Temat12

Report
Wprowadzenie
do gier n-osobowych.
Teoria gier, a polityka.
Monika Błąkała
Anna Orlik
Karol Tutak
Do tej pory zajmowaliśmy się jedynie grami 2-osobowymi, ale we
współczesnym świecie takie gry stanowią rzadkość – najważniejsze gry
ekonomiczne, społeczne i polityczne angażują jednocześnie wielu
uczestników. Dlatego teraz skierujemy naszą uwagę na gry co najmniej
3-osobowe, co – jak się wkrótce przekonamy – będzie powodować
pewne problemy.
Zaczniemy od najprostszego przykładu, to jest gry 3-osobowej 2x2x2:
Gra ta jest grą o sumie zerowej, a możliwych wyników jest tu 8. Jak widać
każdy wynik składa się z 3 liczb i są to wypłaty kolejno: Pana Wiersza,
Pani Kolumny i Pani Warstwy. Powyższa gra dla przejrzystości jest
przedstawiona w postaci 2-wymiarowej, osobno dla strategii A i dla
strategii B Pani Warstwy.
Rysując diagram przesunięć, możemy szukać równowagi w strategiach czystych.
Diagram przedstawiony jest w dwóch formach: z podziałem na warstwy i bez.
Jednakże ta druga postać (3-wymiarowa) jest bardziej czytelna.
Z powyższego diagramu wynika, że żaden z graczy nie ma strategii dominującej oraz, że
otrzymujemy dwie równowagi w strategiach czystych: BAA=(2,-4,2) i AAB=(3,-2,-1).
Wiersz i Kolumna woleliby zakończyć grę strategią AAB, natomiast Warstwa: BAA.
Jeżeli Wiersz zagra A, a w tym samym czasie również Warstwa zagra A (każde chciałoby
doprowadzić do preferowanej przez siebie równowagi), otrzymamy wynik AAA, co
nie jest równowagą. Dlatego mimo, iż gra jest grą o sumie zerowej, pojawia się ten
sam problem co przy grach 2-osobowych o sumie niezerowej.
Znalezienie łatwej teorii rozwiązania gier wieloosobowych jest bardzo trudne.
Koalicje
Niestety jeszcze więcej trudności pojawia się, gdy pozwolimy graczom na
komunikowanie się ze sobą. Sytuacja może skłonić dwóch graczy do
zawiązania koalicji przeciwko trzeciemu.
Zobaczmy jakie może mieć to skutki, jeśli dopuścimy do koalicji w podanym
przez nas przykładzie. Załóżmy, że Warstwa i Kolumna zawiązują koalicję
przeciwko Wierszowi, wówczas naszą grę możemy przedstawić jako
2-osobową (2x4). Ponieważ jest to gra o sumie zerowej, możemy ją zapisać
podając jedynie wypłatę wiersza.
Elementem rozwiązania tej gry jest strategia mieszana Wiersza
⅗ A i ⅖ B, co daje mu oczekiwaną wartość wypłaty równą -4,4.
Ponieważ jest to najlepsza strategia, którą Wiersz może zagrać w
najgorszej dla siebie sytuacji (on jeden przeciwko koalicji dwóch
kobiet :), nazywamy ją strategią bezpieczeństwa, a wypłatę -4,4 jego
poziomem bezpieczeństwa. Możemy również określić, jak powinny
grać Kolumna i Warstwa w sytuacji, gdy jednoczą siły, by ‘wyrwać’ od
Wiersza jak najwięcej. Mianowicie Kolumna zawsze powinna grać B,
zaś Warstwa ⅘ A i ⅕ B, wartość oczekiwana ich wypłaty wynosi 4,4.
Oczywiście możliwe są też inne koalicje:
Wiersz z Warstwą gra przeciwko Kolumnie
lub Wiersz z Kolumną przeciwko Warstwie.
Sytuacje te przedstawione są poniżej:
Jak widać w grze można zawierać różne koalicje. Każdy z graczy chciałby się w jakiejś
znaleźć, ponieważ jeśli pozostanie poza koalicją, traci. Ale kto się z kim dogada?
Jednym ze sposobów szukania odpowiedzi na to pytanie może być badanie, jak
gracze z koalicji dzielą się wygraną. Przykładowo, jeżeli Kolumna i Warstwa zawiążą
koalicję i grają strategię optymalną przeciw Wierszowi, razem uzyskają 4,4, a ich
oczekiwane wartości możemy obliczyć następująco:
(⅗)(⅘)ABA + (⅗)(⅕)ABB + (⅖)(⅘)BBA + (⅖)(⅕)BBB =
(⅗)(⅘) (-4,3,1) + (⅗)(⅕)(-6,-6,12) + (⅖)(⅘)(-5,-5,10) + (⅖)(⅕)(-2,3,-1) = (-4,4 ,-0,64 , 5,04)
Z tego wynika, że Warstwie zdecydowanie opłaca się ta koalicja.
