Experimentos Fatoriais Fracionarios I_2014 - IME-USP

Report
Título do slide
EXPERIMENTOS FATORIAIS
FRACIONÁRIOS I
1
Título do slide
REDUNDÂNCIA
Nos delineamentos fatoriais completos todas combinações de fatores e
níveis são testadas, havendo réplicas. A análise dos resultados permite:
 estimar todos os possíveis efeitos principais
 estimar todas as possíveis interações existentes
 concluir quais são estatisticamente significativos
Contudo, havendo um número grande de fatores existem alguns
problemas em termos de sua utilização:
• o tempo despendido na sua realização é longo
• o custo de execução é, por vezes, proibitivo
• a interferência na produção normal é grande
É muito pouco provável (senão impossível) que todos os fatores e
interações sejam significativos em um experimento. Assim, existe uma
certa redundância (gasto desnecessário) na quantidade total de
provas realizadas.
2
Título do slide
Planejamento fatorial 2k fracionário
Se o número de fatores é grande, mesmo cada fator tendo dois níveis, o
número de tratamentos pode ser muito grande.
k
2
4
5
6
8
tratamentos
4
16
32
64
256
Nesse caso, uma fração dos tratamentos pode ser usada com pouca
ou nenhuma perda de informação sobre os efeitos principais e sobre as
interações de ordem mais baixas.
Assim, planejamentos fatoriais fracionários permitem o estudo de um
número grande de fatores com poucas experiências (tratamentos).
Num planejamento 2k fracionário interações de alta ordem, em geral,
não são importantes.
3
Título
do slide
Planejamento fatorial
2k fracionário
Termos do modelo
Exemplo: Fatorial completo 26
Efeitos principais
g.l.
6
Interações de 2ª.ordem
15
Interações de 3ª.ordem
20
Interações de 4ª.ordem
15
Interações de 5ª.ordem
6
Interações de 6ª.ordem
1
42 g.l. (interações
de 3 ou + fatores =
2/3 do total de g.l)
Num delineamento 26 fracionário um subconjunto dos tratamentos é
selecionado, de modo que a maioria dos g.l. para estimação dos efeitos
dos fatores é usada para a estimação dos efeitos principais e efeitos de
interações de ordem baixa, com pouca perda de informação sobre os
efeitos de interações de ordem alta.
Confundimento: Confundir os efeitos principais e os de interação de
ordem baixa com os efeitos de interação de ordem alta.
 2k fracionário torna-se eficiente em fornecer informação completa
sobre os efeitos principais e os de interação de ordem baixa com
poucas unidades experimentais (u.e.).
4
Título
do slide
Planejamento fatorial
2k fracionário
Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento)
Experimento completo  24 1 réplica: 16 u.e.
Fatores:
A - Temperatura de processo ; B - Agente (conservante)
C - Umidade ; D - Acidez
Suponha que foi determinado que somente ½ (metade) dos 16 tratamentos
pudessem ser usados.
Lembrar que:
Quais são os 8 escolhidos?
Tratamento
Y
Tratamento
Y
1
y0000
9
y0001
Pesquisador decide descartar
2
y1000
10
y1001
os tratamentos:
3
y0100
11
y0101
2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15.
4
y1100
12
y1101
5
6
7
8
y0010
y1010
y0110
y1110
13
14
15
16
y0011
y1011
y0111
y1111
5
Título
do slide
Planejamento fatorial
2k fracionário: Ex. Micróbios
volta
Planejamento fatorial completo 24
Excluir: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 e 15  permanecem 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16.
Trat
Y
I
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
y0000
y1000
y0100
y1100
y0010
y1010
y0110
y1110
y0001
y1001
y0101
y1101
y0011
y1011
y0111
y1111
1
1
1
1
1
1
1
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ABC ABD ACD BCD ABCD
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1
-1
-1
1
6
Título
do slide
Planejamento fatorial
2k fracionário: Ex. Micróbios
Planejamento fatorial 24 fracionário com ½ dos tratamentos
Mantidos: 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16.
