Kapittel 15

Report
Kapittel 15
Markovanalyse
© 2008 Prentice-Hall, Inc.
Introduksjon
 Markov analyse er en teknikk som lar oss
analysere sannsynligheter for fremtidige
tilstander på basis av sannsynligheter som er
kjent i dag.
 Mange anvendelser i praksis
 Markov analyse forutsetter at et system
befinner seg i en gitt tilstand, og
sannsynligheten for at systemet befinner seg
i en annen tilstand senere kalles overgangssannsynligheter
 Det kreves enkelte kunnskaper i matrisealgebra for å behandle dette grundig, men vi
skal bare behandle dette på et innledende
nivå.
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 2
Eksempel finans - kredittrisiko
Overgangssansynligheter for kredittklasser
Initial rating
AAA
Rating after 1 year
AA
A
BBB
BB
B
CCC
D
0.68
0.06
0.12
0.00
0.00
0.00
0.70 90.65 7.79
0.64
0.06
0.14
0.02
0.00
2.27 91.05 5.52
0.74
0.26
0.01
0.06
0.33
5.95 86.93 5.30
1.17
0.12
0.18
1.00
1.06
5.20
AAA 90.81 8.33
AA
A
0.09
BBB 0.02
BB
0.03
0.14
0.67
7.73 80.53 8.84
B
0.00
0.11
0.24
0.43
6.48 83.46 4.07
CCC 0.22
0.00
0.22
1.30
2.38 11.24 64.86 19.79
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 3
Overgangssansynligheter BBB
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 4
Tilstander og sannsynligheter
 Vi sier at ethvert system på et bestemt tidspunkt
befinner seg i en gitt tilstand.
 Vi må forutsette at tilstandene er kollektivt
uttømmende og gjensidig utelukkende
 Etter at en tilstand er definert, må vi finne
sannsynligheten for at systemet er befinner seg i
denne tilstanden
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 5
Tilstander og sannsynligheter
 Vektor for tilstandssannsynligheter
 (i) = vektor for tilstandssannsynligheter i periode i
= (1, 2, 3, … , n)
hvor
n = antall tilstander
1, 2, … , n = sannsynlighet for tilstand 1,
2, …, tilstand n
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 6
Tilstander og sannsynligheter
 Av og til kan vi med sikkerhet si hvilken tilstand
et system befinner seg i
 Vektoren kan da presenteres som
 (1) = (1, 0)
hvor
 (1) = vektor med tilstanden for maskin
i periode 1
1 = 1 = Sannsynlighet for tilstand 1
2 = 0 = Sannsynlighet for tilstand 2
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 7
Eksempel: 3 dagligvareforretninger
 Tilstander for personer i en by med 3 forretninger
 100 000 mennesker gjør sine innkjøp i
forretningene i løpet av en måned
 40 000 handler hos American Food Store –
tilstand 1
 30 000 handler hos Food Mart – tilstand 2
 30 000 handler hos Atlas Foods – tilstand 3
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 8
Vektor med tilstandssannsynligheter
 Sannsynlighetene er slik
Tilst. 1 – American Food Store:
Tilst. 2 – Food Mart:
Tilst. 3 – Atlas Foods:
40,000/100,000 = 0.40 = 40%
30,000/100,000 = 0.30 = 30%
30,000/100,000 = 0.30 = 30%
 Oppsummeres i en vektor
 (1) = (0.4, 0.3, 0.3)
where
 (1) = vektor med tilstandssannsynligheter periode 1
1 = 0.4 = sannsynlighet for at en person handler
hos American Food, tilstand 1
2 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler
hos Food Mart, tilstand 2
3 = 0.3 = sannsynlighet for at en person handler
hos Atlas Foods, tilstand 3
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 9
Vektor med tilstandssannsynligheter
 Trediagram med overgangssannsynligheter
0.8
American Food #1
0.4
0.1
0.7
0.2
0.2
Atlas Foods #3
0.3
0.32 = 0.4(0.8)
#2
0.04 = 0.4(0.1)
#3
0.04 = 0.4(0.1)
#1
0.03
#2
0.21
#3
0.06
#1
0.06
#2
0.06
#3
0.18
0.1
0.1
Food Mart #2
0.3
#1
0.2
0.6
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 10
Matrise med
overgangssannsynligheter
 Matrisen med overgangssannsynligheter lar oss
komme fra en tilstand til en annen
Vi lar Pij = betinget sannsynlighet for å befinne
seg i tilstand j i fremtiden gitt at
nåværende tilstand er i
 For eksempel, P12 er sannsynligheten for å være i
tilstand 2 i fremtiden gitt at man var i tilstand 1 i
den foregående perioden
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 11
Matrise med
overgangssannsynligheter
 P = matrisen med overgangssannsynligheter
Pm1
P12 P13
P22 P23
…
…
…
P1n
P2n
…
…
P=
P11
P21
Pmn
 Pij verdier bestemmes empirisk
