materialny, pręt doskonale sztywny, jednorodne pole
grawitacyjne) – założenie idealizowalności przyrody
Matematyczny opis zjawisk
Eksperyment
Zasady dynamiki Newtona
(sformułowanie Newtona z Principia)
I. „Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub jednostajnego ruchu po linii
prostej, dopóki nie jest zmuszone do zmiany tego stanu przez wywierane nań
siły”.
II. „Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły i odbywa się w kierunku
prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona”.
III. „Do każdego działania istnieje zawsze przeciwnie skierowana reakcja; lub
wzajemne działania na siebie dwóch ciał są zawsze równe sobie i skierowane w
przeciwne kierunki”.
23
Liczby, wektory, wielkości skalarne i wektorowe
•
•
•
Przykłady wielkości skalarnych – energia, temperatura, czas
Przykłady wielkości wektorowych – prędkość, pęd, przyspieszenie, siła
Składowe wektora w kartezjańskim układzie odniesienia
•
Moduł (długość) wektora
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Iloczyn skalarny
•
Iloczynem skalarnym wektorów nazywany liczbę:
Iloczyn wektorowy
•
Iloczynem wektorowym wektorów nazywamy wektor:
   
a  b  a b sin 


• Moment pędu l  mv  l
•
Dlaczego łatwo zachować równowagę na rowerze podczas jazdy, natomiast
trudno, gdy stoimy? [zasada zachowania momentu pędu]
Funkcja, granica, pochodna, różniczka
•
Funkcja, dziedzina, przeciwdziedzina
•
Granica funkcji
lim
xa
•
f ( x)  G    x  a    f ( x)  G  
f(x) jest ciągła w punkcie a
 0  0
   x  a    f ( x)  f ( a )  
 0  0
wykres funkcji f(x) w przedziale zamkniętym a < x < b – fragment łuku krzywej y = f (x)
Jeśli f (x) jest ciągła w przedziale a < x < b i jeśli dla pewnego punktu x istnieje granica
lim
x0
y
f ( x  x)  f ( x)
 lim
x x0
x
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f (x) w punkcie x
Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej
•
Interpretacja geometryczna pochodnej – pochodna funkcji w pewnym punkcie P jest
równa tangensowi nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie
tg 
y
x
y
 f ' ( x)  tg
x0 x
lim tg  lim
•
Sieczna
•
Interpretacja fizyczna pochodnej – szybkość zmian wielkości fizycznej reprezentowanej
przez daną funkcję; jeśli y’ = 0, to wielkość fizyczna jest stała w czasie
styczna
x0
•
•
UKŁAD ODNIESIENIA — dowolny układ ciał materialnych, względem którego
określa się  położenie dowolnego ciała w przestrzeni w dowolnej chwili czasu.
Matematycznym modelem układu odniesienia jest układ współrzędnych (np.
Kartezjański układ współrzędnych, który stanowią trzy proste przecinające się
pod kątem prostym), który służy do określenia położenia ciała względem układu
odniesienia. Szczególne znaczenia w fizyce ma  inercjalny układ odniesienia.
NERCJALNY UKŁAD ODNIESIENIA —  układ odniesienia, względem którego
każde ciało nie poddane działaniu  sił porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym (tzn. bez  przyspieszenia) lub pozostaje w spoczynku. Każdy
układ poruszający się względem danego układu inercjalnego ruchem
jednostajnym prostoliniowym jest układem inercjalnym. Istnienie inercjalnego
układu odniesienia jest postulowane przez pierwszą  zasadę dynamiki
Newtona. Zgodnie z  zasadą względności wszystkie układy inercjalne są
całkowicie równouprawnione i wszystkie prawa fizyki mają w nich taką samą
postać.
•
•
•
•
•
POŁOŻENIE — wektor o początku umiejscowionym w początku  układu
współrzędnych i końcu w punkcie, w którym znajduje się poruszające się ciało
(scil. punkt materialny). Znajomość zależności wektora położenia od czasu
pozwala na obliczenie  prędkości,  przyspieszenia, drogi i trajektorii (toru
ruchu) poruszającego się ciała.
PRZEMIESZCZENIE – wielkość wektorowa, różnica między wektorem
położenia w czasie t + Δt i wektorem położenia w czasie t

PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA – stosunek przebytej odległości do czasu

dr (t )
PRĘDKOŚĆ CHWILOWA – pochodna wektora położenia po czasie v(t ) 
dt
PRZYSPIESZENIE – pochodna wektora prędkości po czasie



dv(t ) d 2 r (t )
a( t ) 

dt
dt2
Podstawowe pojęcia mechaniki klasycznej
•
•
BEZWŁADNOŚĆ — własność wszystkich ciał, polegająca na tym, że do
uzyskania  przyspieszenia względem  inercjalnego układu odniesienia
niezbędne jest działanie  siły; w przeciwnym wypadku ciała poruszają się bez
przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym) lub spoczywają.
Miarą bezwładności jest  masa (inercyjna).
MASA — wielkość fizyczna charakteryzująca  bezwładność ciała (tzw. masa
bezwładna) albo jego zdolność do oddziaływania  grawitacyjnego (tzw. masa
ważka). W filozofii jeden z  atrybutów materii. W  dynamice klasycznej I.
Newtona masa jest wielkością stałą, miarą „ilości materii”. W ogólniejszej
dynamice relatywistycznej A. Einsteina masa ciała zależy od jego prędkości v
m0
względem  inercjalnego układu odniesienia:
m
•
v2
1 2
c
,
CIĘŻAR — 1) siła, z jaką Ziemia (albo Księżyc czy inna planeta itp.) przyciąga
dane ciało znajdujące się blisko jej powierzchni.
•
•
SIŁA — wektorowa wielkość fizyczna stanowiąca miarę oddziaływań między
ciałami. W mechanice klasycznej siły działają przez bezpośredni kontakt (np.
zderzenia i tarcie) lub na odległość (np.  grawitacja), przy czym zakłada się,
że oddziaływania mogą być przenoszone w sposób natychmiastowy, tzn. z
nieskończenie wielką prędkością. Efektem działania sił jest nadanie ciału
przyspieszenia ( zasady dynamiki Newtona) lub ich odkształcenie
(deformacja). W szczególnej  teorii względności wszelkie oddziaływania
rozchodzą się ze skończoną prędkością, nie większą niż prędkość światła w
próżni c.
PĘD — wielkość wektorowa równa iloczynowi  masy i  prędkości ciała: p =
mv.
Zasady dynamiki Newtona
(zapis współczesny)


F  0  v  const
Jeżeli na ciało nie działa siła (lub działające siły się równoważą, to ciało porusza się ruchem
jednostajnie prostoliniowym (lub pozostaje w spoczynku) – postulat istnienia układów
inercjalnych

 F
a
m

d r (t ) 
m
F
2
dt
2
Przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły a odwrotnie proporcjonalne do
masy ciała


FAB  FBA
Akcja równa jest reakcji
34
Prawo powszechnego ciążenia
każde dwa ciała o masach m1 i m2
przyciągają się siłą wprost
proporcjonalną do iloczynu tych
mas, a odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości r między nimi
•
G - stała grawitacji