Kolumna, co prawda nie wychodzi na tym najlepiej, ale zawsze to lepsza sytuacja, niż gdyby
zawiązano koalicję przeciwko niej...
Dla innych koalicji wygląda to tak:
Wiersz z Warstwą przeciwko Kolumnie: (2 , -4 , 2)
Wiersz z Kolumną przeciwko Warstwie: (2,12 , -0,69 , -1,43)
Wi
K+Wa : (-4,4 , -0,64 , 5,04)
K vs Wi+Wa : (2, -4 , 2)
Wa vs Wi+K : (2,12 , -0,69 , -1,43)
Wyliczenia te możemy wykorzystać do przewidzenia,
kto z kim wejdzie w koalicję, np. Wiersz chciałby być
w ‘teamie’ z Kolumną, bo wtedy zyskuje najwięcej
(2,12). Analogicznie rozumując Kolumna preferuje
Warstwę, bo traci najmniej, Warstwa zaś woli
Kolumnę, bo wówczas najwięcej wygrywa.
Ponieważ Kolumna i Warstwa wzajemnie preferują
siebie, możemy się spodziewać, że to właśnie one
zawiążą koalicję i będą wspólnie w opozycji do
Wiersza.
vs
Niestety nie w każdej grze 3-osobowej znajdzie się taka para
graczy, która preferowałaby się wzajemnie przy tworzeniu
koalicji – w takiej sytuacji nie bardzo wiadomo, czego się
spodziewać.
I tu „z pomocą” przychodzą panowie Von Neumann i
Morgenstern, którzy w swoich założeniach dają graczom
możliwość łapówkarstwa :) czyli przekazywania sobie
nawzajem tzw. wypłat ubocznych.
Będąc wciąż przy naszym przykładzie: Wiersz mógłby w
zamian za zawarcie z nim koalicji zaproponować Kolumnie
wypłatę uboczną = 0,1, wówczas wygrałby 2,02, a
Kolumna straciłaby „tylko” 0,59, co i tak bardziej jej się
opłaca niż wejście w układ z Warstwą.
Ale Warstwę może to zbulwersować i sama też może
próbować przekupić Kolumnę, oferując oczywiście więcej
niż Wiersz…
Rzecz jasna Wiersz zamiast z Kolumną, może pertraktować z
Warstwą, itd.
Założenie o dopuszczalności wypłat ubocznych jest
założeniem bardzo mocnym. Przede wszystkim
wymaga ono, by użyteczności były transferowalne
pomiędzy graczami. Po drugie, zakłada, że
transferowana użyteczność ma wartość
porównywalną dla obu graczy. Po polsku: jeśli jacyś
multimilionerzy chcą się dogadać i jeden drugiemu w
zamian za jakąś usługę ‘kopsnie’ milion, to jest to dla
nich porównywalne, tzn. niewiele zmienia np. w ich
sytuacji materialnej. Ale gdyby któryś z nich za usługę
zapłacił milion biedakowi, to zdecydowanie biedak
byłby w siódmym niebie, bo z nędznika sam stałby się
milionerem ;)
Istnieje teoria gier n-osobowych bez wypłat ubocznych,
jednak pewnie jest zbyt skomplikowana, by poświęcać jej
uwagę, więc w dalszej części będziemy kroczyć za von
Neumannem i Morgensternem i założymy, że w każdej
grze:
1. Gracze mogą się ze sobą komunikować i zawierać
koalicje.
2. Gracze mogą przekazywać sobie wypłaty uboczne.
Teoria oparta na tych założeniach nazywana jest teorią gier
kooperacyjnych z wypłatami ubocznymi i skupia się przede
wszystkim na kwestiach:
a) która z możliwych koalicji zostanie zawarta??
b) w jaki sposób członkowie koalicji podzielą się
wygraną??
Gra w postaci funkcji charakterystycznej
Aby znaleźć odpowiedź na poprzednie pytania (o wyborze
koalicji i podziale wygranej), trzeba jedynie wiedzieć, ile
może wygrać każda z możliwych koalicji.
Von Neumann i Morgenstern proponują, by zrezygnować
z analizy konkretnych strategii i od gier w postaci
normalnej przejść do gier w postaci funkcji
charakterystycznej.
Definicja: Gra w postaci funkcji charakterystycznej
opisywana jest przez zbiór graczy N i funkcję ν, która
każdemu podzbiorowi S N przypisuję liczbę ν(S).
Liczbę ν(S), zwaną wartością S, interpretuje się jako wartość
wygranej, którą łącznie osiągną gracze należący do S, jeśli
zawrą koalicję. Funkcja ν nazywana jest funkcją
charakterystyczną gry. Wartość pustej koalicji Ø wynosi 0.
