"Геометрия" (материалы для подготовки к ОГЭ по математике)

Report
Автор презентации:
Бубнова Надежда Денисовна
Учитель математики МКОУ ООШ №25
п.Нижнеэтокский Предгорного района
Ответ: 70
ПОВТОРЕНИЕ
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В треугольнике сумма углов равна 180°
Ответ: 6.
ПОВТОРЕНИЕ
Внешний угол треугольника – это угол, смежный с
углом треугольника
Сумма смежных углов углов равна 180°
В треугольнике сумма углов равна 180°
5
Один из углов параллелограмма на 46°
больше другого. Найти больший из них.
∠А+∠D=180°
Пусть ∠А=х°, тогда∠D=х°+46°
х+х+46=180
2х=134
х=67
∠D =2∙67°=134°
Ответ: 134.
ПОВТОРЕНИЕ
Параллелограмм – это четырехугольник, у
которого противоположные стороны
параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
Найти больший угол
параллелограмма АВСD.
∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72°
∠С+∠В=180°
∠В=180°-∠В=180°-72°=108°
Ответ: 108.
ПОВТОРЕНИЕ
Если угол разделен на части, то его градусная
мера равна сумме градусных мер его частей.
В параллелограмме сумма соседних углов
равна 180°
Углы ромба относятся как 3:7 .
Найти больший угол.
∠1+∠2=180°
Пусть х° - одна часть, тогда∠2=3х°, ∠1=7х°
3х+7х=180
10х=180
х=18
∠1=18°∙7=126°
Ответ: 126.
ПОВТОРЕНИЕ
В ромбе противоположные стороны параллельны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
Разность противолежащих углов
трапеции равна 68°. Найти
больший угол.
∠А+∠В=180°
∠В+∠С
Если ∠А=х°, то ∠В=х°+68°
х+х+68=180
2х=180-68
х=12
∠В=12°+68°=80°
Ответ: 80.
ПОВТОРЕНИЕ
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Сумма углов, прилежащих боковой стороне
трапеции равна 180°.
В
47⁰
?
С
D
Найдите угол между гипотенузой и
медианой, проведенной из прямого
угла.
А
∠А+∠В=90°
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠В= ∠ВСD, ∠А= ∠АCD
∠ВCD=47°
∠ВDC=180°-2∙47⁰=86⁰
Ответ: 86.
ПОВТОРЕНИЕ
В прямоугольном треугольнике сумма острых
углов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма углов треугольника равна 180⁰
С
N
В
Найдите внешний угол при вершине С.
?
О L
4
1
3 100⁰2
А
Так как ∠1=∠2, ∠3=∠4, то ∠2+∠3=1/2(∠А +∠В)
∠2+∠3=180°-100⁰=80⁰ ⇒
∠А+∠В=80⁰∙2=160⁰
Внешний угол при вершине С равен 160⁰
Ответ: 160.
ПОВТОРЕНИЕ
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
Внешний угол треугольника – это угол, смежный с
углом треугольника и он равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним.
В
sin A=0,8. Найдите sin B.
С
А
sin À  cos   0,8
sin   cos   1
2
2
sin   1  cos B  1  0,8  0,6
2
Ответ: 0,6.
2
ПОВТОРЕНИЕ
В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2   cos2   1
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
15
tgA 
8
В
15
С
Найти АВ.
Повторение (2)
А
ÂÑ
tgA 
ÀC
⇒
ÂÑ 15

ÀC 8
⇒
AÑ  8
По теореме Пифагора
2
2
2
2
ÀÑ  ÀC  ÂÑ  8  15  17
Ответ: 17.
20
ПОВТОРЕНИЕ
Тангенс острого угла прямоугольного
треугольника равен отношению
противолежащего катета к прилежащему
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
С
Найти AB.
120⁰
25 3
В
H
А
Проведем высоту CH, получим ∆ВCH.
1
⇒ ÂH   25 3
2
∠ВCH=60⁰ ⇒ ∠CВH=30⁰
По теореме Пифагора в ∆BCH
1
2
2
2
2
BH  BC  CH  (25 3 )  (  25 3 )  75
2
Ответ: 75.
