ppt1 - DPB Brugge

Report
De Geschiedenis van de Wiskunde

© A. Piens & L. Verkimpe
[email protected]
Version 1.1 – nov 2014
1
‘Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere,
maar wel een menselijkere wiskundige maken.’
George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956)
‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, is
to explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, and
dignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of many
generations have built up that magnificent monument, the object of our most
legitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, as
individuals. The study of the history of mathematics will not make better
mathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts,
and bring out their finer qualities.’
2
De Geschiedenis van de Wiskunde
Deel I
1. Vroegste sporen van mathematisch denken
2. Wiskunde in de 4 Riviervalleien
Egypte
Mesopotamië
China
India
Deel II
3. De Wiskunde van het Antieke Griekenland
Klassieke Griekse periode (600 BCE – 300 BCE)
Hellenistische (Alexandrische) periode (300 BCE – 400)
Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken
Deel III
4. Wiskunde tijdens onze Middeleeuwen (5e - 14e eeuw)
Indische wiskunde tijdens onze Middeleeuwen
Arabische wiskunde tijdens onze Middeleeuwen
Het Latijnse Westen tijdens onze Middeleeuwen
5. Wiskunde in het Europa van de Renaissance (15e en 16e eeuw)
Deel IV
6. Wiskunde in Europa tijdens de Wetenschappelijke Revolutie : 1600 – 1750
Deel V
7. Wiskunde tijdens de Industriële Revolutie
3
Evolutie van de Aarde
Van één supercontinent naar ...
4
Evolutie van de Aarde
(toepasbaar voor Europa)
1 000 BCE
La Téne era
IJzertijd
Historie
Hallstatt era
2 750 BCE
Laat
Bronstijd
Midden
Vroeg
Holoceen
Proto-historie
3 750 BCE
Kopertijd
Laat
Neolithicum
Midden
Vroeg
7 500 BCE
Laat
Mesolithicum
Midden
Vroeg
Steentijd
Pre-historie
10 500 BCE
einde laatste
ijstijd
Laat
35 000 BCE
Pleistoceen
Paleolithicum
Midden
300 000
BCE
Vroeg
12,5 Mio
BCE
5
Evolutie van de Mens (Evolutiebiologie)
ca. 450 cm³
4 Mio jaar
geleden
ca. 640 cm³
ca. 850 cm³
ca. 1600 cm³
<1600 cm³
2.5 Mio jaar
geleden
500 000 jaar
geleden
70 000 jaar
geleden
35 000 jaar
geleden
6
Vroegste Sporen van Mathematisch Denken
Stonehenge (ca. 3000 BCE– ca.2100 BCE)
7
Het Lebombo been
ca. 36000 BCE
7.7 cm
• 29 inkervingen in een deel van het kuitbeen van een baviaan
• 7.7 cm lang
• ontdekt in 1970 dooor P. Beaumont
• op de grens tussen Zuid-Afrika en Swaziland
• in een grot van de Lebombo Mountains
• vermoedelijk een voorstelling van een maankalenderder
(vrouwelijke cyclus)
• duidelijk breuk aan één kant
• 29 inkervingen, kunnen een minimum aantal inkervingen zijn
8
Het Ishango been
ca. 18000 BCE
Jean de Heinzelin de Braucourt
Marchienne-au-pont, 1920 - Brussel,1998
• lid van het Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen
• professor aan de Universiteiten van Brussel en Gent
• talrijke expedities, vooral in Afrika
Ishango been
• gevonden in 1950 in het gebied van de Grote Meren, op 15 km van de evenaar
• ca. 10 cm lang, van onbekende diersoort
• volgens diverse analyses, o.a. Koolstof 14, 20000 jaar oud
Het Ishango been,
tentoongesteld in het
Koninklijk Belgisch Instituut
voor Natuurwetenschappen,
Brussel
9
Het Ishango been
ca. 18000 BCE
ca. 10 cm
10-1
20-1
20+1
10+1
som = 60
?
ca. 10 cm
3, 5, 7, 11
13, 17, 19
priemgetallen
?
