kinetička teorija

Report
KINETIČKA TEORIJA GASOVA
•
molekulsko-kinetički aspekt posmatranja gasova (mikroskopske osobine molekula
gasa: masa, prečnik, brzina, kinetička energija... -statistički na bazi teorije verovatnoće)
•
makroskopsko-termodinamički aspekt posmatranja gasova (pritisak, temperatura,
unutrašnja energija, entropija....)
•
kinetička teorija objašnjava osobine gasova date u prethodnom poglavlju povezujući
makroskopske osobine sa mikroskopskim
•
kinetička teorija se razvila u drugoj polovini XIX veka. Za njen razvoj zaslužni su
Džul, Klauzijus, Maksvel i Bolcman
•
kinetička teorija se može primeniti i na proučavanje ponašanja tečnosti i čvrstih
supstanci
OSNOVNE JEDNAČINE KINETIČKE TEORIJE GASOVA
•
prema ovoj teoriji gasovi se sastoje od diskretnih čestica (molekula i atoma-plemeniti
gasovi i atomi para metala )
•
molekul gasa mase m i prečnika d=2r nalazi se u stalnom haotičnom, neusmerenom,
pravolinijskom kretanju tako da su svi pravci kretanja podjednako zastupljeni
•
pri tom kretanju molekuli se sudaraju sa zidovima suda i međusobno
•
dimenzije molekula su zanemarljivo male pa se molekuli posmatraju kao materijalne
tačke (primenjuju se zakoni klasične mehanike (Njutn) iako se molekuli gasa pokoravaju
zakonima kvantne mehanike)
•
između molekula nema drugih interakcija (privlačenja i odbijanja) izuzev međusobnih
sudara a to znači da ne postoji potencijalna energija međumolekulskih interakcija gasa pa
je ukupna energija sistema jednaka kinetičkoj energiji kretanja molekula
•
broj molekula gasa u jedinici zapremine je velik npr. 1cm3 pri standardnim uslovima
ima oko 3x1019 molekula
•
veliki broj molekula udari u jedinicu površine suda u jedinici vremena npr. oko 3x1023
molekula na 1cm2 u1s
•
svaki sudar stvara silu koja po površini predstavlja pritisak P
Na osnovu ovih pretpostavki a preko razlaganja brzine na koordinate x, y i z; podjednake
verovatnoće kretanja u svim pravcima; momenta količine kretanja itd. izveden je izraz za
pritisak P koji gas (N molekula gasa) u zapremini V ispoljava na zidove suda oblika kocke ivice
l:
ukupna masa svih molekula
Nmv
P
3V
2
1
PV  Nm v
3
2
N  nN A 
muk
NA
M
ukupan broj molekula
mNA=M
v12  v 22  .... v n2
srednji kvadrat brzine v 
masa jednog molekula
n
2
2
2
1
1
PV  nN A mv  nM v
3
3
Fundamentalna jednačina kinetičke teorije gasova
direktna proporcionalnost pritiska i gustine