ПОВТОРЕНИЕ
Высота в прямоугольном треугольнике,
проведенная к основанию является
биссектрисой и медианой
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий
против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
А
1
2
3
Е
С Дано: параллелограмм, P=10,
АЕ:ЕD=1:3.
D Найти AD
∠1=∠3 как накрест лежащие при секущей ВЕ
∠3=∠2 так как ∠1=∠2 по условию ⇒ АВ=АЕ
Пусть АЕ=х, тогда АВ=х, ЕD=3х
Р=2∙(х+3х) ⇒ 2∙(х+3х)=10
4х=5
Х=1,25
AD=4∙1,25=5
Ответ: 5.
ПОВТОРЕНИЕ
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
Периметр многоугольника – это сумма длин всех
сторон многоугольника
При пересечении двух параллельных прямых
накрест лежащие углы равны
Если два угла в треугольнике равны, то
треугольник - равнобедренный
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
А
49
60⁰
В
О
С
АВСD – ромб. Найти меньшую
диагональ.
D
В ∆АОВ, где ∠ВАО=30⁰ ⇒
ОВ=½АВ=½∙49=24,5
ВD=2ОВ=2∙24,5=49
Ответ: 49.
ПОВТОРЕНИЕ
Диагонали ромба пересекаются под прямым
углом и делят углы ромба пополам
Катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в 30⁰ равен половине гипотенузы
Диагонали параллелограмма (ромба) точкой
пересечения делятся пополам
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
А
34
С
Е
D
АВСD – трапеция, СЕ||АВ.
P∆CDЕ =69.
Найти P трапеции
Так как СЕ||АВ, то АВ=ЕС, АЕ=ВС=34
АD=АЕ+ЕD
P∆CDЕ =CD+ЕD+СЕ
P∆АВCD =АВ+ВС+CD+АD
⇒
P∆АВCD =P∆CDЕ +ВС=69+34=103
Ответ: 103.
ПОВТОРЕНИЕ
Если в четырехугольнике противоположные
стороны параллельны, то такой четырехугольник параллелограмм
В параллелограмме противоположные стороны
равны
Если отрезок точкой разделен на части, то его
длина равна сумме его частей
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
М
А 51
С
?
H
94
E
К
D
АВСD – трапеция
Найти среднюю линию трапеции
Проведем СЕ⍊AD, получим ∆ABH=∆CED и
прямоугольник BCEH
⇒ AH=ЕD=51, BC=HE=HD-ED=94-51=43,
⇒ AD=AH+HE+ЕD= 51+94=145
AD  BC
145  43
MK 
 94
⇒ MK 
2
2
Ответ: 94.
ПОВТОРЕНИЕ
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и
катету другого треугольника, то треугольники равны
Если отрезок точкой разделен на части, то его
длина равна сумме длин его частей
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований трапеции
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
М
А
С
К
АВСD – трапеция,
АВ=23, CD=3.
Найти МК.
D
AD+BC=AB+CD=23+3=26
AD  BC
MK 
2
Ответ: 13.
⇒
23  3
MK 
 13
2
ПОВТОРЕНИЕ
Если в четырехугольник можно вписать
окружность, то суммы противоположных сторон
четырехугольника равны
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований трапеции
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
Найти r.
В
r
135
С
11
А
По теореме Пифагора в ∆BCH
ÀB  BC  ÀC2  ( 135)2  112  16
r=½d=½АВ=½∙16=8
Ответ: 8.
ПОВТОРЕНИЕ
Прямой угол, вписанный в окружность опирается
на диаметр окружности
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Радиус окружности равен половине диаметра
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №10
В
M
А
С
5
АВСD – трапеция, P∆ABCD =12.
Найти боковую сторону трапеции.
К
D
AD  BC
MK 
2
⇒
AD+BC=2MK=2∙5 =10
AB=½(P∆ABCD -(AD+BC))=½(12-10)=1
Ответ: 6.
ПОВТОРЕНИЕ
Средняя линия трапеции равна полусумме
оснований трапеции
Описать окружность можно только около
равнобедренной трапеции
Периметр многоугольника – это сумма длин всех
сторон многоугольника
Задание 11
В прямоугольном треугольнике один из
катетов равен 10, а острый угол,
прилежащий к нему, равен 300.
Найдите площадь треугольника.
А
Подсказка (3):
10
1
S   CB  CA
2
BC
0
cos 30 
AB
300
S-?