10
De Wiskunde in de 4 Riviervalleien
Tigris - Eufrates
Indus
Huang-he (Gele Rivier)
Nijl 11
De Beschavingen van de 4 Riviervalleien
12
Wiskunde in het Oude Egypte
Koningszoon Wepemnefret, zittend voor
hetgeen hij wil meenemen in het hiernamaals
(Giza Necropolis)
13
Egypte - tijdslijn
0
-500
-1000
Steen van Rosetta
Grieks is de officiële taal
Cleopatra VII
Bibliotheek van Alexandria wordt opgericht
Alexander de Grote verovert Egypte
Ptolemaios I Soler
Alexander de Grote
Herodotus bezoekt Egypte
Darius I
Xerxes I de Grote
Late Kingdom
Dyn. 26 - 31
3. Intermediate
Dyn. 21 - 25
New Kingdom
Dyn. 18 - 20
2. Intermediate
Dyn. 14 - 17
Middle Kingdom
Dyn. 11 - 13
1. Intermediate
Dyn. 7 - 10
Old Kingdom
Dyn. 3 - 6
Early Dynastic
Dyn. 1 - 2
Demotisch schrift vervangt hiëratisch
Ramses II
-1500
Tutankhamon wordt pharao, sterft op 19 j,
Nefertiti, Great Royal Wife van Akhenaten
Gebruik van de zonnewijzer
Begin van de bouw van het tempelcomplex
in Karnak (Luxor / Thebe)
Hyksos worden verdreven
Tutankhamon
Amenhotep III
Hatshepsut
Thutmose III
Ahmoses I
Semitische Hyksos regeren in het Noorden
Rhind Mathematical Papyrus
-2000
Labyrint gebouwd in Harawa
Moscow Mathematical Papyrus
Hereniging met Thebe als hoofdstad
Mentuhotep II
Opsplitsing in 2 staten :
Memphis (Noorden) en Thebe (Zuiden)
-2500
Beeld van de Sphinx
Grote pyramide in Giza
Kufu (Cheops)
Djoser
Hiëratisch schrift wordt ontwikkeld
-3000
-3500
Memphis wordt de hoofdstad
Geschriften op papyrus
Trappenpyramide van Saqqara
Menes (Narmer)
Hiëroglyfisch schrift ontwikkeld
Noord- en Zuid-Egypte verenigd
Uitvinding van het zeil
Naqada III
Pre-dynastic
14
Eerste nederzettingen in de Nijlvallei
Historische kaarten van Egypte
15
De steen van Rosetta
196 BCE
de sleutel tot het begrip
van de Egyptische beschaving
•
•
•
•
steen in donker graniet, linker-boven deel ontbreekt
gevonden in 1799 bij Rosetta (El Rashid)
door Franse genietroepen van Napoleon
afmetingen 114 cm * 72 cm * 28 cm, 760 kg
• dateert van 196 BCE
• bevat een dankbetuiging aan koning Ptolemaios V
• opgesteld in 3 schriften :
• Oud Egyptische hiëroglyfen
• Demotisch schrift
• Oud-Grieks
• leidde tot de ontcijfering van de hiëroglyfen
• door Jean-François Champollion in 1822
• sinds 1802 bewaard in het British Museum, London
16
Hiëroglyfen en Hiëratisch schrift
Hiëroglyfen
3244
21237
Eenheden
Tientallen
Getallen
in hiëratisch schrift
Honderdtallen
Duizendtallen
Tienduizenden
Honderdduizenden
17
Narmer
ca. 3100 BCE
•
•
•
•
Narmer was de heerser over Opper-Egypte (Zuiden) en veroverde Neder-Egypte (Noorden)
verzekerde aldus de éénmaking van Egypte
huwde de koningin van Neder-Egypte Neithhotep en werd de eerste pharao van de eerste dynastie
stichtte de hoofdstad Memphis
Narmer palet
•
•
•
•
(3100 BCE)
in groene schist vervaardigd palet 64 cm * 42 cm
in 1898 gevonden in Hierakonpolis
voorstelling van het éénwordingsproces
Narmer wordt voorgesteld met
 de witte kroon van Opper-Egypte
 en met de rode kroon van Neder-Egypte
Kroon van het
verenigd Egypte
18
Narmer
ca. 3100 BCE
Narmer scepter
de top van de scepter van pharao
Narmer geeft een beeld van de
veldtocht in Neder-Egypte en een
opsomming (in hiëroglyfen) van de buit
:
400 000
runderen
1 422 000
geiten
120 000
gevangenen
19
Egyptische breuken
• zowel hiërogliefen, als het hiëratisch schrift, boden de mogelijkheid de omgekeerden van de natuurlijke getallen voor te stellen
• er was een bijzondere notatie voor de breuken :
• de Egyptenaren waren in staat elke breuk te schrijven als een som van verschillende stambreuken
• het eerste deel van de Rhind papyrus geeft een tabel voor 2/n, voor alle oneven n tot en met 101
• het deelgebied getallentheorie van de wiskunde geeft een aantal patronen voor dergelijke egyptische breuken, zoals