muk mN

V
V
P
1 2
v
3
2
2
1
1
PV  nN A mv  nM v
3
3
2
1
M v  RT
3 2
3RT
v 
M
2
2
2
PV  nRT
2
vksk  v 
3RT
M
srednji kvadrat brzine
2 Mv
2
RT 
 Ek
3 2
3
ili
2
PV  E k
3
koren srednjeg kvadrata brzine
drugi oblici fundamentalne jednačine kinetičke teorije gasova
N Amv 2
Ek 
2
srednja kinetička energija jednog mola gasa
mv 2
k 
2
srednja kinetička energija jednog molekula gasa
Ek  N A k
2
2 Mv
2
RT 
 Ek
3 2
3
3 R
k 
T
2 NA
3
E k  RT
2
R
 kB
NA
3
 k  k BT
2
Bolcmanova konstanta (kB=1,38054·10-23 JK-1)
3
E k  RT
2
N Amv 2
Ek 
2
-srednja kinetička energija jednog mola idealnog gasa određena je
apsolutnom temperaturom a to znači da će različiti gasovi na istoj
temperaturi imati istu kinetičku energiju tj. kinetička energija ne
zavisi od njihove prirode
-odnosno, po kinetičkoj teoriji, nula apsolutne temperature
definisana je potpunim prestankom svakog molekulskog kretanja tj.
nultom tačkom Ek
mv 2
- N A,
isto za sve gasove na istoj temperaturi
2
Ukupna termalna energija primljena u sudarima sa okolinom raspodeljuje se na moguće oblike
kretanja molekula:
-translacija: kretanje molekula kao celine odnosno kretanje njegovog centra teže
-vibracija (kod elastičnih molekula): periodične promene relativnog rastojanja između atoma u
molekulu-oscilacije atoma. Nema kretanja centra teže ni rotacije oko ose.
-rotacija: kretanje oko ose koja prolazi kroz centar teže. Dvoatomni molekul može da rotira
oko dve ose y i z sa određenim ugaonim brzinama .
Rotaciono kretanje troatomskog molekula
Po statističkoj teoriji, a po principu jednake raspodele energije iz jednačine:
3
 k  k BT
2
Svaki translatorni stepen slobode kretanja (tj. način kretanja) duž x, y i z ose
zahteva energiju:
1
k BT
2
po molekulu
jednoatomni gasovi u idealnom gasnom stanju
imaju samo tri stepena slobode i to translaciona
Dvoatomski i višeatomski gasovi imaju i dopunske stepene slobode kretanja:
vibracione i rotacione
Kako vibraciona energija može biti kinetička i potencijalna (pri oscilaciji stalno dolazi
do transformacije kinetičke energije u potencijalnu i obrnuto) onda ukupno potrebna
energija za vibracije po molekulu jednaka je:
1
1
k BT  k BT  k BT
2
2
Dvoatomski molekul ima jedan vibracioni stepen slobode sa energijom kBT
Dvoatomski molekul ima dva rotaciona stepena slobode. Za svaki oblik rotacije,
odnosno stepen slobode, potrebna je energija od:
1
k BT
2
Ukupna energija dvoatomskog molekula gasa biće:
translacioni
vibracioni
3
7
k BT  k BT  k BT  k BT
2
2
po molekulu odnosno
7
RT po molu gasa
2
rotacioni
ukupna energija se deli na razne stepene slobode pri čemu na svaki dolazi ista
1
k B T odnosno k B T u zavisnosti od vrste kretanja: princip
vrednost od
2
jednake raspodele (ekviparticije) energije
Zakoni idealnog gasnog stanja izvedeni na
postavkama kinetičke teorije gasova
Dokaz Bojl-Mariotovog zakona
3
E k  RT
2
PV 
2
Ek
3
T raste, raste i Ek; ako je T=const. (Bojl-Mariotov zakon)
Ek=const.
PV=cont.
Dokaz Avogadrove hipoteze
m1v12
2
P1V1  N 1
3
2
m2 v 22
2
P2V2  N 2
3
2
osnovna jednačina kinetičke teorije za dva gasa
na konstantnoj temperaturi kinetičke energije po molekulu gasa su iste:
m1v12 m2 v22

2
2
pri P1=P2 u istoj zapremini V1=V2 i broj molekula mora biti isti N1=N2
dva gasa pod istim pritiskom i istom zapreminom na istoj temperaturi sadrže isti
broj molekula što je potvrda Avogadrove hipoteze
Dokaz Daltonovog zakona
Ek ,u  Ek ,1  Ek ,2      Ek ,n
PV 
2
2
E k ,u  E k ,1  E k , 2      E k ,n 
3
3
smeša gasova
osnovna jednačina kinetičke teorije
2
E k ,1
3
2
P2V  E k , 2
3

