"Подготовка к ГИА", математика. 9 класс388.8 КБ

Report
Подготовила Иванова О.В.
МОУ СОШ №40
г.Тверь
Вариант 1
№ 24
8
B
C
K
N
M
L
A
22
D
В трапеции ABCD с
основаниями AD=22
см и BC=8 см
проведена средняя
линия KN, которая
пересекает
диагонали в точках L
и M. Найти длину
отрезка LM.
8
B
C
4
K
L
A
N
M
D
22
8
B
MN=4 см – средняя
линия ∆BCD (средняя
линия равна
половине основания)
C
11
K
L
LN = 11 см – средняя
линия ∆ACD
N
M
LM = 11 - 4=7 см
A
22
D
№25
A
B
C
M
Биссектриса угла BAC
пересекает
описанную около
этого треугольника
окружность с точке М.
Докажите, что
МВ=МС.
A
х
B
2х
х
C
Вписанный угол равен
половине дуги, на
которую он опирается.
Угол ВАМ равен углу
ВСМ.
M
A
х
B
х
C
2х
M
Угол МАС равен углу МВС.
Треугольник ВМС –
равнобедренный, то
МВ=МС.
Вариант 2
№24
B
C
O
H
A
Е
Расстояние от точки
пересечения О диагоналей
прямоугольника ABCD до двух
его сторон равны 4 см и 5 см.
Найдите периметр
прямоугольника ABCD.
D
AD = 10 см
AB = 8 см
P = (AD+AB)*2 = (10+8)*2 = 36
см
№25
B
M
C
K
A
D
В параллелограмме
ABCD отмечена точка М
– середина отрезка ВС.
Отрезок АМ
пересекается с
диагональю BD в точке
К. Докажите, что ВК : BD
= 1 : 3.
B
M
K
A
E
M
K
N
AMCN – параллелограмм,
то АМ параллельно NC.
Т.к. ВМ = МС, то ВК = КЕ.
D
N
B
A
C
C
Т.к. АN = ND, то КЕ = ED.
BK = KE = ED → BK : BD =
1:3
E
D
Вариант 3
№24
B
C
30o
40o
40o
30o
A
D
Найдите углы
параллелограмма,
если его диагональ
образует со сторонами
углы 30о и 40о.
Ответ: 70о и 110о
№25
С
Расстояние от центра
О окружности до ее
хорд АВ и CD равны.
Докажите, что хорды
равны.
B
O
A
D
Решение
С
B
E
F
O
A
D
OC = OB – радиусы
OE = OF (по условию)
∆OCF = ∆OBE (по катету и
гипотенузе), значит
CF = BE.
∆AOE = ∆ DOF, значит AE=DF.
AB=AE+EB и CD=CF+FD,
значит AB=CD.
Вариант 4
В
В треугольнике АВС
проведены высота ВН
и медиана СМ. Найти
длину отрезка НМ,
если АМ = 3, АН = НС.
М
А
Н
С
Решение
∆ABH = ∆СВН (по двум
катетам), значит АВ = ВС.
СМ – медиана, то АВ = 6 и
ВС =6
МН = 3 – средняя линия.
В
М
А
Н
С
№25
А
М
О
В
К
Отрезок АВ является
диаметром
окружности с центром
О. Через точку В
проведены
касательная ВК и
секущая ВМ.
Докажите, что углы
МВК и ВАМ равны.
Решение
А
М
О
В
К
АВ – диаметр, то угол АМВ =
90о
ВК – касательная, то угол
АВК = 90о
Вариант 5
№24
В
О
А
146о
Отрезок прямой АВ –
хорда окружности с
центром в точке О.
Угол АОВ равен 146о.
Найдите величину
угла между прямой
АВ и касательной к
окружности,
проходящей через
точку А.
Решение
В
О
А
∆АОВ – равнобедренный, то
АС – касательная, то
146о
С
№25
В
C
M
A
D
Внутри параллелограмма
АВСD отмечена точка М.
Докажите, что сумма
площадей треугольников
AMD и CMD равна
половине площади
параллелограмма ABCD.