2
1
1


2n  1 n  1 (n  1)(2n  1)
20
Vermenigvuldigen en Delen
Egyptische rekenkunde werd voornamelijk herleid tot optellen en verdubbelen
vermenigvuldigen van 19 en 87
19 * 87
1
2
4
8
16
_________
1+2+16 =
19
delen van 98 door 7
delen van 35 door 8
98 / 7
35 / 8
87
°
174
°
348
696
1392
°
_________
87+174+1392 =
1653
1
2
4
8
_________
7
14
28
56
_________
2+4+8 =
14
14+28+56 =
98
1
2
4
1/2
1/4
1/8
_________
8
16
32
4
2
1
_______ __
4+1/4+1/8
32+2+1 =
35
°
°
°
°
°
°
21
The Moscow Mathematical Papyrus
ca. 1850 BCE
•
•
•
•
papyrus rol van ca. 5.50 m lang * 4 tot 8 cm breed
in hiëratisch schrift
gevonden in Thebe in 1892
aangekocht door egyptoloog Vladimir Golenischev
• bevat 25 rekenkundige en meetkundige problemen
• probleem 10 : de oppervlakte van een halve bol :
de oplossing is te herleiden tot
Opp 
1
256
(4*
* straal 2 )
2
81
zodat voor π = 3.16049
• probleem 19 : voeg 4 bij anderhalf maal een
hoeveelheid om 10 te bekomen
probleem 14 : het volume van een afgenotte vierkante piramide
de onbekende wordt aha genoemd
• probleem 14 : het volume van een afgeknotte
vierkante piramide,
de oplossing is te herleiden tot
1
Vol  h(a ²  ab  b ²)
3
22
The Rhind Mathematical Papyrus
ca. 1650 BCE
•
•
•
•
•
•
papyrus rol van ca. 5 m lang * 33 cm breed
in hiëratisch schrift
daterend van 1650 BCE
gekopieerd door de scribe Ahmes van een nu verdwenen ouder manuscript
gevonden tijdens illegale opgravingen in Luxor in 1858
aangekocht door de Schotse archeoloog Alexander Henry Rhind
• het manuscript bevat o.a. een tabel van breuken en een reeks van 84 problemen
23
Oppervlakte van de cirkel
Problemen 48 en 50 van de Rhind papyrus tonen hoe de Egyptenaren kwamen tot een degelijke
benadering van de oppervlakte van de cirkel :
[khet = lengtemaat, ca. 52.5 m ; 1 setjat = (1 khet)²]
Probleem 48 van de Rhind papyrus :
Zoek de oppervlakte van een achthoek ingeschreven in een vierkant met zijde van 9 khet.
• de ruwe schets van een achthoek binnen een vierkant bevat in demotisch schrift het cijfer 9
• trisectie van de zijden met lengte d = 9 verdeelt elke zijde in 3 gelijke delen met lengte 3;
• een achthoek wordt binnen het vierkant beschreven
• de oppervlakte van de achthoek is .
1 d
2
7
7
28 2
S  d 2  4.[ .( ) 2 ]  d 2  d 2  d 2  (2r ) 2 
r
met d  2r , d  9
2 3
9
9
9
9
• dus is de oppervlakte van de achthoek gelijk aan 63 setjat.
Probleem 50 van de Rhind papyrus :
Zoek de oppervlakte van een ronde akker met een diameter van 9 khet
• Ahmes stelt vast dat de oppervlakten van de cirkel en van de achthoek ong. gelijk zijn
• dat bovendien 63 en 64 weinig van elkaar verschillen
• zo, wordt zijn werkwijze : .
• verwijder 1/9 van de diameter,
• en vermenigvuldig dit met zichzelf.
• daarom is de oppervlakte gelijk aan 64 setjat
1
1
8
8
16
256 2
.
S  d 2  S  (d  d )(d  d )  ( d ) 2  ( .2r ) 2  ( r ) 2 
r
met d  2r , d  9
9
9
9
9
9
81
Benadering van π
Vergelijken met de bekende formule voor de oppervlakte van de cirkel S=π.r²,
geeft, volgens de oplossing van probleem 48, als benadering π = 3,11111...
geeft, volgens de oplossing van probleem 50, als benadering π = 3,16049...
Waarom verkiest de scribe Ahmes de oplossing van probleem 50
als de beste benadering van de oppervlakte van de cirkel ?
24
Landmeten in Egypte
• een muurschildering in de graftombe van Menna
• Menna (ca. 1350 BCE) was ‘Scribe van de Akkers van de Pharao’, de koninklijke landmeter
• zijn graftombe bevindt zich op de Westelijke Nijloever ter hoogte van Luxor
Afbeelding van een muurschildering in de graftombe
van pharao Ramses IX (gestorven 1106 BCE)
in de Vallei van de Koningen in Luxor
a=3
b=4
c=5
}
 hoek (a,b) = 90°
de Egyptenaren kenden
1000 jaren voor Pythagoras
de eigenschap dat een driehoek
met zijden 3, 4, 5 rechthoekig was.