2
PiV  E k ,i
3
P1V 
za pojedinačni gas koji se nalazi u zapremini V
Zamenom Ek ,1 , Ek ,2    Ek ,i
23
3
3

PV   P1V  P2V      PiV 
32
2
2

ukupan pritisak gasne smeše jednak je
zbiru parcijalnih pritisaka, što predstavlja
Daltonov zakon
P  P1  P2       Pi
Gremov zakon
• efuzija -pojava isticanja molekula gasa kroz male otvore
• difuzija -spontano širenje molekula gasa (ili tečnosti) iz oblasti veće
koncentracije u oblast manje koncentracije
• Gremov zakon: na konstantnom pritisku i temperaturi brzina efuzije
(difuzije) gasa obrnuto je proporcionalna drugom korenu gustine gasa:
v1

v2
t2  1


t1  2
M2
M1
2
1
1
M2

2
M1
može da se odredi molekulska masa nekog gasa ako
se uporedi brzina isticanja tog gasa u efuziometru,
odnosno vreme, sa brzinom isticanja gasa čija je
molekulska masa poznata. Proces efuzije može biti
iskorišćen za razdvajanje gasova iz smeša kao i
izotopa.
3RT 3RT
v :v 
:
M1 M 2
2
1
2
2
iz kinetičke teorije gasova
v12 : v22  M 2 : M 1
brzine isticanja gasova su obrnuto proporcionalne molekulskim masama do čega je došao i
Grem u svom istraživanju
Broj sudara i srednja slobodna dužina puta
•
•
•
molekuli se nalaze u stalnom haotičnom kretanju i međusobno interaguju samo u
trenutku sudara
sudari omogućavaju odigravanje hemijske reakcije, transport mase kod difuzije,
transport količine kretanja kod viskoznosti, energije kod toplotne provodljivosti,
naelektrisanja kod električne provodljivosti
molekul se posmatra kao kruta sfera određenog radijusa koji određuje sferu
dejstva molekula na druge molekule
značaj poznavanja broja sudara i rastojanja koje molekul pređe između
dva uzastopna sudara
Šematski prikaz zamišljenog sudara jednog
molekula sa drugim, istovrsnim molekulima koji se nalaze u miru
-molekul gasa se nalazi u cilindru prečnika 2d i visine  t
- u intervalu vremena Δt, molekul prečnika d prolazi brzinom kroz cilindar
prečnika 2d i prelazi put  t što je i visina cilindra kroz koji se molekul kreće
-na tom putu nailazi na druge molekule i svaki susret sa molekulom čiji centar leži
u okviru cilindra se broji kao sudar
-pri ovom razmatranju smatra se da svi molekuli gasa u cilindru miruju odnosno
stacionarni su dok se samo jedan molekul kreće
-do sudara između molekula doći će kada se centri molekula nađu na rastojanju
koje odgovara sumi poluprečnika dva različita molekula ili prečniku molekula u
slučaju sudara molekula iste vrste
.
Veličine koje su karakteristične za molekul pri ovakvom
modelu su prečnik molekula i efikasni presek sudara,
određen površinom kruga koji određuje fizičku sferu uticaja
molekula .Uzimajući u obzir ove veličine, molekul će se
sudariti sa drugim uvek kada se centar drugog molekula
nađe u sferi uticaja molekula sa kojim se sudara, odnosno
unutar efikasnog preseka sudara 
Sudar molekula gasa
ukupan broj molekula u jedinici zapremine
Z1 
NVcilindra
t
Z1  d 2v N
Z1  v N
d 2v t
  d 2
visina cilindra
efikasni presek sudara molekula, površina
poprečnog preseka cilindra
-0-180o sa podjednakom verovatnoćom pa je srednji
ugao ugao od Θ=90o
-relativna brzina kretanja molekula u odnosu na
ostale molekule koji se kreću:
vr  2v
Načini sudara molekula
Z 11 
Z 11 
1
Z1 N
2
1
2d 2 N 2 v
2
Z1  d 2v N
Z1  2d 2 Nv
ukupan broj sudara između svih molekula u jedinici
vremena i u jedinici zapremine
Srednja slobodna dužina puta  je srednje rastojanje koje jedan molekul pređe
između dva uzastopna sudara. Ukupno pređeni put se deli sa brojem sudara jednog
molekula u jedinici vremena.
molekul a

