Distribusi peluang normal

Report
Kuswanto dan Rizali 2014
Download materi: http://rizali.staff.ub.ac.id
Sebaran Peluang kontinyu




Sebagian besar kegiatan di alam ini mengikuti
sebaran kontinyu
Salah satu sebaran kontinyu adalah sebaran
normal.
Sebaran normal menjadi syarat untuk
dilakukan Analisis varian, dalam Perancangan
Percobaan.
Contoh sebaran kontinyu : luas lahan, tinggi
tanaman, tebal lapisan olah tanah, bobot buah,
diameter batang, hasil panen dll
Perbedaan dg sebaran diskrit




Berbeda dengan sebaran peluang diskrit, apabila
X kontinyu, maka :
P(a< X  b) = P(a < X < b) + P (X=b)
= P (a < X < b)
Dimana tidak ada bedanya apakah kita
memasukkan titik ujung selang atau tidak.
Pada sebaran kontinyu tidak ditentukan batas
tegas antara titik b dan titik <b.
Contoh : berapakah batas tegas antara 2 dan
kurang dari 2?? Tentu tidak dapat didefinisikan.
Fungsi kepekatan

Sebaran ini tak dapat disajikan dalam
bentuk tabel, tetapi dapat dalam bentuk
rumus yang dapat digambarkan sebagai
suatu kurva kontinyu dan disebut fungsi
kepekatan peluang atau disingkat
fungsi kepekatan
 Secara lengkap akan dijelaskan
kemudian
Sebaran NORMAL



Sebaran peluang kontinyu yang paling penting
dalam bidang statistika adalah sebaran normal.
Grafiknya disebut kurva normal, yaitu grafik
berbentuk genta (bell-shaped) seperti yang
terlihat di bawah
Grafik ini digunakan banyak sekali untuk
gugusan data yang terjadi di alam, industri dan
penelitian.
Tinggi badan pria dewasa terdistribusi normal dengan rata-rata 69.0
inchi dan standar deviasi 2.8 inchi. Sedangkan perempuan dengan
rata-rata 63.6 inchi dan standar deviasi 2.5 inchi
Mana yang rata-rata lebih besar?
Mana yang standar deviasi lebih besar?
Bentuk persamaan normal
1 / 2
1
f(x) =
2 
2
e
(x )

2
2
untuk - < x < ,  = 3,14159,
e = 2,71828
f(x)
bentuk kurva normal
(bell-shaped)
Dibidang pertanian, kita akan lebih sering menerapkan rumus tersebut.
Yang tertarik mempelajari asal usul rumus tersebut, dapat membaca di
buku-buku statistika
Ciri kurva normal
μ -σ
μ
μ+σ
Distribusi normal
dituliskan dengan
X ~ N (μ, σ)
Dibaca : X menyebar normal, dengan
rerata mu dan standar deviasi sigma
• ada 2 parameter, yaitu 
(mean) dan 
(sigma=standar deviasi)
• grafiknya disebut kurva
normal  lihat gambar
dibawah
Ciri :
- simetris terhadap μ
- mempunyai titik belok x =
μ+σ
Distribusi normal baku
Fungsi normal juga sudah ditabelkan,
tetapi khusus untuk μ=0 dan σ=1.
 Dapat diakses darin internet, atau dari
buku statistika.
 Distribusi normal dengan mean 0 dan
standar deviasi 1 disebut Distribusi
Normal Baku dan diberi notasi Z~N(0,1)
dan Z = (x- μ)/σ
 Yang tersedia tabel P(Z ≤ zo)