С
АВ  АС  ВС
2
В
2
2
50 3
2
АВ
ВС
Задание 11
В прямоугольном треугольнике один
из катетов равен 10, а угол,
лежащий напротив, равен 600.
Найдите площадь треугольника.
А
10
Подсказка (3):
1
S   BС  AС
2
AC
0
АВ
sin 60 
AB
S-?
ВС  АВ  АС
2
600
С
В
50 3
2
Задание 11
Сторона равностороннего треугольника
равна 10. Найдите его площадь.
А
Подсказка (4):
1
S   BC  AH
2
10
1
ВН  ВС
2
S-?
АН  АВ  ВН
2
В
Н
АВ  ВС  АС
С
25 3
2
Задание 11
Периметр равнобедренного треугольника
равен 16, а основание — 6.
Найдите площадь треугольника.
Подсказка (4):
А
1
S   BC  AH
2
Р  АВ  ВС  АС
АВН :
S-?
В
Н  900 , АВ  5, ВН  3
25 3
Н
Р  16
АВ
С
ВС  6
АВ 2  АН 2  ВН 2
12
В прямоугольнике одна сторона 6,
а диагональ 10.
Найдите площадь прямоугольника.
Задание 11
Подсказка (3):
В
6
А
С
S-?
S  AB  ВC
АВС : В  900
АС2  АВ2  ВС2
10
D
48
ВC
Задание 11
Периметр ромба равен 24,
а тангенс одного из углов равен
Найдите площадь ромба.
А
2
.
4
Подсказка (4):
Sромба  2S
В
D
S-?
С
Р  24
1
S ABD  AВ  AD  sin A
2
1
1  tg A 
2
cos A
2
2
sin A  cos A  1
12
2
Задание 11
Одна из сторон параллелограмма равна 12,
другая равна 5, а один из углов — 450.
Найдите площадь параллелограмма.
Подсказка (3):
А
5
450
D
Н
12
В
S-?
С
S  DC  AH
АВС :
0
0
0
Н  90 , D  45 , А  45
АН  DH
2
2
АН
AD  2АН
30 2
Основания трапеции равны 18 и 12,
одна из боковых сторон равна 4 2, а угол
между ней и одним из оснований равен 1350.
Найдите площадь трапеции.
Задание 11
Подсказка (3):
В
12
С
1
S  BС  АD )  ВН
2
1350
4 2
А
S-?
Н
18
D
АВН :
0
0
Н  90 , В  А  45
АН  ВН
2
2
АВ  2ВН
ВН
60
Радиус круга равен 3, а длина
ограничивающей его окружности равна 6π.
Найдите площадь круга.
Задание 11
Подсказка (3):
3
S-?
О
  3,14 С  6
S  R
2
С  2R
С  6
28,26
R
Найдите площадь кругового сектора,
если длина ограничивающей его дуги
равна6 , а угол сектора равен 1200
Задание 11
S-?
Подсказка (5):
6π
l
1200
О
  3,14
R
180
S

R
R
2
360
9,68

1. В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8.
Найдите sin A.
Решение 1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза
AB равна 10. Найдем катет BC. Используя теорему
Пифагора, имеем BC =
. Следовательно, sin A
= 0,6.
102  82  6
Решение 2. Так как катет AC равен 8, а гипотенуза AB равна 10, то cos A = 0,8.
Воспользуемся формулой , выражающей косинус через синус
2
острого угла. Откуда sin A = 0,6.
Ответ. 0,6.
sin A  1  cos A
2. В треугольнике ABC угол C равен 90о, высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A.
Решение. В прямоугольном треугольнике ACH катет CH равен 6, гипотенуза AC
равна 10. Используя теорему Пифагора, находим AH = 8. Следовательно, tg A =
0,75.
Ответ. 0,75.
3. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите sin A.
Решение. Проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза
AC равна 10, катет AH равен 6. По теореме Пифагора находим CH = 8 и,
следовательно, sin A = 0,8.
Ответ. 0,8.
4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.
Решение. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 10, катет AH
равен 8. По теореме Пифагора находим BH = 6 и, следовательно, cos B = 0,6. Так как
углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.
Ответ. 0,6.
5. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 8, AC =
. Найдите тангенс угла8ACB.