Trat
Y
I
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
1
4
5
8
9
12
13
16
y0000
y1100
y0010
y1110
y0001
y1101
y0011
y1111
1
1
1
1
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1
1
ABC ABD ACD BCD ABCD
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-1
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-1
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-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
Escolha ruim!!
 colunas de A e B idênticas  os efeitos principais dos fatores A e B não
poderão ser estimados separadamente. Se a análise dos dados mostrar
que o efeito associado a A é ativo, não saberemos se esse resultado é
devido ao efeito do fator A, do fator B ou da combinação de ambos.
 Dizemos que os fatores A e B estão confundidos no experimento.
7
Título
do slide
Planejamento fatorial
2k fracionário: Ex. Micróbios
Fatorial 24 fracionário com ½ dos tratamentos com 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16
Trat
Y
I
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
1
4
5
8
9
12
13
16
y0000
y1100
y0010
y1110
y0001
y1101
y0011
y1111
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
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-1
1
1
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1
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-1
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
ABC ABD ACD BCD ABCD
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
Mas há outros 7 pares de colunas idênticas (total de 8 pares idênticos)
A = B;
C = ABC;
D = ABD; AC = BC;
AD = BD; BCD = ACD; ABCD = CD; AB = I (coluna “0”, para média geral).
Consequentemente, os dois efeitos em cada par estão confundidos e não
podem ser estimados separadamente. Essas relações definem um esquema
de confundimento para este planejamento fatorial .
Além disso, AB está confundido com o intercepto (I), então AB é geralmente
chamado de não mensurável.
8
Título
do slide
Planejamento fatorial
2k fracionário: Ex. Micróbios
Outra escolha: manter os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16.
Trat
Y
I
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
1
4
6
7
10
11
13
16
y0000
y1100
y1010
y0110
y1001
y0101
y0011
y1111
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
1
1
-1
1
-1
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1
-1
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1
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-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
ABC ABD ACD BCD ABCD
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Com esta escolha, os 8 pares idênticos são:
A = BCD; B = ACD; C = ABD; D = ABC;
AB = CD; AC = BD; AD = BC; I = ABCD.
 Efeitos principais confundidos com efeitos de interação de 3ª. ordem.
 Efeitos de interação entre 2 fatores confundidos com outros de mesma ordem.
 Efeitos de interação entre os 4 fatores confundidos com a média geral.
9
Título
do slide
Planejamento fatorial
2k fracionário
Exemplo: Micróbios (conceito de confundimento)
Se efeitos de interação entre 3 fatores ou mais são desprezíveis, este
planejamento é muito útil. Por exemplo, se A + BCD é significante, podese concluir que o efeito observado é devido ao fator A e não à interação
entre os fatores B, C e D.
Nesta escolha, como os efeitos de interação entre dois fatores estão
confundidos entre si, se são ativos, novos experimentos são necessários
para separá-los.
 Escolha dos tratamentos que são descartados/mantidos não pode
ser arbitrária (tentativa e erro).
É possível definir uma relação para o esquema de confundimento.
10
Título
do slide
Delineamento fatorial
2k fracionário
Nos delineamentos fatoriais fracionários somente uma parcela do total de
possibilidades de todas as combinações é testada.
Genericamente, para dois níveis, representamos o planejamento
fracionário, por
2k-p = 2k
2p
em que p  1.
Por exemplo:
para p = 1, devemos utilizar a metade (½ ) das experiências possíveis do 2k;
para p = 2, utilizaremos ¼ das experiências possíveis; e, assim, por diante ...,
ou seja, a fração de tratamentos que se pode considerar, em delineamentos
fatoriais em dois níveis, é sempre de uma potência de 2.
11
Título
do slide
Delineamento fatorial
2k fracionário
Responda:
1) Num planejamento fatorial completo com 5 fatores, em dois níveis (sem
repetição), quantas experiências são feitas?