v t
v

Z1t Z1
v
t
Z1
vt
Z1  2d 2 Nv

1
2d 2 N
 obrnuto srazmerno broju molekula u jedinici zapremine, pa samim tim i pritisku i ne
zavisi od brzine molekula, pa samim tim i od temperature. Sledi da će povećanje
pritiska dovesti do smanjenja dužine srednjeg slobodnog puta.
Maksvel-Bolcmanov zakon raspodele
haotično kretanje molekula
stalni sudari
brzine im se neprekidno menjaju
svi molekuli u gasu nemaju istu brzinu
Kako su različite brzine raspodeljene između molekula?
Većina molekula ima brzinu blisku
prosečnoj, srednjoj vrednosti a manji broj
molekula manju ili veću od prosečne
Ek 
3
RT
2
Na konstantnoj temperaturi ukupna energija molekula je
konstantna, ali energija pojedinačnih molekula je različita i
neprekidno se menja
Statistički, na osnovu teorije verovatnoće, izveden je
zakon raspodele molekula po brzinama-zakon Maksvela
deo ili frakcija proporcionalan širini
beskonačno malog intervala brzine dv
a zavisi i od same brzine v
masa jednog molekula
dN
 m 
 4 

N0
 2kT 
Bolcmanova konstanta
3/ 2
e
mv 2

2 kT
 v 2  dv
molarna masa gasa
dN
 M 
 4 

N0
 2RT 
3/ 2
e

Mv 2
2 RT
 v 2  dv
ukupan broj molekula
deo od ukupnog broja molekula koji imaju brzine od v do
v  dv
F(v) kao funkcija raspodele brzina molekula
gustina te verovatnoće odnosno
verovatnoća po jedinici intervala
brzine
verovatnoća da molekuli imaju brzinu između
i
dN / N 0
Raspodela molekula po brzinama
-većina molekula ima brzine koje leže unutar ograničenog područja brzina, dok relativno mali
broj molekula ima vrlo male ili vrlo velike brzine
-površina ispod čitave krive jednaka je ukupnom broju prisutnih molekula sa svim mogućim
brzinama
-verovatnoća da je v=0 je nula
-promenom temperature opšti izgled krive se ne menja ali porast temperature dovodi do
spuštanja maksimuma i njegovog pomeranja prema većim brzinama (konstantna površina ispod
krive). Isto se zapaža sa smanjenjem molarne mase.
-niži maksimum znači veći broj molekula sa većim brzinama
Raspodela O2 po brzinama na 0oC i P=1 bar
m/s
0-100
100-200
200-300
300-400
ΔN/N, %
1,4
8,1
16,1
21,5
m/s
400-500
500-600
600-700
700-800
ΔN/N, %
20,3
15,1
9,2
7,7
Bolcman je dopunio Maksvelovu teoriju, koja je sada poznata kao MaksvelBolcmanov zakon raspodele:
raspodela čestica (atoma, molekula, elektrona)
između skupa energetskih stanja bilo koje vrste
Ni  N0e

 i  0 
energije ta dva stanja
kT
broj čestica u najnižem, tj. osnovnom
energetskom stanju
broj čestica u bilo kom pobuđenom stanju
Ni  N0e

i
kT
ako se dogovorno uzme da se energija računa
od osnovnog stanja, koje se uslovno može uzeti
da je jednaka nuli

i
Bolcmanov faktor
kT
e
broj molekula sa nekom energijom brzo raste sa porastom energije i padom temperature
Kada energija raste Bolcmanov faktor opada a to znači da u sistemu ima malo molekula sa
velikim a mnogo sa malim sadržajem energije.
Vrste brzina
Prema kinetičkoj teoriji i Maksvelovoj raspodeli molekula po brzinama, za kretanje molekula
gasa mogu se definisati sledeće brzine:
•
najverovatnija brzina koja odgovara maksimumu na krivoj raspodele brzina
1/ 2
•
srednja brzina
v
 2kT 
vv  

 m 
1/ 2
 8kT 
v 

 m 
•
1/ 2
 2RT 


 M 
1/ 2
 8RT 


 M 
kvadratni koren srednjeg kvadrata brzine
1/ 2
vksk
vv
:
v
:
v ksk
 3kT 


m


vv
v ksk
ili v 2
sve brzine rastu sa porastom
temperature i smanjenjem
molekulske mase.
1/ 2
 3RT 


M


= 21 / 2 : 8 /  1 / 2 : 31 / 2 = 1,00 : 1,13 : 1,22

similar documents