5
Решение. По теореме Пифагора найдем катет AH прямоугольного треугольника ACH.
Имеем AH =
. Откуда tg A = 0,5. Так как углы A и C треугольника ABC
64  5  64  16
равны, то тангенс угла ACB равен 0,5.
Ответ. 0,5.
6. В треугольнике ABC угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего
угла при вершине A.
Решение. Синус внешнего угла при вершине A треугольника ABC равен синусу
угла A и, следовательно, равен 0,6.
Ответ. 0,6.
7. В треугольнике ABC угол C равен 90о, tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB.
Решение. Имеем BC = AC tg A = 8 0,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB =
10.
Ответ. 10.
9. В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin A = 0,8. Найдите AB.
Решение. Проведем высоту CH. Имеем CH = AC sin A = 8. По теореме

Пифагора находим AH = 6 и, следовательно, AB = 12.
Ответ. 12.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Через любые три различные точки
плоскости можно провести единственную
прямую.
2.Если угол равен 25⁰, то смежный с ним
угол равен 155⁰
3.Через любую точку плоскости можно
провести не менее одной прямой
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте
аксиому
о взаимном
Через
любые две точки
проходит
прямая , и
расположении
прямойодна
и точек.
притом только
КакимСумма
свойством
обладают
смежные
углы?
смежных
углов равна
180°
Сколько
прямых
можно
провести
через
точку на
Через
точку на
плоскости
можно
провести
плоскости?
бесконечно
много прямых.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если угол равен 56⁰, то вертикальный с
ним угол равен 124⁰.
2.Существует точка плоскости, через
которую можно провести бесконечное
количество различных прямых.
3.Через любую точку плоскости можно
провести не более двух прямых.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте
свойство вертикальных
Вертикальные
углы равны углов.
Сколько прямых можно провести через точку на
Через точку на плоскости можно провести
плоскости?
бесконечно
много прямых.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Через любые две различные точки
плоскости можно провести не более
одной прямой.
2.Через любые две различные точки
плоскости можно провести не менее
одной прямой.
3.Если угол равен 54⁰, то вертикальный с
ним угол равен 36⁰.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте
о взаимном
Через
любые две аксиому
точки проходит
прямая, и
расположениипритом
прямой
и точек
на плоскости.
только
одна.
Сформулируйте
свойство вертикальных
Вертикальные
углы равны. прямых
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Через любую точку плоскости можно
провести прямую.
2.Через любую точку плоскости можно
провести единственную прямую.
3.Существует точка плоскости, через
которую можно провести прямую.
62
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сколько прямых можно провести через точку на
Через точку на плоскости можно провести
плоскости?
бесконечно много прямых.
Существует
ли точка
плоскости,можно
через которую
Через любую
точку плоскости
провести
нельзя провести прямую?
прямую.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если две параллельные прямые
пересечены третьей прямой, то
соответственные углы равны.
2.Если две параллельные прямые
пересечены третьей прямой, то сумма
внутренних односторонних углов равна 90⁰
3.Если при пересечении двух прямых
третьей соответственные углы равны, то
прямые перпендикулярны.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Сформулируйте свойство параллельных прямых
Если две параллельные прямые пересечены
относительно соответственных углов
третьей прямой, то соответственные углы равны
Если две параллельные
прямые пересечены
Сформулируйте
свойство параллельных
прямых
третьейвнутренних
прямой, то односторонних
сума внутренних
относительно
углов.
односторонних углов равна 180°
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если две параллельные прямые
пересечены третьей прямой, то
внутренние накрест лежащие углы равны.
2.Если при пересечении двух прямых
третьей внутренние односторонние углы
равны 70⁰, то прямые параллельны.
3.Если при пересечении двух прямых
третьей внутренние накрест лежащие
углы равны 39⁰ и 141⁰, то прямые
параллельны.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Если при пересечении
двух прямых третьей
Сформулируйте
признак параллельности
двух
накрест
лежащие углы
равны,
то прямые
прямых
относительно
накрест
лежащих
углов.
параллельны.
Сформулируйте
признак двух
параллельности
двух
Если при пересечении
прямых третьей
прямых
внутренних односторонних
суммаотносительно
внутренних односторонних
углов равна
углов.параллельны.