Każdą grę w postaci normalnej można sprowadzić do gry w postaci
funkcji charakterystycznej, przyjmując ν(S) jako poziom
bezpieczeństwa S. Inaczej: obliczając ν(S) przyjmujemy, że została
utworzona koalicja S, która gra w optymalny sposób w najbardziej
niekorzystnych dla siebie warunkach (gdy pozostali gracze tworzący
koalicję N-S grają tak, by zminimalizować wypłatę S). W ten sposób
dostajemy 2-osobową (S kontra N-S) grę o sumie zerowej.
Naszą grę również możemy przedstawić w postaci funkcji
charakterystycznej. Niech W – oznacza Wiersz, K – Kolumnę,
L – Warstwę:
ν(Ø) = 0
* ν(W) = - 4,4
ν(KL) = 4,4
* ν(K) = - 4
ν(WL) = 4
* ν(L) = - 1,43
ν(WK) = 1,43
ν(WKL) = 0
Dla każdego rodzaju koalicji zachodzi zatem:
ν(S) = -ν(N – S)
A co jeśli gra nie jest o sumie zerowej? Cóż… Nadal
możemy stosować opisaną przed chwilą procedurę,
jednakże w tym wypadku gra w postaci f-cji charakt.
może nie najlepiej odpowiadać grze w postaci
normalnej. Ponieważ gra nie jest grą o sumie zerowej,
może się zdarzyć, że po utworzeniu koalicji S, stworzenie
team’u N – S w ogóle nie przyniesie członkom żadnej
korzyści, a mogą nawet stracić, mogą też wcale nie
chcieć zminimalizować wypłaty S. Tym tematem zajmuje
się już jednak n – osobowy Dylemat Więźnia.
Jest pewna istotna własność dotycząca relacji między
koalicjami, którą należy przytoczyć:
Gra w postaci f-cji char. (N, ν) jest superaddytywna, jeśli
dla każdej pary rozłącznych koalicji S i T zachodzi:
ν(S ᴜ T) ≥ ν(S) + ν(T).
Teoria gier, a polityka – głosowanie
strategiczne.
W wyborach prezydenckich w Stanach Zjednoczonych w 1980 roku startowało
trzech kandydatów: demokrata Jimmy Carter, republikanin Ronald Reagan oraz
niezależny John Anderson. W lecie, przed listopadowymi wyborami, według
sondaży 20% wyborców za najlepszego kandydata uważało Andersona, przy 35procentowym poparciu dla Cartera i 45-procentowym poparciu dla Reagana.
Ponieważ Reagan był postrzegany jako polityk znacznie bardziej konserwatywny niż
Anderson, którego z kolei uważano za bardziej konserwatywnego od Cartera,
możemy nieco upraszczając sytuacje, założyć, że zarówno przez wyborców
Reagana, jak i Cartera, Anderson postrzegany był jako drugi z kolei preferowany
kandydat, zaś wyborcy Andersona na drugim miejscu lokowali Cartera. Sytuację
przedstawia obrazek:
Diagram przesunięć pokazuje, że mamy 3 równowagi: RCC (C wygrywa) oraz RAA i AAA
(wygrywa A).
Analiza tej gry będzie prostsza, gdy zauważy się, że wyborcy Reagana mają
strategię dominującą R. Biorąc to pod uwagę, możemy zredukować grę do postaci:
Podobne sytuacje występują także w legislaturach, w których często stosowane są
procedury oparte na sekwencyjnym głosowaniu większościowym. W tej metodzie
głosowania najpierw dokonuje się wyboru pomiędzy dwiema możliwościami,
następnie propozycja poparta przez większość porównywana jest w kolejnym
głosowaniu z trzecią propozycją, zwycięzcę tego głosowania porównuje się z
czwartą itd.
Rozpatrzymy następujący przykład: w marcu 1988 roku w Izbie Reprezentantów
przeprowadzono istoryczne głosowanie, w który odrzucono wypracowany przez
Demokratów projekt udzielenia pomocy humanitarnej wspierany przez Stany
Zjednoczone partyzantom Contras w Nikaragui. Głosowanie było nieoczekiwane, a
problem politycznie złożony, spróbujmy jednak sprowadzić sytuację do
uproszczonego modelu z trzema możliwościami:
B: Popierania przez administację Reagana ustawa przewidująca dostarczenie
rebeliantom z Contras uzbrojenia
H: Zaproponowana przez Demokratów ustawa przewidująca udzielanie Contras
pomocy humanitarnej, ale wykluczjąca dostarczaniee im broni.
N: Nieudzielenie Contras pomocy w żadnej formie

similar documents