2) No planejamento anterior, se podemos ter duas repetições por tratamento,
quantas observações teremos?
3) Se ficar decidido que no delineamento em (1) podemos realizar apenas
metade das combinações possíveis (25-1), quantas experiências serão
realizadas?
4) Como é representado o delineamento em (1) se pudermos realizar um
quarto das experiências possíveis? Nesse caso, quantas experiências serão?
12
Título
do slide
Delineamento fatorial
2k fracionário
De uma maneira geral, é necessário definir uma relação para o esquema
de confundimento.
Exemplo: Micróbios
Relação de definição: I = ABCD (gerador de confundimento)
Para encontrar os efeitos principais e interações que estão confundidos,
utilizaremos o produto módulo 2 (mostrado a seguir).
O esquema de confundimento é definido multiplicando a coluna de cada
lado da relação de definição, I = ABCD, por sucessivas colunas da tabela
de contrastes.
Como todas as colunas de contrastes são formadas por ”1” e “-1”,
resultados das multiplicações das colunas são úteis.
13
Título
do slide
Delineamento fatorial
2k fracionário
Propriedades da multiplicação entre colunas:
1) I  I = I (pois todos elementos de I são iguais a “1”)
Assim, I  I = I2 = I .
2) Colj  I = Colj (pois todos os elementos de I são iguais a “1”)
3) Colj  Colj = Colj 2 = I (12 = (-1)2 = 1)
Estas propriedades caracterizam o chamado produto módulo 2
Voltando a relação de definição I = ABCD, temos
A = BCD,
pois multiplicando-se por A ambos os lados da relação, segue que
AI = A e AABCD=A2BCD=BCD.
14
Título
do slide
Delineamento fatorial
2k fracionário
Continuando a multiplicar ambos os lados da relação de definição por
colunas sucessivas, obtemos
BI = BABCD = AB2CD = ACD (B = ACD)
CI = CABCD = ABC2D = ABD (C = ABD)
DI = DABCD = ABCD2 = ABC (D = ABC)
ABI = ABABCD = A2B2CD = CD (AB = CD)
ACI = ACABCD = A2BC2D = BD (AC = BD)
ADI = ADABCD = A2BCD2 = BC (AD = BC)
E mais nenhum outro produto é necessário, pois já foram obtidos todos os
confundimentos.
As operações acima reproduziram todo o esquema de confundimento.
Estas relações foram baseadas na relação de definição (gerador de
confundimento) I = ABCD.
15
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
Delineamentos em fração ½
1) Definir o gerador de confundimento (relação de definição)
2) Definir o esquema de confundimento
3) O planejamento fatorial correspondente é construído:
a) Construir a tabela de contraste para o plano com todos os fatores e
interações.
b) Escolher as linhas (tratamentos) para as quais a relação de definição
ocorre.
c) estimar os efeitos principais e interações exatamente como no caso
do planejamento fatorial completo.
16
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
slide7
Exemplo: Micróbios
Gerador de confundimento: I = ABCD (relação de definição)
Esquema de confundimento:
A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
AB = CD
AC = BD
AD = BC
Manter os tratamentos (linha l) para os quais I(l)= ABCD(l)  Isto ocorre para
os tratamentos 1, 4, 6, 7, 10 11, 13, 16 (em cinza no quadro).
A0
B0
C0
C1
A1
B1
B0
B1
D0
(1)
(3)
(2)
(4)
D1
(5)
(7)
(6)
(8)
D0
(9)
(11)
(10)
(12)
D1
(13)
(15)
(14)
(16)
 Obs.: Este delineamento é
denominado 1 2 4  2 4 1
2
Caso geral:2k  p ,
Sendo k no. de fatores e p: fração
17
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
 Outra forma de obter os tratamentos que são mantidos
Etapas:
a) escrever a tabela de contrastes do fatorial
completo 23 = 24-1, sem incluir o último
fator (acidez, no caso).