180°, то прямые
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если три угла одного треугольника
соответственно равны трем углам другого
треугольника, то такие тр-ки подобны.
2.Если один из острых углов
прямоугольного треугольника равен 25⁰, то
другой угол равен 65⁰.
3.Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного тр-ка соответственно
равны гипотенузе и катету другого
прямоугольного тр-ка, то тр-ки равны
68
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Если два угла одного треугольника
Сформулируйте равны
признак
треугольника
по углам
соответственно
двум
углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Каким свойством обладают острые угла
Сумма острых углов прямоугольного
прямоугольного
треугольникатреугольника?
равна 90⁰.
Сформулируйте
признак
Если гипотенуза
и катет
одного равенства
прямоугольного
прямоугольных
треугольниковравны
по гипотенузе
и и
треугольника
соответственно
гипотенузе
катету.
катету другого прямоугольного
треугольника, то
треугольники равны
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Какие
углы в равнобедренном
треугольнике
В равнобедренном
треугольнике
углы при
равны?равны.
основании
Если три стороны
треугольника
Сформулируйте
признакодного
подобия
треугольников
пропорциональны
трем сторонам другого
по трем сторонам.
треугольника, то треугольники подобны.
Чему
равна
сумма
углов треугольника?
Сумма
углов
треугольника
равна 180⁰?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.В∆АВС, для которого ∠А=45⁰, ∠В=55⁰,
∠80⁰, сторона АС – наименьшая.
2.Квадрат любой стороны треугольника
равен сумме квадратов других сторон
треугольника без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними.
3.В треугольнике против меньшей стороны
лежит меньший угол.
71
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В треугольникетеорему
против большей
сторонымежду
лежит
Сформулируйте
о соотношениях
больший
угол, и наоборот,
против большего угла
сторонами
и углами треугольника.
лежит большая сторона.
Квадрат любой стороны треугольника равен
теорему
суммеСформулируйте
квадратов других
сторонкосинусов.
треугольника
минус удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.В треугольнике против меньшего угла
лежит большая сторона.
2.Центром окружности, описанной около
правильного треугольника, является точка
пересечения его биссектрис.
3.Кажддая сторона треугольника больше
суммы двух других сторон.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В
треугольнике против
большей
стороны лежит
Сформулируйте
теорему
о соотношениях
между
больший
угол, и наоборот,
большего угла
сторонами
и угламипротив
треугольника.
лежит большая сторона.
около треугольника
ВЦентр
какойокружности,
точке лежитописанной
центр окружности,
описанной
лежит в точке пересечения
серединных
около треугольника?
перпендикуляров к сторонам треугольника.
Каждая
сторона треугольника
суммы
Сформулируйте
неравенствоменьше
треугольника.
двух других сторон.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Сумма двух противоположных углов
параллелограмма равна 180⁰.
2.Если в четырехугольник можно вписать
окружность, то сумма его
противоположных сторон равна 200, а
длина третьей стороны равна 60, то длина
оставшейся стороны равна 140.
3.Около любого четырехугольника можно
описать окружность.
75
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В параллелограмме
углы
Сформулируйте
свойствопротивоположные
углов параллелограмма.
равны.
Около
четырехугольника
можно
описать
Около
какой
четырехугольника
можно
описать
окружность, если
суммы противоположных
окружность?
сторон четырехугольника равны.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Около любого квадрата можно описать
окружность.
2.Сумма двух противоположных углов
вписанного в окружность
четырехугольника равна 90⁰.
3.Если диагонали параллелограмма делят
его углы пополам, то этот
параллелограмм – ромб.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Около
четырехугольника
можно
описать
Около
какой
четырехугольника
можно
описать
окружность, если
суммы противоположных
окружность?
сторон четырехугольника равны .
Чему
равны
суммы противоположных
углов в
Суммы
противоположных
углов вписанного
вписанного
в окружность
четырехугольника?
окружность
четырехугольника
равны 180⁰
Сформулируйте
ромба с учетом
что
Если диагоналипризнак
параллелограмма
деляттого,
его углы
ромбто–этот
это параллелограмм
параллелограмм.– ромб.
пополам,
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если в четырехугольнике диагонали
равны, то этот четырехугольник –
прямоугольник.