 Sannsynlighetene i hver rad summerer seg til 1
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 12
Matrise med
overgangssannsynligheter
 Følgende er gitt utfra historiske data:
0.8 0.1 0.1
P = 0.1 0.7 0.2
0.2 0.2 0.6
Rad 1
0.8 = P11 = sannsynlighet for å være i tilstand 1 etter å ha vært i
tilstand 1 i perioden foran
0.1 = P12 = sannsynlighet for å være i tilstand 2 etter å ha vært i
tilstand 1 i perioden foran
0.1 = P13 = sannsynlighet for å være i tilstand 3 etter å ha vært i
tilstand 1 i perioden foran
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 13
Anslag på fremtidige
markedsandeler
 Hvis nåværende periode er 0, bestemmes
tilstandssannsynlighetene for periode 1 slik:
 (1) =  (0)P
 For enhver periode n kan vi beregne
tilstandssannsynlighetene for periode n + 1
 (n + 1) =  (n)P
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 14
Anslag på fremtidige
markedsandeler
 Beregningene for neste periodes markedsandeler
 (1) =  (0)P
= (0.4, 0.3, 0.3)
0.8 0.1 0.1
0.1 0.7 0.2
0.2 0.2 0.6
= [(0.4)(0.8) + (0.3)(0.1) + (0.3)(0.2),
(0.4)(0.1) + (0.3)(0.7) + (0.3)(0.2),
(0.4)(0.1) + (0.3)(0.2) + (0.3)(0.6)]
= (0.41, 0.31, 0.28)
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 15
Anslag på fremtidige
markedsandeler
 Siden vi kjenner til at
 (1) =  (0)P
 Har vi
 (2) =  (1)P = [ (0)P]P =  (0)PP =  (0)P2
 Generelt
 (n) =  (0)Pn
 Utviklingen i markedsandeler kan best illustreres
ved å finne steady state eller likevekt i systemet
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 16
Markovanalyse av maskin
 Eieren av Tolsky Works har ført statistikk over
tilstanden til en gitt maskin over lang tid
 Hvis maskinen er i orden nå, er sannsynligheten
80% for at den vil være i orden også neste
periode
 90% av tiden en maskin ikke var i orden en
periode var den heller ikke i orden perioden foran
 10% av tiden vil en maskin være i orden en
periode selv om den ikke var det perioden foran
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 17
Markovanalyse av maskin
 Matrise med overgangssannsynligheter er
0.8 0.2
P=
0.1 0.9
hvor
P11 = 0.8 = sannsynligheten for at maskinen vil fungere korrekt gitt
at den fungerte korrekt sist måned
P12 = 0.2 = sannsynligheten for at maskinen ikke vil fungere korrekt
gitt at den fungerte korrekt sist måned
P21 = 0.1 = sannsynligheten for at maskinen vil fungere korrekt gitt
at den ikke fungerte korrekt sist måned
P22 = 0.9 = sannsynligheten for at maskinen ikke vil fungere korrekt
at den ikke fungerte korrekt sist måned
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 18
Markovanalyse av maskin
 Hva er sannsynligheten for at maskinen vil
fungere om en eller to måneder fra nå av:
 (1) =  (0)P
0.8 0.2
= (1, 0)
0.1 0.9
= [(1)(0.8) + (0)(0.1), (1)(0.2) + (0)(0.9)]
= (0.8, 0.2)
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 19
Markovanalyse av maskin
 Hva er sannsynligheten for at maskinen vil
fungere om en eller to måneder fra nå av:
 (2) =  (1)P
0.8 0.2
= (0.8, 0.2)
0.1 0.9
= [(0.8)(0.8) + (0.2)(0.1), (0.8)(0.2) + (0.2)(0.9)]
= (0.66, 0.34)
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 20
Likevektsbetingelser
 Før eller siden kan markedsandeler være 1 eller 0,
men generelt vil det eksistere en likevekt
markedsandel, hvis ikke tilstandssannsynlighetene fortsetter å endre seg etter et
høyt antall perioder
 Ved likevekt er tilstandssannsynlighetene for
neste perode de samme som for inneværende
periode
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 21
Likevektsbetingelser
 Vi har alltid at
 (neste periode) =  (denne periode)P
 Eller
 Ved likevekt
 (n + 1) =  (n)P
 (n + 1) =  (n)
 Slik at
 (n + 1) =  (n)P =  (n)
 Eller
 = P
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 22
Likevektsbetingelser
 For Tolskys maskin
=P
0.8 0.2
(1, 2) = (1, 2)
0.1 0.9
 Matrisemultiplikasjon
(1, 2) = [(1)(0.8) + (2)(0.1), (1)(0.2) + (2)(0.9)]
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 23
Likevektsbetingelser
 Vi har at
1 = 0.81 + 0.12
2 = 0.21 + 0.92
 Tilstandssannsynlighetene summeres til 1
1 + 2 + … + n = 1
 For Tolskys maskin
1 + 2 = 1
1 = 0.33 2 = 0.67
© 2009 Prentice-Hall, Inc.
16 – 24

similar documents