Tabel Distribusi normal standar (Z)
Gambar distribusi Z (normal baku)
Luas kurva distribusi normal baku
-1
0
+1
Mengingat distribusi normal mempunyai sifat
simetris dan luas dibawah kurva sama dengan 1,
maka P(Z ≤ 0) = P(Z ≥ 0) = 0,5
Contoh tabel normal
Contoh
P(z < 1.96)
= 0.9750 (lihat di tabel)
P(z ≤ 1.96)
= P(z < 1.96) + P(z = 1.96)
= P(z < 1.96) + 0
= P(z < 1.96)
P(z > 1.28)
P(z > 1.28) = 1 – P(z < 1.28)
= 1 – 0.8997
= 0.1003
P(–1.23 < z < 0.97)
P(–1.23 < z < 0.97) = P(z < 0.97) – P(z < –1.23)
= 0.8340 – 0.1093
= 0.7247
Contoh :


a. Hitung peluang P(Z<1,37) dan P(Z>1,37)
Dengan melihat tabel kurva normal


P(Z<1,37) = 0,9147 artinya peluang terjadinya Z<1,37
adalah 0,9147
P(Z>1,37) = 1 - P(Z<1,37)
= 1 - 0,9147
= 0,0853 artinya peluang terjadinya Z>1,37
adalah0,0853
0.0853
0,9147
1,37
b. P(-1,55 ≤ Z ≤ 1,60) = P(Z ≤1,60) - P(Z ≤-1,55)
= 0,9452 - 0,0606 = 0,8846 (apa artinya?)
0,8846
-1,55
1,60
c. Tentukan harga Zo sedemikian hingga
P(Z>Zo) = 0,025
Dengan cara dibalik, maka
P(Z ≤ Zo) = 1 - 0,025 = 0,975 (apa artinya?)
Dicari di tabel (ingat soal dibalik)  Zo = 1,96
Normal tidak baku

Karena Distribusi normal X ~ N (μ, σ) dengan
transformasi menjadi baku
Z = x-μ
maka Z ~ N (0,1)
σ

Soal d. Rata-rata kalori humburger yang
dihidangkan untuk makan siang adalah 200 dengan
standar deviasi 5. Bila kalori mengikuti distribusi
normal, tentukan : P(X>208) dan P(190< x <200)
Jawab:
P(x>208) = P[(x-200)/5] > (208-200)/5]
= P(Z>1,6)
= 1 - P(Z ≤ 1,6) = 1 - 0,9452 = 0,0548
(artinya peluang kalori humberger >208 kal adalah
0,0548)

Distribusi normal tidak baku
Rata-rata tinggi perempuan 63.6 inchi dan standar
deviasi 2.5 inchi
Cari peluang tinggi
perempuan 60 inchi atau
lebih rendah?
P(z ≤ 60)
= P (z ≤ {60 – 63.6/2.5})
= P(z ≤ –1.44)
= 0.0749
Tinggi perempuan dewasa terdistribusi normal dengan ratarata 63.6 inchi dan standar deviasi 2.5 inchi. Cari peluang
perempuan antara 62 inchi dan 67 inchi
P(62 ≤ x ≤ 67)
= P( {62 – 63.6/2.5} ≤ z ≤ {67 – 63.6/2.5})
= P(–0.64 ≤ z ≤ 1.36)
= 0.9131 – 0.2611
= 0.6520
Soal kedua
P(190< x <200) = P[(190-200)/5 <
(x-200)/5 < (200-200)/5]
= P(-2 < Z < 0)
= 0,5 - P(Z<-2)
= 0,5 - 0,0228 = 0,4772
(apa artinya?)
Dengan Excel
Distribusi normal baku
=NORMSDIST(z)
P(z < 1.96)
=NORMSDIST(1.96)
P(z > –1.5)
=1-NORMSDIST(-1.5)
P(–1.23 < z < 0.97)
=NORMSDIST(0.97)-NORMSDIST(-1.23)
Dengan Excel
Distribusi normal tidak baku
=NORMDIST(x,μ,σ,TRUE)
μ = 63.6, σ = 2.5
P(x ≤ 60)
=NORMDIST(60,63.6,2.5,TRUE)
Dengan Excel
Diketahui peluangnya
P(x ≤ A) = 0.9750
Tidak baku
=NORMSINV(probability)
=NORMSINV(0.9750)
=NORMINV(probability, mean, standard
deviation)
μ = 63.6, σ = 2.5, P = 10%
=NORMINV(0.9,63.6,2.5)
Bila diambil contok acak n