2.Если в четырехугольник можно вписать
окружность, сумма длин двух его
противоположных сторон равна 180, а
длина третьей стороны равна 70, то длина
оставшейся стороны равна 110.
3.Диагонали прямоугольника равны.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Если
в параллелограмме
равны, то
Сформулируйте
признак диагонали
прямоугольника.
этот параллелограмм – прямоугольник.
В какой четырехугольник
можно вписать сторон
В четырехугольник,
суммы противоположных
окружность?
которого равны,
можно вписать окружность.
Каким особым свойством обладает
Диагонали
прямоугольника равны.
прямоугольник?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.В любой ромб можно вписать
окружность.
2.Около любой трапеции можно описать
окружность.
3.Если сумма двух противоположных
углов четырехугольника равна 90, около
этого четырехугольника можно описать
окружность
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
В какой четырехугольник
можно вписать сторон
В четырехугольник,
суммы противоположных
окружность?
которого равны
можно вписать окружность.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Площадь круга радиуса R равна πR².
2.Если радиус окружности равен 10, а
расстояние от центра окружности до
прямой равно 2, то эти прямая и
окружность пересекаются.
3.Длина окружности радиуса R равна πR.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
По какой формуле можно вычислить площадь
S=πR²
круга?
Если
расстояние
от центра
окружности
до прямой
При
каком условии
прямая
и окружность
меньше радиуса
окружности, то прямая и
пересекаются?
окружность пересекаются.
По какой формуле можно вычислить длину
С=2πR
окружности?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если радиусы двух окружностей равны 3 и
5, а расстояние между их центрами равно 6 ,
то эти окружности не имеют общих точек
2.Если радиус окружности равна 3, а
расстояние от центра окружности до прямой
равно 2, эти прямая и окружность не имеют
общих точек.
3.Через любые три различные точки
плоскости, не лежащие на одной прямой,
можно провести не более одной окружности
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
между их
их радиусов,
центрами то
больше
суммыне
их
больше суммы
окружности
радиусов?
пересекаются.
Если
от центра
окружности
до прямой
Прирасстояние
каком условии
прямая
и окружность
не
больше радиуса окружности,
то прямая и окружность
пересекаются?
не пересекаются.
Через три
точки плоскости
можно
провести
окружность,
Можно
ли через
три точки
плоскости
провести
если центр окружности лежит на биссектрисе угла, вершина
окружность?
которого лежит в одной из данных точек, стороны этого угла
проходят через две другие точки, и центр окружности
равноудален от данных точек.
Значит такая окружность единственная.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если расстояние между центрами двух
окружностей меньше суммы их радиусов,
то эти окружности пересекаются.
2.Площадь круга радиуса R равна 2πR.
3.Длина окружности радиуса R равна 2πR.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
ихих
центрами
меньше
суммы их
меньшемежду
суммы
радиусов,
то окружности
радиусов?
пересекаются.
По какой формуле можно вычислить площадь
S=πR²
круга?
По какой формуле можно вычислить длину
С=2πR
окружности?
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Площадь круга равна квадрату его
радиуса.
2.Площадь круга радиуса R равна 2πR².
3.Если вписанный угол равен 72⁰, то
центральный угол, опирающийся на ту же
дугу окружности, равен 144⁰.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
По какой формуле можно вычислить площадь
S=πR²
круга?
Градусная
мера
вписанного
равна половине
Чему равна
градусная
мераугла
вписанного
угла?
дуги, на которую он опирается.
Градусная
центрального
угла равна дуге,
Чему
равнамера
градусная
мера центрального
угла?на
которую он опирается.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ» №13
Укажите номера верных утверждений
1.Если радиусы двух окружностей равны 3 и
5, а расстояние между их центрами равно 1,
то эти окружности не имеют общих точек.
2.Если расстояние между центрами двух
окружностей больше суммы их радиусов, то
эти окружности пересекаются.
3.Если расстояние от центра окружности до
прямой меньше диаметра окружности, то
эти прямая и окружность пересекаются.
ПОВТОРЕНИЕ (ПОДСКАЗКА)
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
ихих
центрами
меньше
суммы их
меньшемежду
суммы
радиусов,
то окружности
радиусов?
пересекаются.
