WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne CD

Report
Biomechanika przepływów
WYKŁAD 5 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE C. D.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Jak już wspomniano na wykładach wcześniejszych : Ciało będące pod działaniem pola sił
ulega deformacjom mierzonym jako odkształcenia, które zależą od charakterystyki
materiału z którego zbudowane jest dane ciało.
Charakterystyka ciała reprezentowana jest przez odpowiednią relację pomiędzy polem
naprężeń a odkształceniami, która to nazywana jest - relacją konstytutywną.
Na poprzednim wykładzie omawiane były główne znane relacje konstytutywne opisywane
za pomocą tensorowych równań konstytutywnych t. j.: Lepki płyn Newtonowski,
Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka.
Teraz omówimy ogólniej trzy podstawowe relacje: ciała liniowo elastyczne,
ciała nie liniowo elastyczne, oraz ciała liniowo lepko – elastyczne.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Ciało Liniowo Elastyczne
Odkształcenie oraz naprężenie, mogą być reprezentowane za pomocą jednowymiarowych
macierzy ( o wymiarze 6 x 1 ), ze względu na to iż, symetria powoduje że, jest tylko 6 różnych
elementów tensorów odkształcenia i naprężenia:
naprężenie:
 1   11  2   22  3   33  4   12  5   23  6  13
odkształcenie:
e1  e11
e2  e22
e3  e33
e4  e12
e5  e23
e6  e13
Liniowe równanie dla materiałów izotropowych ( Prawo Hooka) może być zapisane:
  Ce  i  Cikek i,k  1,2,....,6
Elastic constitutive matrix
(*)
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Wykorzystując założenie o izotropowości można wykazać że, C może być przedstawione
Za pomocą dwóch stałych materiałowych : modułu Younga E i stałej Poissona ν.
E przedstawia współczynnik proporcjonalności dla jednowymiarowego odkształcania:
  Ee
Natomiast ν jest stosunkiem wartości poprzecznego odkształcenia eyy do odkształcenia
Wzdłużnego exx kiedy materiał jest obciążany w kierunku x:

eyy
exx  
xx

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Różne formy stałej C dla różnych warunków fizycznych:
Dla ogólnej 3-wymiarowej deformacji

 1

 
1  
 

E 1   1  
C
1  1 2  0


 0


 0



0
0
1  
0
0
1  
1
0
0
0
0
1 2
21  
0
0
0
0
1 2
21  
0
0
0
0
1   1  
1





0 


0 


0 

0 

1 2 
21  

0
(**)
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Dla przypadków osiowo symetrycznych tj. :
Nie zerowe odkształcenia mogą
być odniesione do:
e1  exx e2  eyy
e3   xy e4  ezz
gdzie: γ – odkształcenie styczne



Macież C sprowadza się do
 pstaci 4 x 4 :
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

 1
 

E 1   1 
C
1  1 2  0

 

1 

1 
0
1
0
0
1 2
21  

0
1 
 
1  
 

1  
0 


1 

Dla przypadku płaskiego (a)

 1

E 1    
C
1  1 2 1 
 0





1 
1
0

0 

0 

1 2 
21  

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Przykład 1:
Płaska membrana:
Dla płaskiej membrany (płaskiego stanu naprężenia) w płaszczyźnie x-y mamy następujący
warunek:
 zz  0
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
również wszystkie styczne naprężenia i odkształcenia w kierunku z są równe 0:
 xz   yz  0
 xz   yz  0
stosując równanie (*) i (**) otrzymamy:

E 1 2   
 zz  0 
exx  eyy  ezz 



1  1 2 1  

Po przekształceniach otrzymujemy równanie określające odksztacenie normalne
(na grubości membrany):
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

ezz  

e

1  
xx
 eyy 
po podstawieniu ezz w prierwszych dwóch równaniach dostajemy:

E 1 2  

2
E
exx 

 xx 
eyy 
e

e

e  eyy 
yy 
2  xx
2  xx
1  1 2  1 

1  
 1 

E 1 2   
2
E


 yy 
exx  eyy 
e

e

e  eyy 
yy 
2  xx
2  xx
1  1 2 1 

1  
 1 
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
a więc konsekwentnie constytutywna macierz przybiera postać:


1

0


E


C

1
0
2
1 v 
1  
0
0



2 

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Podobną technikę można użyć do opisu zachowania się powierzchni sferycznej
wprowadzamy nowy układ współrzędnych
(lokalny: x1, x2, x3) w którym macierz
konstytutywna przybiera postać:
1 

 1
0 0
E 0 0
C

1 v 2 
0 0

0 0

0
0
0
0
0
0
1 
0
2
0
0
0
0
0
0
1 
2
0
0
0





0 

0 
1  

2 
0
0
0
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
Przykład 2:
Określenie siły reakcji dla przewodu kołowego pod ciśnieniem
Prosta rura przedstawiona na rysunku nie podlega odkształceniom wzdłużnym. Rura
znajduje się pod ciśnieniem wewnętrznym p. Grubość rury δ jest mała w porównaniu z
promieniem przewodu R. Zakładamy również że, podpory pozwalają na zmianę średnicy
przewodu. Można więc przyjąć iż stan naprężenie – odksztacenie jest jednolity dla
przewodu.
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
niezerowe naprężenia w rurze to:
naprężenie wzdłużne
 aa
naprężenie obwodowe
 cc
z warunków równowagi można wyprowadzić relację:

Fp  2Riner p

Fc  2 cc
Fp  Fc
na jednostkę długości)
(siły

 cc 
Ri

p
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
poprzez istnienie wzdłużnych podpór, wzdłużne odksztacenie rury jest zerowe.

eaa  0
korzystając z
  Ce

otrzymamy:


1

0


E
oraz macierzy konstytutywnej: C 
 1
0 
2
1 v 
1  
0
0



2 
E
 aa 
e
2 cc 
1 
WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.
odkształcenie obwodowe przyjmuje postać:
1
ecc   cc   aa 
E
po podstawieniu do:

E
 aa 
e
2 cc
1 



aa
otrzymamy
Riner

p
Siły reakcji na podporach wynoszą:

FA  FB  R
2
iner
Riner   
p   
 aa  Riner 1 2 Riner  p
 2 


similar documents