5. Trigonometría

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
sen (α + β) = sen α·cos β + sen β·cos α
cos (α + β) = cos α·cos β – sen α·sen β
tg (α + β) =
tg α + tg β
1 - tg α·tg β
¡OJO! Errores comunes
sen (α + β) ≠ sen α + sen β
cos (α + β) ≠ cos α + cos β
tg (α + β) ≠ tg α + tg β
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DOS ÁNGULOS
sen (α - β) = sen α·cos β - sen β·cos α
cos (α - β) = cos α·cos β + sen α·sen β
tg (α - β) =
sen α = - sen (- α)
cos α = cos (- α)
tg α = - tg (- α)
tg α - tg β
1 + tg α·tg β
¡OJO! Errores comunes
sen (α - β) ≠ sen α - sen β
cos (α - β) ≠ cos α - cos β
tg (α - β) ≠ tg α - tg β
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD
sen 2α = 2 sen α·cos α
Usando las fórmulas trigonométricas de la suma
de ángulos para β = α, se deducen las razones
trigonométricas del ángulo doble
cos 2α = cos2 α - sen2 α
Usando las fórmulas trigonométricas del ángulo
β
doble de, β (2 · = β) , se deducen las razones
2
2
trigonométricas del ángulo mitad
tg 2α =
2 tg α
1 - tg2 α
senβ = 
2
1 - cos β
2
cos β = 
2
1 + cos β
2
tg β = 
2
1 - cos β
1 + cos β
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TRANSFORMACIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS EN PRODUCTO
Transformación de la suma de senos en producto
Usando las fórmulas trigonométricas del seno de la suma y de la diferencia y haciendo el siguiente cambio
α+β=A
α-β=B →
se obtiene:
En ocasiones es útil emplear la expresión
α=
A+B
2
β=
A-B
2
sen A + sen B = 2 sen A + B · cos A - B
2
2
sen α · cos β =
1
[sen (α + β) + sen (α – β)]
2
Transformación de la diferencia de senos en producto
Por un procedimiento análogo al anterior, obtenemos la siguiente expresión:
sen A - sen B = 2 cos A + B · sen A - B
2
2
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TRANSFORMACIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS EN PRODUCTO
Transformación de la suma de cosenos en producto
Usando las fórmulas trigonométricas del coseno de la suma y de la diferencia y con el siguiente cambio
α+β=A
α-β=B →
se obtiene:
En ocasiones es útil emplear la expresión
α=
A+B
2
β=
A-B
2
A-B
cos A + cos B = 2 cos A + B · cos
2
2
1
cos α · cos β = 2 [cos (α + β) + cos (α – β)]
Transformación de la diferencia de cosenos en producto
Por un procedimiento análogo al anterior, obtenemos la siguiente expresión:
cos A - cos B = -2 sen A + B· cos
2
A-B
2
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TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO
Teorema del seno
En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos:
a
b
c
=
=
sen A sen B sen C
Teorema del coseno
En un triángulo cualquiera, un lado elevado al cuadrado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble de su producto
por el coseno del ángulo que forman.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
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