m1m2 r
F  G 2
r
r
G  6,67  10
11
Nm
kg
2
2
35
•
ENERGIA — jedna z podstawowych wielkości fizycznych, charakteryzująca
wszelkiego rodzaju procesy w przyrodzie. W mechanice klasycznej wyróżnia się
m.in.  energię kinetyczną i  energię potencjalną. Energia podlega 
zasadzie zachowania, tzn. energia nigdy nie powstaje i nie gnie, może jedynie
zmienić formę z jednej na drugą. Na przykład ciało, spadając z pewnej
wysokości nad powierzchnią Ziemi, traci stopniowo  energię potencjalną,
wskutek czego zwiększa się jego  prędkość, a zatem i  energia kinetyczna.
W  mechanice kwantowej zasada zachowania energii ograniczona jest przez
 zasadę nieoznaczoności.
•
ENERGIA KINETYCZNA — część  energii ciała związana z ruchem
względem pewnego  układu odniesienia. W mechanice klasycznej energia E
ciała o  masie m, poruszającego się z prędkością v wyraża się wzorem:
•
•
•
mv 2
Ek 
.
2
•
•
Według ogólniejszej mechaniki relatywistycznej (szczególna  teoria
względności) całkowitą energię ciała wyraża wzór:
E  mc 
2
m0 c
1
•
•
2
2
v
c2
,
Ek 
m0 c 2
v2
1 2
c
 m0 c 2 .
gdzie m0 jest masą spoczynkową, tzn.  masą ciała w układzie odniesienia, w
którym ciało spoczywa, c — prędkością światła w próżni. Energia kinetyczna
jest więc równa różnicy między energią całkowitą a energią spoczynkową:
•
•
•
•
ENERGIA POTENCJALNA — część  energii ciała związana z pewnym typem
 sił (tzw. sił potencjalnych); jest funkcją wyłącznie współrzędnych. Na przykład
energia potencjalna ciała o masie m, w polu sił  grawitacyjnych Ziemi w
odległości h od jej powierzchni wyraża się wzorem Ep = mgh, gdzie g jest
wartością przyspieszenia ziemskiego
(g = 9,81 m s–2). (Przyjęto, że energia potencjalna na powierzchni Ziemi wynosi
zero.)
ENERGIA SPOCZYNKOWA —  energia ciała spoczywającego w danym 
inercjalnym układzie odniesienia. Według szczególnej  teorii względności
wyraża się wzorem:
2
E  m0 c ,
gdzie mo jest  masą spoczynkową ciała, c — prędkością światła w próżni
(c = 3∙108 m/s). Ze względu na wielką wartość prędkości światła w próżni, w
każdym ciele zmagazynowana jest olbrzymia energia, która może być
wyzwolona na przykład w procesie  anihilacji
materii.
•
•
•
GRAWITACJA — jedno z czterech (obok  elektromagnetyzmu, oddziaływań
 jądrowych silnych i słabych) podstawowych oddziaływań w przyrodzie.
Klasyczną teorię grawitacji — prawo powszechnego ciążenia — sformułował
Newton:
mM
F

G
.
r2
Każde dwa ciała o masach m i M przyciągają się  siłą F wprost
proporcjonalną do iloczynu tych  mas, a odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości r między nimi.
(G = 6, 67  10–11 N m2 kg–2 jest uniwersalną stałą fizyczną, zwaną stałą
grawitacji.) Siła grawitacji jest uniwersalna, tzn. działa między wszystkimi
obiektami materialnymi i jest zawsze siłą przyciągania. Z tego względu, pomimo
iż jest najsłabsza ze znanych sił w przyrodzie, odgrywa w skali kosmicznej
dominującą rolę — dzięki niej istnieją m.in. gwiazdy i układy planetarne.
Współczesną teorią grawitacji powszechnej jest ogólna teoria względności A.
Einsteina (1916), która zamiast pojęcia siły działającej między ciałami,
wprowadza pojęcie zakrzywienia  czasoprzestrzeni.
•
ZASADY ZACHOWANIA — zasady stwierdzające, że w układach zamkniętych
(tzn. takich, które nie oddziałują z obiektami fizycznymi znajdującymi się na
zewnątrz nich) pewne wielkości fizyczne zachowują stałe w czasie wartości.
Przykładami ważnych zasad zachowania w fizyce są zasady zachowania: 
pędu,  momentu pędu,  energii,  ładunku elektrycznego.
Pytania kontrolne
Co to jest inercjalny układ odniesienia?
Na czym polega względność ruchu?
Sformułuj zasadę względności i podaj przykłady zastosowania.
Zdefiniuj iloczyn wektorowy i iloczyn skalarny wektorów.
Podaj przykłady wielkości skalarnych i wektorowych.
Podaj definicje: granicy funkcji, pochodnej, różniczki.
Przedstaw geometryczną i fizyczną interpretację pochodnej.
Zdefiniuj: wektor położenia, wektor przemieszczenia, prędkość średnią i chwilową,
przyspieszenie średnie i chwilowe.
Co to jest siła?
Co to jest bezwładność?
Sformułuj zasady dynamiki Newtona.
Sformułuj prawo powszechnego ciążenia.
Czym się różni ciężar od masy?
www.umcs.filozofia.lublin.pl
Literatura
www.umcs.filozofia.lublin.pl

similar documents