25
Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude Egypte
•
tiendelig, niet-positioneel, talstelsel
•
•
•
•
nadruk op het praktisch rekenen, via specifieke numerieke oefeningen
meestal wordt de ‘regula falsi’ methode gebruikt
nooit worden algemene procedures vermeld
ontwikkeling sterk geremd door het exclusief gebruik van stambreuken
•
•
de Egyptische meetkunde bleef intuïtief en beperkt tot toepassingen in de bouwkunde en de landmeetkunde
vertoonde nooit een deductieve structuur
•
relatief weinig oorspronkelijke documenten zijn bewaard gebeleven (papyrus)
26
Wiskunde in Mesopotamië
Standaard van de stad Ur, oorlog en vrede (ca. 2900 BCE)
27
Kaart van Mesopotamië
28
Mesopotamië - tijdslijn
0
Alexander de Grote verovert Mesopotamië
-500
Darius I
Persian Empire
Chaldean Empire
2. Intermediate
-1000
Assyrian Empire
-1500
Babylonian Empire
Ontstaan van Babylonië
-2000
1. Intermediate
Akkadian Empire
-2500
Sargon verovert Mesopotamië
-3000
Halfgod Gilgamesh, heerser van Uruk
Sumerian Empire
-3500
-4000
29
Rots van Behistun – Inscripties van Darius I
ca. 500 BCE
30
Rots van Behistun – Inscripties van Darius I
ca. 500 BCE
•
•
•
•
beschrijving van de overwinningen van de Perzische koning Darius I (ca. 550 BCE – 486 BCE)
met tekst in het Oud-Perzisch, het Elamitisch en het Babylonisch
in 1835 herontdekt door Sir Henry Rawlinson (1840 – 1895), leidde tot de ontcijfering van de oude Mesopotamische teksten
werd hierbij sterk geholpen door het werk van de Duitser Georg Grotefend (1775 – 1853)
1. Elamite
30 m
2. Elamite
45 m
31
Cuneïform schrift
ca. 4000 BCE – ca. 100 BCE
•
•
•
•
•
•
spijkerschrift verkregen door het drukken van een stylus in kleitabletten
na het bakken van de tablet, in de oven of in de zon, ontstaan goed bewaarde tabletten
gebruikt tussen het 4e millenium tot de laatste eeuw BCE
bestaat uit ca. 600 tekens, zowel logograms als lettertekens
tijdens de laatste periode worden enkel nog 36 alfabetische tekens gebruikt
oorspronkelijk geschreven van boven naar beneden, later van links naar rechts
Evolutie van het cuneiform schrift
32
Cuneiform cijferschrift
60-delig
Voorbeeld :
• in het oorspronkelijk cuneiform cijferschrift werd een
opening gelaten om het ontbreken van een positie voor te
stellen : dit leidde tot veel verwarring. Omstreeks 300 BCE
werd hiervoor een symbool ingevoerd
omzetting naar decimaal stelsel :
oorspronkelijk, ofwel 64, ofwel 3604
 1.603  57.602  46.601  40.600
met het nieuwe symbool, ondubbelzinnig 3604
 1.216000  57.3600  46.60  40.1
 216000  205200  2760  40
 424000
• dit symbool was echter geen echte nul want werd
niet gebruikt op het einde van een getal.
33
Vermenigvuldigen en delen
N
N2
N
N2
N
N2
N
N2
N
N2
1
1
11
2,1
21
7,21
31
16,1
41
28,1
2
4
12
2,24
22
8,4
32
17,4
42
29,24
3
9
13
2,49
23
8,49
33
18,9
43
30,49
4
16
14
3,16
24
9,36
34
19,16
44
32,16
Voorbeeld :
5
25
15
3,45
25
10,25
35
20,25
45
33,45
(29  17)2  (29  17) 2 462  122 35,16  2, 24 32,52



 8,13
4
4
4
4
omzetting naar decimaal stelsel :
6
36
16
4,16
26
11,16
36
21,36
46
35,16
7
49
17
4,49
27
12,9
37
22,49
47
36,49
8
1,4
18
5,24
28
13,4
38
24,4
48
38,24
29.17  8,13  8.601  13.600  480  13  493
9
1,21
19
6,1
29
14,1
39
25,21
49
40,1
10
1,40
20
6,40
30
15,0
40
26,40
50
41,40
Produkt van twee getallen a en b
Babyloniërs kenden de identiteit
a.b 
( a  b)  ( a  b)
4
2
2
kleitabletten met tafels voor kwadraten waren beschikbaar
29.17 
Quotiënt van twee getallen a en b
a
1
 a.