Dari teorema limit pusat, misalkan diambil
contok acak berukuran n dari suatu populasi
yang mempunyai mean μ dan standar deviasi σ,
maka
x1+ x2 + x3 + …+ xn
x = ----------------------------------n
akan mempunyai distribusi normal dengan mean
μ dan varian σ²/n
Dalam praktek n  ∞, dapat didekati untuk n ≥
30.
Teorema limit pusat ini membuat peranan
distribusi normal menjadi penting.
Teorema Limit Pusat
Apabila seluruh contoh dengan ukuran n diperoleh
dari populai dengan rata-rata μ dan standar
deviasi σ, distribusi dari rata-rata contoh x akan
mendekati distribusi normal. Rata-rata dari ratarata contoh (μx) adalah sama dengan rata-rata
populasi μ. Standar deviasi dari rata-rata contoh
(σx) adalah σ/ √n. σx disebut dengan standard
error dari rata-rata atau standard error
Dengan pengambilan contoh acak n, maka bentuk
kurva normal dapat dilukiskan sebagai :
μ-σ/n
titik belok
μ
μ+σ/n
titik belok
σ biasanya juga tidak diketahui
dan bisa diduga s (standar deviasi contoh)
Contoh :


Suatu populasi mempunyai rata-rata = 82 dan standar
deviasi =12. Diambil contoh acak sebanyak n = 64.
Tentukan P(80,8 ≤x ≤ 83,2) dan P(x > 93,2).
Menurut teorema limit pusat x ~ (82,144/64)
dimana μ = 82 dan σx = σ/√n = 12/8 = 1,5, maka
P(80,8 ≤x ≤ 83,2) = P[(80,8-82)/1,5 ≤ (x -82)/1,5 ≤
(83,2-82)/1,5]
= P(-1,2/1,5 ≤ Z ≤ 1,2/1,5)
= P(-0,8 ≤ Z ≤ 0,8)
= P(Z ≤ 0,8) - P(Z ≤ -0,8)
= 0,7881 - 0,2119
= 0,5762
(peluang rerata 80,8 ≤x ≤ 83,2 adalah 0,5762)

P(x > 93,2) = P[(x-82)/1,5 > (93,2-82)/1,5]
= P(Z> 11,2/1,5)
= P(Z > 7,46)
= 1 - P(Z ≤ 7,46)
=1-1=0
(apa artinya?)
Dengan Excel
Distribusi normal tidak baku
=NORMDIST(x,μ,σ,TRUE)
μ = 82, σ = 1.5
P(80,8 ≤x ≤ 83,2) =NORMDIST(83.2,82,1.5,TRUE) NORMDIST(80.8,82,1.5,TRUE)
P(x > 93.2)
=1 - NORMDIST(93.2,82,1.5,TRUE)
The Normal Distribution:
68.27%
f
95.44%
99.73%
3
2

X

2
3
There is an equation which describes the height of
the normal curve in relation to its standard dev ()
Normal distribution with σ = 1, with varying means
μ=1
μ=2
ƒ
μ=0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
If you get difficulties to keep this term,
read statistics books
Normal distribution with μ = 0, with varying standard
deviations
ƒ
σ=1
σ = 1.5
σ=2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Exercises, normal distribution
1.
For the standard normal random variable Z, find
P(Z < 0,42),
P(-1,2 < Z < 2,1)
P(Z < 1,64)
2.
Find z-value in each of the following cases :
P( Z < z ) = 0,1736
P(Z > z ) = 0,10
P(-z < Z < z) = 0,954
P(-0,6 < Z < z ) = 0,50
3. Scores on certain nationwide college
entrance examination follow a normal
distribution with a mean of 500 and a
standard deviation of 100. Find the
probability that a student will score :
Over 650
Less than 250
Between 325 and 675
Soal
4. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi
bohlam yang umurnya menyebar normal
dengan nilai tengah 800 jam dan simpangan
baku 40 jam. Hitunglah peluang sebuah
bohlam hasil produksinya akan mencapai
umur antara 778 dan 834 jam. Tunjukkan luas
daerahnya dalam gambar sebaran normal.
5. Find normal distribution cases in your daily
needed, at least 2 cases. You must be explain
it completely, consist of stetement, sample of
data and the figure illustration. Write all in
English fluently.

similar documents