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
D
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
(1)
(10)
(11)
(4)
(13)
(6)
(7)
(16)
Exp .
1
2
3
4
5
6
7
8
Tratamento
A0B0C0
A1B0C0
A0B1C0
A1B1C0
A0B0C1
A1B0C1
A0B1C1
A1B1C1
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
b) Completar a tabela com o último fator (D),
atribuindo-lhe os contrastes da interação mais
alta (ABC, no caso);
c) Nessa conformação, identificar os contrastes de
um fatorial completo 24.
d) Calcular os efeitos principais e interações
como de um fatorial completo;
e) Analisar os resultados, avaliando se os
mesmos são estatisticamente significativos;
18
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
volta
Exemplo: Micróbios
 Delineamento fracionário 24-1 e o gerador de confundimento foi I = ABCD,
que produziu o esquema de confundimento
AB = CD
AC = BD
AD = BC
A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
resultando que os tratamentos que devem ser realizados são:
1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16
A0
B0
C0
C1
A1
B1
B0
B1
D0
(1)
(3)
(2)
(4)
D1
(5)
(7)
(6)
(8)
D0
(9)
(11)
(10)
(12)
D1
(13)
(15)
(14)
(16)
19
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
volta
Observação:
Para este delineamento 24-1 podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9,
12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo
o esquema de confundimento AB = - CD
AC = - BD
AD = - BC
A = - BCD
B = - ACD
C = - ABD
D = - ABC
ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário,
e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo.
A0
B0
C0
C1
A1
B1
B0
B1
D0
(1)
(3)
(2)
(4)
D1
(5)
(7)
(6)
(8)
D0
(9)
(11)
(10)
(12)
D1
(13)
(15)
(14)
(16)
20
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
Exercício:
Considere um delineamento fatorial fracionado 25-1, em que I = ABCDE é o
gerador de confundimento. Obter todos os confundimentos para este
planejamento.
21
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
Análise Estatística dos Resultados
A avaliação quanto a significância estatística dos efeitos (principais e interações)
pode ser feita pela análise de variância (ANOVA), que requerer um número de
réplicas maior do que um (r >1), por experiência.
Quando não há repetições (r=1), utilizando os procedimentos gráficos vistos
para delineamentos fatoriais completos (Diagrama de Pareto e Papel de
Probabilidade Normal), é possível verificar a significância estatística dos efeitos
principais e interações.
Observações:
1) Nos experimentos fracionários, como haverá relações de confundimento, a
verificação de significância estatística será para a relação confundida e não
para o efeito isoladamente.
2) Se a relação de confundimento envolve um efeito principal e uma interação
de ordem alta e esta, em geral, pode ser considerada desprezível, a
conclusão será para o efeito principal envolvido na relação.
22
Título do slide
Delineamento fatorial 2k-1
slide20
Exemplo: Micróbios (mantidos 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16)
Confundimento
A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
AB = CD
AC = BD
AD = BC
estimativas
-0,025
-2,99
2,45
-0,01
-0,48
0,365
-3,15
Confundimento
estimativas
P
PPN

(ordenados)
Conclusão?
23
Título do slide
ANEXO - PERCENTIS PARA PAPEL DE
PROBABILIDADE NORMAL
Ordem (i)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
3
7,14
21,43
35,71
50,00
64,29
78,57
92,86
Fatores (k)
4
3,33
10,00
16,67
23,33
30,00
36,67
43,33
50,00
56,67
63,33
70,00
76,67
83,33
90,00
96,67
5
1,61
4,84
8,06
11,29
14,52
17,74
20,97
24,19
27,42
30,65
33,87
37,10
40,32
43,55
46,77
50,00
53,23
56,52
59,77
62,90
66,13
69,35
72,58
75,81
79,03
82,26
85,48
88,71
91,94
95,16
98,39
24

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