b
b
Babyloniërs herleidden het quotient van twee getallen tot een
produkt met het omgekeerde van de deler ;
kleitabletten met tafels voor de omgekeerden waren beschikbaar
34
Rekenkunde in kleitablet MS 2317
ca 1850 BCE
1, 1, 1, 1
13
4 , 41, 37
• kleitablet, 2.9 cm * 2.9 cm * 1.4 cm
• naar een eerdere versie uit Ur :
• verdeel een kudde schapen (1, 1, 1, 1) tussen een bepaald aantal (13) herders
• de tablet bevat drie regels :
1, 1, 1, 1
13
4 , 41, 37
naar decimaal
1.603  1.602  1.60  1  219661
13
4.602  41.60  37  16897
Inderdaad :
219661
 16897
13
35
Grote getallen
10
13
29
22
58
50
54
26
59
43
09
17
31
51
06
40
• kleitablet, ca. 19e eeuw BCE, 4.5 cm * 11.7 cm * 2.8 cm
• bevat een 2 rijen lang 15-tallig cuneiform getal (de tweede rij loopt verder op de achterkant van de tablet)
• 13, 22, 50, 54, 59, 09, 29, 58, 26, 43, 17, 31, 51, 06, 40
• omgezet in decimaal stelsel : 104 857 600 000 000 000 000 000 000 =
2020
36
2 -benadering in kleitablet YBC 7289
1800 à 1600 BCE
2
Kleitablet, ca. 8 cm * 8 cm,
uit de periode 1800 BCE – 1600 BCE
• (diagonaal) ² = 2 (zijde) ² =>
2 = diagonaal / zijde
• vierkant met zijde 30 heeft een diagonaal 42 ; 25 , 35
Babylonisch cuneiform talstelsel
42; 25,35
60 1
1
1
1
 42; 25,35* *  42; 25,35* 2*  84;50, 70*  1, 24;51,10 *  1; 24,51,10
30
30 60
60
60
60
Omzetting naar decimaal stelsel
1.600  24.601  51.602  10.603  1  0.4000000  0.0141667  0.0000463  1.4142130
• vergelijk met
2  1.41421356.....
37
De kwadratische vergelijking
• Babyloniërs gaan uit van de vorm
x2  bx  a
• beschouwen steeds meetkundige figuren :
x² betekent de oppervlakte van een vierkant
bx betekent de oppervlakte van een rechthoek
a betekent een lengte
• aanvaarden het feit dat een oppervlakte gelijk is aan een lengte
• negeren negatieve grootheden
• gebruiken de methode van ‘het vervolledigen van een vierkant’
38
Pythagorische drietallen
Een geordend drietal (a, b, c) is een Pythagorisch drietal, als en slechts als
a, b, c 
0
,a  b  c
a 2  b2  c 2
en
Indien a, b en c geen deler gemeen hebben wordt het drietal primitief genoemd;
(3,4,5)
(5,12,13)
(7,24,25)
(8,15,17)
(9,40,41)
(11,60,61)
(12,35,37)
(13,84,85)
(15,112,113)
(16,63,65)
(17,144,145)
(19,180,181)
(20,21,29)
(20,99,101)
(21,220,221)
(23,264,265)
(24,143,145)
(25,312,313)
(27,364,365)
(28,45,53)
(28,195,197)
(29,420,421)
(31,480,481)
(32,255,257)
(33,56,65)
(33,544,545)
(35,612,613)
(36,77,85)
(36,323,325)
(37,684,685)
Pythagorische drietallen waren in Egypte en Babylonië bekend, meer dan duizend
jaar voor Pythagoras’ tijd.
Indien
dan is
m, n 
0
, n  m,
(m2  n2 , 2mn, m2  n2 )
een Pythagorisch drietal.
39
Kleitablet Plimpton 322
ca. 1800 BCE
13 cm
19 cm
a
c
• kleitablet, ca. 19 cm * 13 cm * 2 cm
• een deel ontbreekt aan de linkerzijde
• in 1922 gekocht door G.E. Plimpton
van archeoloog E.J. Banks
• door Plimpton in 1935 geschonken aan de
University of Columbia
• vermoedelijk afkomstig uit Larsa (Zuid-Irak)
• dateert uit ca. 1800 BCE
•. onderzocht vanaf 1945
• door O.E. Neugebauer, E. Robson en C. Proust
• lijst van Pythagorïsche drietallen (a,b,c)
40
Reconstructie van de
originele Plimpton 322
tablet
Volgens
Abdulrahman A. Abdulaziz
University of Balamand – Libanon (Middle East)
In
The Plimpton 322 tablet and the Babylonian
Method of generating Pythagorean Triples
(31/03/2010)
(kolom w, kolom l, kolom d)
41
Kenmerken van het wiskundig denken in Mesopotamië
•
zestigdelig, positioneel, talstelsel
•
•
•
genoteerd op kleitabletten, vooral uit de periode 1800 – 1600 BCE
tabletten met tabellen, vooral rekenkundig : produkten, omgekeerden, kwadraten en vierkantswortels
tabletten met oefeningen leverden geen algemene procedures, maar steeds numerieke toepassingen
•
veel oorspronkelijke tabletten zijn bewaard gebleven
42
Wiskunde in het Oude China
Liubo – oud chinees bordspel
43
Kaart van China
44
China - tijdslijn
South. Sung Dynasty
North. Sung Dynasty
5 Dynasties
1000
500
0
-500
T'ang Dynasty
Sui Dynasty
Northern and Southern
Empires
Opdeling in twee koninkrijken
Uitvinding van het papier door Cai Lun
Three Kingdoms
Eerste officiële Chinese geschiedschrijving door Szu-ma Ch’ienLater Han Dynasty