Каково
взаимное положение
двух окружностей,
если
Если расстояние
между центрами
двух окружностей
расстояние
между их
их радиусов,
центрами то
больше
суммыне
их
больше суммы
окружности
радиусов?
пересекаются.
Если
расстояние
от центра
окружности
до прямой
При
каком условии
прямая
и окружность
меньше радиуса окружности,
то прямая и окружность
пересекаются?
пересекаются.
№24. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом
С известны катеты: АС=6, ВС=8. Найдите медиану СК этого
треугольника.
Ответ_________
№25. В параллелограмме АВСД точка Е-середина стороны
АВ. Известно, что ЕС=ЕД. Докажите, что данный
параллелограмм – прямоугольник.
№26 Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12.
Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается
продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Ответ_______
№24
№25
№26
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ», ЧАСТЬ 2
24.1 Один угол параллелограмма больше другого на 74°.
Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
25.1. Докажите, что если биссектриса одного из внешних
углов треугольника параллельна противоположной стороне
треугольника, то этот треугольник равнобедренный.
26.1. Площадь ромба ABCDравна 18. В треугольник ABD
вписана окружность, которая касается стороны ABв точке K.
Через точку K проведена прямая, параллельная диагонали
ACи отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите
синус угла BAC.
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ», ЧАСТЬ 2
24.2 В треугольнике ABCугол С равен 90°,  =
2 6
.Найдите косинус внешнего угла при вершине A.
5
25.2. В трапеции ABCDсоснованиями BCи ADдиагонали
AC и BDпересекаются в точке O. Докажите равенство
площадей треугольников AOB и COD.
26.2.
Прямоугольный
треугольник
ABCразделён
высотойCD, проведённой к гипотенузе, на два
треугольника – BCDиACD. Радиусы окружностей,
вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3
соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник ABC.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 24.1
24.1 Один угол параллелограмма больше другого на 74°.
Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
Решение.
C
B
A
D
∠A=∠С (какпротивоположные
углыпараллелограмма), значит,
∠A<∠B на 74°, ∠А=∠В‒74°.
∠A+∠B= 180° (по свойству
параллельных прямых).
∠В‒74° +∠B= 180°,
2∠В=254°,
∠В=127°.
Ответ. 127°.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 25.1
25.1. Докажите, что если биссектриса одного из внешних
углов треугольника параллельна противоположной стороне
треугольника, то этот треугольник равнобедренный.
Решение.
ВМ || AC, BC – секущая, ∠ = ∠,
(накрест лежащие).
D
M
B
ВМ || AC, AD– секущая, ∠ = ∠
(соответственные).
∠ = ∠ (по условию), значит,
∠ = ∠,
по признаку ∆ – равнобедренный,
A
C
что и требовалось доказать.
РЕШЕНИЕ 26.1
26.1. Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана
окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку K
проведена прямая, параллельная диагонали AC и отсекающая от ромба
треугольник площади 1. Найдите синус угла BAC.
A
K
D
 1
1  1
= , = ,
= .
 9
3  3
B
BO=BK(по свойству касательных).

Из ∆ AOB, AOB=90, sinBAC= ,
O
M
C
∆~∆ (по двум углам, ∠ − общий,
∠ = ∠ как соответственные,
 ∥ ,  − секущая).
1
 =  = 9,
2
1
sinBAC= .
3
1
Ответ. .
3

МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ», ЧАСТЬ 2
24. Окружность проходит через вершины A и C
треугольника ABC и пересекает его стороны AB и
BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK
перпендикулярны.
Найдите
KCB,
если
ABC=20.
25. В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты CE и AD. Докажите, что ∆ABD ~ ∆CBE.
26. Диагонали четырехугольника ABCD, вершины
которого
расположены
на
окружности,
пересекаются в точке M. Известно, что ABC=74,
BCD=102, AMD=112. Найдите ACD.
www.fipi.ru – ФИПИ
http://animashky.ru/index/0-16?25-10
http://animashky.ru/index/0-16?25-16
В презентации использован шаблон презентации с сайта
http://pedsovet.su/
«ГИА-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов» под
редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Изд. «Национальное образование», 2013.
http://www.grafamania.net/uploads/posts/2008-08/1219611582_7.jpg
http://www.grafamania.net/uploads/posts/2009-07/thumbs/1246640277_001.jpg

similar documents