Решение
В
Е
C
M
A
F
D
Вариант 6
№24
В
3
М
3
А
2
Н
2
С
В треугольнике АВС
проведены высота ВН
и медиана СМ.
Найдите периметр
треугольника АВС,
если АМ = 3, АН = НС =
2.
Решение
В
3
М
3
А
2
Н
2
С
1) АМ = 3, то АВ = 6
2) ∆АВН = ∆СВН по двум
катетам (ВН – общая
высота, АН=НС по
условию)
3) Значит ВС = АВ = 6
4) Периметр: Р = 6+6+4 = 16
№25
А1
В1
С
А
В
В треугольнике АВС с
тупым углом АСВ
проведены высоты
АА1 и ВВ1. Докажите,
что треугольники
А1СВ1 и ВСА
подобны.
Решение
А1
В1
90о
С
х
90о
А
В
А1
В1
90о
90о - х
С
х
А
90о
90о - х
х
В
1) Пусть угол А1АС = х, то угол
А1СА = 90о – х.
2) Вертикальные углы равны,
то угол В1СВ = 90о – х.
3) Угол В1ВС = х.
4) ∆AA1C подобен ∆BB1C, то
пропорциональны стороны
А1С:В1С = АС:ВС, и равны
вертикальные углы: угол АСВ
= углу А1СВ1.
5) Подобны треугольники
А1СВ1 и АСВ
Вариант 7
№24
A
O
B
k
Радиус окружности
с центром в точке О
равен 13 см, длина
хорды АВ равна 24
см. Найти
расстояние от
хорды АB до
параллельной ей
касательной k.
Решение
∆АOF по теореме
Пифагора
A
13
O
6
F
6
13
E
k
B
EF = 13+5 = 18
№25
В
А
М
С
Докажите, что
расстояние от вершины
треугольника до любой
точки противолежащей
стороны меньше
половины периметра
треугольника.
Решение
В
А
М
С
Неравенство треугольника
a<b+c
∆ABM: МВ < AM + AB
∆BCM: МВ < MC + BC
Сложить неравенства:
2MB < (AM+MC) + AB + BC
2MB < AC+ AB + BC
MB< ½ P (половина
периметра)
Вариант 9
№24
С
D
А
В
На сторонах угла ВАС,
равного 20о, и на его
биссектрисе
отложены равные
отрезки АВ, АС и AD.
Определите
величину угла BDC.
Решение
С
А
10о
D
10о
В
1) AD – биссектриса, то
20о:2 = 10o
2) AC = AD, то ∆ACD –
равнобедренный
(180о – 10о):2 = 85о
3) 85о*2 = 170о
№25
B
C
O
A
D
В трапеции ABCD с
основаниями AD и BC
диагонали
пересекаются в точке
О. Докажите, что
площади
треугольников АОВ и
COD равны.
Решение
1)
К
B
C
O
A
D
2)
3)
Вариант 10
№24
С
D
А
В
На сторонах угла ВАС,
равного по 20о, и на
его биссектрисе
отложены равные
отрезки АВ, АС и AD.
Определите величину
угла ABD.
Решение
20о : 2 = 10о
∆ABD – равнобедренный
С
D
А
В
∠ =
180о −10о
2
= 85о
№25
B
C
M
A
D
Точка М является
серединой боковой
стороны АВ трапеции
АВСD. Докажите, что
площадь трапеции
равна удвоенной
площади треугольника
MCD.
Решение
B
C
E
M
A
H
N
F
D
MN – средняя линия, то
S = ½(BC + AD)*BH, где
½(BC + AD) = MN, то
S = MN*BH
S∆MCN = ½ MN*CE
S∆MDN = ½ MN*FE
S∆MCD = ½ MN(CE + FE)
S∆MCD = ½ MN * BH
Значит SABCD = 2SMCD
Литература
ГИА-2013: Экзамен в новой форме:
Математика: 9-й класс: Тренировочные
варианты экзаменационных работ для
проведения государственной итоговой
аттестации в новой форме / авт.-сост. Е.А.
Бунимович, Л.В. Кузнецова, Л.О. Рослова и
др. – Москва: АСТ: Астрель, 2013.

similar documents