Jiuzhang suanshu – Nine chapters
Boekverbranding
Hoofdstad verplaatst naar Ch’ang-An
Laatste Chou heerser vermoord
Confucius en Sun Tzu ‘The Art of War’
Mausoleum met
Former Han Dynasty
terracotta strijders
Ch'in Dynasty
Bouw Chinese muur
Late Chou Dynasty
Middle Chou Dynasty
-1000
Verdeeldheid tussen13 kleine oorlogvoerende staten
Relatieve politieke eenheid in Noord-China
-1500
Eerste tekens van het Chinese schrift
-2000
Luoyang werd hoofdstad
Early Chou Dynasty
Shang Dynasty
Hsia Dynasty
-2500
-3000
Legendary Period
45
Chinese decimaal talstelsel
vanaf ca. 1500 BCE
•
•
•
•
ontdekt in 1899 door archeologische expeditie in Xiao , prov. Henan
vroeger naam Yuzhou, bakermat van de Chinese beschaving
historische hoofdplaats tijdens de Handynastie
inscripties op beenderen en schildpadschalen vanaf de 14 e eeuw BCE
• decimaal stelsel, met additieve en multiplicatieve eigenschappen
• vermits het geen positioneel stelsel was, was de 0 niet nodig
• over de eeuwen heen, werd de vorm van de tekens weinig veranderd
• in 718 werd door Gauthama Siddha het teken 0 voor ‘nul’ ingevoerd
4359
5080
8873
46
De Ch’in dynastie
221 BCE – 207 BCE
•
•
•
•
•
•
eerste keizer Ch’in Shiuang, die regeerde over een verenigd China, van 221 tot 210 BCE
zijn kanselier Li Si verstevigde de macht van het totalitaire centrale gezag
realiseerde groeiende handel, productievere landbouw en militaire veiligheid
tweedracht en verraad onder zijn zoon Ch’in Er Si, leidde tot de opkomst van de Han dynastie
tijdens de Ch’in dynastie werd begonnen met de bouw van de Chinese muur
het Mausoleum van de keizer wordt bewaakt door het ‘Terracotta-leger’ , ontdekt in 1974
 8000 strijders, 520 trekpaarden voor 120 koetsen, 150 rijpaarden
• om de eenheid van China te bevorderen besliste het totalitaire regime alle sporen van het verleden uit te wissen :
• daarom werd in 213 BCE beslist tot een totale boekverbranding
• enkel werken over landbouw, geneeskunde en toekomstvoorspelling bleven gespaard
• 460 geleerden, die weigerden mee te werken, werden levend begraven
geen documenten beschikbaar uit vroegere periodes !
47
Oud-Chinees rod-stelsel, gebruikt op het rekenbord
vanaf 4e eeuw BCE
voor eenheden,
voor honderdtallen,
voor tienduizendtallen,
algemeen voor 102n –tallen ( n 
)
voor tientallen,
voor duizendtallen,
voor honderduizendtallen,
algemeen voor 102n+1 –tallen ( n 
)
1234
45698
60390
75169 en 706528
en
positieve en negatieve getallen
decimale getallen
寸
7,5169
寸
706,528
48
Arithmetic Classic of the Gnomon and the Circular Path of Heaven
Zhou Bi Suan-jing
•
•
•
•
•
•
compilatie van de mathematische kennis uit het verleden
dateert van ca. 200 BCE (na de boekverbranding)
werd later (van 200 tot 1270) uitgebreid met commentaren en aanvullingen
behandelt 246 problemen
onder de vorm van gesprekken tussen de graaf van Zhou en zijn astroloog Shang Gao
bevat o.a. een der vroegste bewijzen van de stelling van Pythagoras
schets bij het bewijs
van de stelling van Pythagoras
De groene driehoek ABC is een rechthoekige driehoek,
^C = 90 , dus met c als schuine zijde
De 4 groene driehoeken zijn congruent (ZHZ)
De rode vierhoek is een vierkant met zijde c
a
A
b
Er geldt
opp. rode vierkant = c² (1)
Maar ook opp. rode vierkant =
opp. gele vierkant vierkant + 4 * opp. rode driehoek = (b-a)² + 4 * ½ ab (2)
Dus (1) = (2) 
c² = (b-a)² + 4 * ½ ab
= a² - 2ab + b² + 2ab
= a² + b²
In een rechthoekige driehoek is de som van de
kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan
het kwadraat van de schuine zijde
C
c
a
B
b-a
b-a
b
49
Nine Chapters on the Mathematical Art
Jiuzhang Suanshu
•
•
•
•
•
•
samengesteld door verscheidene wijzen tussen de 10e en de 2e eeuw BCE
beperkt tot het geven van procedures voor het oplossen van de problemen
compilatie door Dhang Gang (2e eeuw BCE) en Geng Shouchang (1e eeuw BCE)
de titel van het boek werd voor het eerst vermeld in 179 CE
positieve en negatieve getallen werden in dit werk voor het eerst ingevoerd
ook aandacht voor het ‘magisch vierkant’
•
•
•
•
in 263 CE publiceerde Liu Hui een versie van de Jiuzhang Suanshu
met analyses en commentaar
deze versie is bewaard gebleven
