Präsentation: Grundbegriffe Statistik Leistungsmessung

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Arithmetisches Mittel und Median
In der Mathematik gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten, mit Hilfe derer man Messwerte
(z. B. bei einem Test erzielte Punktzahlen) zu analysieren, zu beurteilen und für die weitere
Verarbeitung (z. B. Zuweisung von Noten) aufzubereiten versucht.
Einen Teil davon können Sie (vorerst) vergessen ...
 Mittelwert (arithmetisches Mittel)
... mit anderen jedoch müssen Sie sich
auseinandersetzen.
 Median
 Modus
 Varianz
 Standardabweichung
 Quartile
 harmonisches Mittel
 geometrisches Mittel
 ...
Arithmetisches Mittel und Median
Ein Beispiel:
7„Probanden“ haben bei
einem Test folgende
Punktzahlen erzielt...
Der Mittelwert (das arithmetische Mittel) ist
Um den Median zu ermitteln, sortieren Sie die Messergebnisse der Größe nach, also
Der Median ist das Punktergebnis des in der sortierten
Verteilung in der Mitte liegenden Probanden,
also gleich 18.
Die „Hälfte“ der Werte liegt darunter und die „Hälfte“
darüber
(bei einer geraden Zahl von Probanden nimmt man die beiden um
die Mitte liegenden Messergebnisse und bildet den Mittelwert
daraus).
Ändert man in der obigen Verteilung einen Zahlenwert, z. B. statt 10 nur 3 Punkte,
dann ändert sich der Mittelwert in ca. 19,3; der Median bleibt aber derselbe.
Das arithmetische Mittel (Mittelwert)
Der Mittelwert einer Punkte- oder Notenverteilung wird in der schulischen Praxis überbewertet und
auch oft missbraucht.
Testen Sie selbst: Eine Klassenarbeit habe den Notenschnitt 3,25; was können Sie aufgrund dieser
Information über die KA aussagen?
Ein kleines (in der Literatur oft zu findendes) Beispiel:
In einer Firma verdienen 8 Mitarbeiter je 1.000 € und der Chef 10.000 € im Monat.
Der Mittelwert ist 2.000 €; was glauben Sie werden die Mitarbeiter sagen, wenn sie hören, in ihrer Firma werde im Schnitt 2.000 €
pro Monat verdient?
Der Median ist 1.000 €. Bei dieser Verteilung wäre er sehr viel besser als der Mittelwert geeignet, den tatsächlichen Sachverhalt
treffend zu beschreiben.
Aber es gibt noch weitere eklatante Dilemmata:
Diese beiden völlig unterschiedlichen
Notenverteilungen haben denselben
Durchschnitt von 3,42.
Um die Notenverteilung oder auch
Rohpunkteverteilungen beurteilen zu
können, benötigen Sie sogenannte
„Streuungsmaße“ wie die
Standardabweichung.
Aufgabenanalyse
Sie erinnern sich:
Um Standards in der Bewertung von Schülerleistungen sicherzustellen, bedarf es der Beachtung der
Gütekriterien...
Des Weiteren gilt es, die verwendeten Aufgabenapparate einer genaueren Betrachtung zu
unterziehen, und zwar hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades und der Trennschärfe.
Zu leichte oder zu schwere Aufgaben tragen zu wenig oder nichts dazu
bei, ein vorhandenes Leistungsgefälle (Ranking) abzubilden.
Anerkannter Standard ist:
Aufgaben sollen von mindestens 20% und von höchstens 80% der
Schülerinnen und Schüler bewältigt werden.
Die „Bepunktung“ einer Aufgabe muss mit ihrem Schwierigkeitsgrad korrelieren, wobei in erster
Linie nicht die Einschätzung der Lehrkraft, sondern eben das faktische Testergebnis bestimmend sein
sollte.
Es ist eine simple Logik, dass eine Aufgabe von den guten Schülerinnen
und Schülern besser gelöst werden muss als von den schlechten.
Trifft das nicht zu, dann ist der Wurm drin.