verscheen als gedrukt leerboek in 1084 (eerste gedrukt wiskunde boek)
Liu Hui
ca. 220 – ca. 280
De Jiuzhan Suanshu behandelt in 9 hoofdstukken 246 problemen van praktische aard :
1. 38 problemen : landmeetkunde , de 4 hoofdbewerkingen ; grootste gemene deler ;
oppervlakte van driehoeken, rechthoeken, trapezia en cirkels ; benadering van π
(probleem 32)
2. 46 problemen : ruilhandel ; overdracht van goederen
3. 20 problemen : recht en omgekeerd evenredige verdeling
4. 24 problemen : afmetingen van akkers ; vierkants- en kubiekswortels ; de cirkel en de
bol, oppervlakte en inhoud
5. 28 problemen : burgerlijke bouwkunde : constructie van kanalen, dijken ; Inhouden van
prisma’s, viervlakken, sectoren, cilinders, piramides, afgeknotte piramides
6. 28 problemen : distributie van goederen, evenredigheden,
7. 20 problemen : de ‘regula falsi’
8. 18 problemen : stelsels van lineaire vergelijkingen (tot 6x6-stelsels), matrixrekenen, ook
met negatieve getallen
9. 24 problemen : rechthoekige driehoeken, Pythagorische drietallen, kwadratische
vergelijkingen, gelijkvormige driehoeken
Titelbladzijde van de
Jiuzhang Suanshu
50
Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude China
•
tiendelig, niet-positoneel, talstelsel
•
•
•
•
wiskunde diende vooral tot ondersteuning van de astronomie
hoge nauwkeurigheid was vereist in het opmaken van de kalender en het voorspellen van astronomische fenomenen
focus op het geven van procedures voor het oplossen van toepassingen
meestal ontbreken deductieve bewijsvoeringen
51
Wiskunde in het Oude Indië
Mohenjo Daro (26e eeuw BCE – 18e eeuw BCE)
herontdekt in 1920, in huidig Pakistan
52
Kaart van het Indus-riviervallei gebied
53
Vroeg-Indische beschaving
Vedas en Sulbasutras
• de eerste belangrijke beschaving, de Harappa-beschaving, beleefde haar bloeitijd van 2600 BCE tot 1900 BCE
• er werd geleefd in strak geplande en degelijk georganiseerde stedelijke gebieden
• vanaf de 15e eeuw BCE migreerde een Arisch nomadenvolk, vanuit het Noord-Westen naar de Indus riviervallei
• in deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in sociale klassen
• de leiding berustte bij een bevoorrechte priesterklasse, de Brahmanen
Vedas
• tijdens hun religieuze ceremonies werden teksten, de Vedas (15e eeuw BCE - 5e eeuw BCE), gezongen
• de oudste Veda was de Rig Veda (uit het Sanskriet : lof+kennis), ontstaan tussen 1500 BCE en 1200 BCE
 bevat hymnes in versvorm over het ontstaan van de wereld, lofzangen aan de goden en gebeden
 gebundeld in 10 boeken, de mandalas
 werden mondeling overgeleverd en slechts voor het eerst genoteerd ca. 300 BCE
 oudst bewaard manuscript dateert uit 1464
• Sulbasutras zijn aanvullingen aan de Vedas, met instructies voor het bouwen van ‘citis’, de ceremoniële altaren
• volgens hun geloof, waren de religieuze ceremonies slechts succesvol, indien de altaren zeer precies gebouwd waren
• Sulbasutres werden o.a. samengesteld door
Baudayana
Apastamba
Baudayana (ca. 800 BCE)
Apastamba (ca. 600 BCE)
• zijn de enige bron van onze kennis van de vroegste Indische wiskunde
54
Vedic citis
In de Sulbasutras werd de bouw van de ceremoniële altaren, de citis, nauwkeurig beschreven :
Garhaptya citi
Elke laag bevat 21 stenen
Links : oneven lagen (12 type 1, 9 type 2)
Rechts : even lagen (16 type 1, 5 type 3)
Rathacakra citi
Elke laag bevat 200 stenen
Links : oneven lagen
Rechts : even lagen
Syena citi
Elke laag bevat 200 stenen
Links : lagen 1, 3 en 5
Rechts : lagen 2 en 4
55
De Meetkunde van de Sulbasutras
Constructie van een vierkant met gegeven zijde
Constructie van een vierkant met oppervlakte gelijk aan de som van de oppervlakten van twee ongelijke vierkanten
56
De Meetkunde van de Sulbasutras
Construtie van een vierkant met oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van een gegeven rechthoek
AE = AD
EG = GB
EB’ = EL
Stel AB=a, AD=b, GL=z, dan z 2  EL2  EG2  EB2  EG2
 (b 
a b 2 a b 2
a b 2 a b 2
) (
) (
) (
)  ab
2
2
2
2
57
De Meetkunde van de Sulbasutras
Uit Baudayana’s Sulbasutra (tussen 800 en 600 BCE)
Vers 1.9 :
De diagonaal van een vierkant geeft een vierkant met dubbele oppervlakte
Vers 1.12 :
.