Das Problem ist nicht so sehr das Auszählen, wie viele Schülerinnen und Schüler der
Untergruppe und der Obergruppe die Aufgabe gelöst haben, sondern die Zuordnung zu der
jeweiligen Gruppe, die ja eigentlich nicht aus den zurückliegenden, sondern aus den aktuellen
Leistungen erwachsen muss.
Mithilfe einer Tabellenkalkulation (Excel o. Ä.) kann das aber dynamisch mit vertretbarem
Aufwand aus den aktuellen Ergebnissen heraus ermittelt werden.
Aufgabentableau
Für jeden Probanden...
... wird zu jeder Aufgabe...
... die erreichte Punktzahl eingetragen.
Aufgabentableau
Daraus wird die jeweilige
Punktsumme errechnet...
.. und die Lösungsquote.
... und damit jeder Proband der
Ober- oder Untergruppe zugeordnet.
Im Zuge der Eintragungen wird dies
ständig aktualisiert.
Es wird der Median der
Punktsummen berechnet...
... nach erfolgter O/U-Zuordnung
werden bei jeder Aufgabe die
Punktsummen der Ober- und der
Untergruppe ermittelt...
Aufgabentableau
... und daraus dann ein Wert zwischen ‒1
und +1 für die Trennschärfe.
Positiv sind die Werte, wenn die
Obergruppe die Aufgabe besser gelöst hat,
negativ beim Gegenteil (oder Null wenn
gleich gut gelöst).
Zur Erläuterung:
Um die Trennschärfe bei allen Aufgaben vergleichen zu können, wird die Punktdifferenz O ‒ U zur
Punktsumme O + U in Beziehung gesetzt.
Am Beispiel der Aufgabe I: (77,0 ‒ 43,5)/(77,0 + 43,5) = 33,5/120,5 ≈ 0,28 ≈ 0,3
Das ergibt stets einen Wert kleiner oder gleich +1 und größer oder gleich ‒1; ist er negativ, dann
war die Untergruppe besser ... womit wir beim Wurm wären.
Standardabweichung
Sie erinnern
sich...
SD ≈ 1,18
Mittelwerte sagen nichts aus über die Verteilung von Daten.
Dafür benötigt man ein Maß für die Streuung, z. B. die
Standardabweichung.
Wenn Sie zu diesem Begriff googeln....
SD ≈ 1,47
... nicht erschrecken, es ist viel einfacher als Sie denken!
Sie müssen das nicht von Hand ausrechnen (können), das macht
eine Tabellenkalkulation für Sie ratzfatz.
Aber Sie müssen verstehen, was dahintersteckt.
Standardabweichung
Wir nehmen dazu die Punktsummen aus dem Aufgabentableau mit 22 Probanden:
Aufsteigend sortiert sieht das so aus...
... aber das brauchen wir nicht, jedoch können Sie damit den
Median abschätzen.
Richtig! Er ist ungefähr 56,8.
Für den Mittelwert bemühen wir Excel: Ø ≈ 55,7
Standardabweichung
Aber kommen wir nun zum Phänomen „Abweichung“.
Wir berechnen für jeden Probanden seine Abweichung vom Mittelwert
Ø ≈ 55,7, also Punktwert minus Mittelwert.
Diese Abweichung ist positiv oder negativ, was hinderlich ist, wenn wir
jetzt den Durchschnitt dieser bilden wollen.
Deswegen nehmen wir dafür nur den Betrag (ohne Vorzeichen)...
... und berechnen daraus den Mittelwert:
Die Probanden weichen im Durchschnitt um 11,4 Punkte vom
Mittelwert ab.
Dieser Wert wäre ein mögliches Maß für die „Streuung“.
Standardabweichung
Die Mathematiker machen das raffinierter:
Sie quadrieren die Abweichungen (damit alle Zahlen positiv werden)...
... und berechnen den Durchschnitt dieser Abweichungsquadrate (er
beträgt 210,3) und ziehen daraus wieder die Wurzel (machen also in
gewisser Weise das Quadrieren wieder „rückgängig“).
Man erhält damit ca. 14,5.*)
Dieser Wert ist ein weiteres mögliches Maß für die „Streuung“.
Da diese Technik „Standard“ sein soll, nennt man sie
Standardabweichung.