De som van de oppervlakten van de vierkanten van de lengte en de breedte van een
rechthoek geeft de oppervlakte van het vierkant van de diagonaal (van de rechthoek)
Vers 2.12 :
Vermeerder de zijde met een derde en dit derde opnieuw met een vierde verminderd met een
vierendertigste van dit vierde ; dit is de waarde van de diagonaal van het vierkant
De diagonaal d van een vierkant met zijde a is (in modene notatie) :
d  a * (1 
Vergelijk met
1
1
1
408  136  34  1
577


)  a*(
)  a*
 a *1.414215.
3 4 * 3 4 * 3* 34
408
408
2  1.41421356.....
58
Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude Indië
•
tiendelig, positioneel, talstelsel
•
•
•
•
geschreven in het Sanskriet
met nadruk op het ‘rekenen’
meetkunde (in de Sulbasutras) ten dienste van de bouw van altaren voor de godsdienst
deductieve bewijsvoeringen ontbreken
59
Conclusie
Het wiskundig denken
in de
Beschavingen van de vier Riviervalleien
•
de ontwikkeling van de beschavingen in de vier riviervalleien begon in het 4 e millenium BCE
•
:
wiskundig denken ontstond als gevolg van de noden van de landbouw



•
de studie van de beweging van zon, maan en planeten leidde tot het berekenen van de kalender (seizoenen)
opmeten van landerijen werd nodig om eigendommen te verdelen
meten van hoeveelheden werd noodzakelijk om handel te drijven
de wiskunde in de vier beschavingen kennen meerderegemeenschappelijke elementen



in de diverse talstelsels ontbreekt de 0
redeneringen gebaseerd op specifieke voorbeelden, algemene methodes ontbreken
benaderingen voor constanten waren voldoende voor het praktisch gebruik
• onderlinge beinvloeding kan niet worden uitgesloten
60
Informatiebronnen
Algemeen
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Wikipedia, the free encyclopedia – www.wikipedia.org
A History of Mathematics, An Introduction – V.J. Katz – 2nd edition, 1998
A History of Mathematics – U.C. Merzbach & C.B. Boyer – 3th edition, 2011
The History of Mathematics, An Introduction – D.M. Burton – 7th edition, 2011
An Episodic Histoty of Mathematics – S.G. Krantz - 2006
History of Mathematics (2 volumes) – D.E. Smith – 1958
Mathematics in Historical Context – J. Suzuki – MAA, 2009
The Britannica Guide to the History of Mathematics – edited by E. Gregersen – Britannica Educational Publishing, 2011
The Oxford Handbook of The History of Mathematics – E. Robson, J. Stedall – Oxford University Preess, 2008
Mac Tutor History of Mathematics – created by J.J. O’Connor & E.F. Robertson – School of Mathematics and Statistics –University of St-Andresws
Geschiedenis van de Wiskunde – D.J. Struik - 1965
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A History of Chinese Mathematics – J.Cl. Marzloff – 1987
A History of Greek Mathematics (2 volumes) – Sir. Th. Heath – Oxford Clarendon Press, 1921
Applied Geometry of the Sulbasutras – J.F. Price
Pascal’s Triangle – Tehnicclass – HighSchool Lajkovac
Geometry Step by Step- A Gutierrez - http://agutie.homestead.com
The Newton-Leibniz controversy over the invention of the calculus – S. Subramanya Sastry
A Short History of Complex Numbers – O. Merino, University of Rhode Island – 2006
Cavalieri’s Method of Indivisibles – K. Andersen, History of Science Department, University of Aarhus - 1984,
Leonhard Euler : His Life, the Man and His Works – W. Gautschi – AMS 01A50 - 2008
61
‘De belangrijkste opgave voor de geschiedkundige van de wiskunde, en tevens zijn
diepste voorrecht, is de menselijkheid van de wiskunde te verklaren, haar grootheid,
schoonheid en waardigheid aan te tonen en te beschrijven hoe de nooit aflatende inzet en
het verzamelde talent van vele generaties dit groots monument hebben opgebouwd,
onderwerp van onze meest gewettigde trots als mens, en van onze verbazing,
nederigheid en dankbaarheid als individu.
Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een
menselijkere wiskundige maken ; het zal zijn geest verrijken, zijn hart verwarmen en zijn
bekwaamheden verruimen.’
George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956)
‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, is
to explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, and
dignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of many
generations have built up that magnificent monument, the object of our most
legitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, as
individuals. The study of the history of mathematics will not make better
mathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts,
and bring out their finer qualities.’
62

similar documents