Glückwunsch!
Sie haben jetzt schon mehr als nur eine Ahnung
von Standardabweichung.
Werden Sie gefragt, was das denn sei, dann
antworten Sie...
*) Das ist natürlich nicht exakt dasselbe wie unsere vorige Technik, weil der Mittelwert von Zahlen rechnerisch
nicht dasselbe ist wie die Wurzel aus dem Mittelwert der Quadrate dieser Zahlen.
Standardabweichung
Sie sagen...
„Die Standardabweichung?
Ganz einfach:
Das ist die Wurzel aus dem Durchschnitt der
quadrierten Abweichungen vom
Punktdurchschnitt!“
Ø ≈ 55,7
Ø ≈ 210,3
Notenzuweisung mittels Standardabweichung
Zunächst ein kleiner Exkurs zur ...
§ 53
Leistungsbeurteilung
(1) Leistungen werden nach dem
Grad des Erreichens von
Lernanforderungen beurteilt. Die
Beurteilung berücksichtigt den
individuellen Lernfortschritt der
Schülerinnen und Schüler, ihre
Leistungsbereitschaft und auch die
Lerngruppe, in der die Leistung
erbracht wird.
Somit sind in der SchO drei „Normen“ für die Bewertung
aufgetragen:
• die objektive Norm (am Sachanspruch gemessen)
• die intrasubjektive Norm (an Vorleistungen gemessen)
• die intersubjektive Norm (an den Leistungen der Lerngruppe
gemessen)
Bei Klassenarbeiten, schriftlichen Überprüfungen und schriftlichem Abfragen der Hausaufgaben
bietet die Standardabweichung eine gute Möglichkeit, Punkteverteilungen in Noten zu transferieren,
wobei sowohl die objektive als auch die intersubjektive Norm Beachtung finden.
Notenzuweisung mittels Standardabweichung
Zu erreichen waren 85 Punkte. Der Punktdurchschnitt ist 55,7.
Die Standardabweichung ist 14,8 Punkte.
SD ≈ 14,8
Die 22 Probanden haben die Ergebnisse ↑ erzielt.
Anmerkung zur Standardabweichung:
Zuvor hatten wir SD ≈ 14,5 errechnet, mit gerundeten Werten.
SD ≈ 14,8 ist der von Excel mit der dort verwendeten Routine und Genauigkeit ermittelte Wert.
Notenzuweisung mittels Standardabweichung
Sie weisen dem Notendurchschnitt eine Note zu.
In der Regel, weil es die „mittlere Leistung“ ist, die mittlere, also 3,5 (intersubjektive
Norm = die Lerngruppe liefert den „Maßstab“).
Hier greift aber auch die objektive Norm, der Sachanspruch.
Der Punktdurchschnitt 55,7 entspricht in unserem Beispiel 65,5 % der
Maximalpunktzahl, also....???... Entscheiden wir uns (vorerst) für 2,5.
= 2,5
SD ≈ 14,8
Notenzuweisung mittels Standardabweichung
Die Standardabweichung liefert das Maß für die Länge der Notenintervalle.
Beachten Sie unbedingt:
Die Notenspannen müssen äquidistant sein
(sich aus Rundungen ergebende Unterschiede sind statthaft).
Nur bei den Randnoten „1“ und „6“ sind Abweichungen erlaubt.
= 2,5
SD ≈ 14,8
Notenzuweisung mittels Standardabweichung
Die Änderung der Notenzuweisung zum Punktdurchschnitt bedeutet nichts anderes
als eine Verschiebung der Notenintervalle.
Wenn wir das von 2,5 in 3,0 ändern...
= 2,5
3,0
SD ≈ 14,8
Notenzuweisung mittels Standardabweichung
Eine (in Maßen) erlaubte Operation ist auch das gleichmäßige Strecken oder
Stauchen der Notenintervalle (die Äquidistanz muss erhalten bleiben).
Beispielsweise mit dem Faktor 0,75 (Stauchung)...
(aus Gründen der Veranschaulichung wurde ein „brutaler“ Wert genommen; normal
wäre ein Faktor nahe bei 1,0).
= 2,5
SD ≈ 14,8

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