Prueba de Hipótesis y estimación

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Prueba de Hipótesis y estimación
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
Inferencia Estadística
Estimación de un parámetro
poblacional a través de un
estadístico muestral
Inferencia
Estadística
Estimación
Puntual
Intervalos
de
confianza
Prueba de Hipótesis
Rechazo o no rechazo de una afirmación
respecto de un parámetro poblacional, a través
de una muestra
Prueba de Hipótesis - Ejemplos
El gerente de operaciones toma muestras cada dos horas de
botellas de jugos que están siendo llenadas para comprobar
si el contenido promedio de las mismas es de 32 onzas.
Formula una hipótesis en la dirección del status quo:
“El contenido promedio de las botellas es de 32
onzas”
En base a la información de la muestra se tomará la decisión
de rechazar o no la hipótesis. Rechazará en caso la media
muestral esté “muy alejada” de las 32 onzas, caso contrario
mantendrá el supuesto que la media poblacional es de 32
onzas. Esto es, le da el beneficio de la duda al status quo.
Prueba de Hipótesis - Ejemplos
Para el lanzamiento de una nueva droga al mercado se
requiere la aprobación del FDA. Se requiere una
validación de que la droga es segura y efectiva, lo cual
debe efectuarse en base a información muestral. La FDA
prefiere correr el riesgo de rechazar una droga efectiva y
segura, antes que aceptar como segura y efectiva una
droga que no lo es; formula su hipótesis en esa dirección,
la cual asume como el status quo:
“La droga no es ni segura ni efectiva”
En base a la data muestral tomará su decisión sobre
rechazar o no la hipótesis.
Prueba de hipótesis - Ejemplos
• En el sistema legal se da el beneficio de la duda al
acusado, para lo cual se formula la hipótesis en esa
dirección, la cual se considera el status quo:
“El acusado es inocente”
En base a las pruebas y evidencia el jurado y el juez
deberán de rechazar o no esta hipótesis. Se debe
concluir que “más allá de una duda razonable” el
acusado cometió el crimen, rechazando la hipótesis. Si
la evidencia no es suficientemente fuerte, no se
rechazará la hipótesis de inocencia.
Esta sesión introduce los conceptos básicos en la
elaboración de prueba de hipótesis. Los cuales
servirán de base para el desarrollo de diferentes
técnicas de pruebas de hipótesis de sesiones
posteriores.
Objetivos
Formular hipótesis nulas y alternativas concernientes
a la media o proporción de una población.
Saber qué es el error Tipo I y Tipo II.
Formular una regla de decisión para probar una
hipótesis.
Saber cómo usar un estadístico de prueba, valor
crítico y valor-p para rechazar o no una hipótesis
nula.
Calcular la probabilidad de un error Tipo II.
¿Qué es Prueba de Hipótesis?
Es una técnica de inferencia estadística.
-Permite el análisis de afirmaciones respecto de parámetros
de la población, en base a estadísticos muestrales.
Un método analítico para la toma de decisiones.
A través de la recolección de evidencia estadística, un enunciado
acerca de una población puede ser rechazado o no
-Debe haber suficiente evidencia para rechazar el enunciado,
en caso contrario no se rechaza.
Un proceso que incorpora el error muestral
-Considerando el error muestral, nunca probamos algo al
100%.
¿Qué es Prueba de Hipótesis?
• Toda información muestral está sujeta a error muestral,
por lo tanto el análisis de una afirmación respecto de un
parámetro poblacional no puede basarse en la simple
comparación de un valor (proveniente de la afirmación)
con su correspondiente estadístico muestral.
• Se requiere de un procedimiento que incorpore el error
muestral potencial.
¿Qué es Prueba de Hipótesis?
• Las pruebas de hipótesis estadísticas proporcionan un
método analítico estructurado para el análisis de estas
afirmaciones, controlando, o midiendo, los errores que
se pueden cometer. No pueden eliminar la
incertidumbre ni la posibilidad de error, pero si el
control del nivel de los mismos.
• Las técnicas que a continuación se presentan asumen
información obtenida en base a muestras recolectadas
según apropiados procesos estadísticos, así como que la
data es de intervalo o de razón.
¿Qué es una Hipótesis?
• Una hipótesis es un enunciado
(supuesto) respecto a un
parámetro (población):
– Media poblacional
Ejemplo: La media de las cuentas mensuales de celulares en una ciudad es µ = $42
– Proporción poblacional
Ejemplo: La proporción de adultos con
celulares en esa ciudad es π = 0.68
9-11
• En la prueba de hipótesis se formulan dos hipótesis:
– La Hipótesis Nula:
– La Hipótesis Alternativa:
H0
HA
En base a la data muestral se rechaza o no se rechaza
la H0. HA se estima como cierta si se rechaza H0
La Hipótesis Nula, H0
• Establece el supuesto o enunciado al cual se le
desea dar el beneficio de la duda.
Ejemplo: El número promedio de televisores en
los hogares de US. es al menos 3:
H0 : μ  3
• Es siempre respecto a un parámetro
(población), y no respecto a un estadístico
(muestra)
H0 : x  3
H0 : μ  3
La Hipótesis Nula, H0
(continuación)
• Se empieza asumiendo que la hipótesis nula es
verdadera.
– Similar a la noción de inocencia hasta que la
culpabilidad sea probada.
• Referido al status quo.
• Siempre contiene el signo “=” , “≤” o “”
• Puede ser o no rechazada.
– Basada en la evidencia estadística recolectada
La Hipótesis Alternativa, HA
• Es el opuesto de la hipótesis nula
– ej.: El número promedio de televisores en los
hogares de U.S. es menor que 3 ( HA: µ < 3 )
• Desafía al status quo.
• Nunca contiene los signos “=” , “≤” o “”.
• Puede ser o no “aceptada”.
• Es generalmente la hipótesis que es presumida correcta
(apoyada por el investigador, lo que debe ser “demostrado”)
es la llamada hipótesis de investigación.
Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis
• La compañía Ford ha trabajado para reducir el
ruido de carretera en la cabina de la camioneta
rediseñada F150. Además desea anunciar en
su publicidad que la camioneta es más
silenciosa. El promedio en el diseño original
fue de 68 decibeles en 60 mph.
¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?
Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis
Ford Motor Company ha trabajado para reducir el
ruído de carretera en la cabina de la camioneta
rediseñada F150. Además desea anunciar en su
publicidad que la camioneta es más silenciosa. El
promedio en el diseño original fue de 68 decibeles en
60 mph.
¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?
Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis
(continuación)
¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?
H0: µ ≥ 68 (la camioneta no es silenciosa) status
quo
HA: µ < 68 (la camioneta es silenciosa) se desea
probar
Si la hipótesis nula es rechazada, Ford tiene suficiente
evidencia para respaldar que la camioneta es más
silenciosa.
Se le da el beneficio de la duda a lo que se toma como
status quo.
Ejemplo 2: Formulación de Hipótesis
El ingreso promedio anual de los compradores de
las camionetas Ford F150 se considera que es
$65,000. Se le desea dar el beneficio de la duda a
este enunciado.
¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?
Ejemplo 2: Formulación de Hipótesis
(continuación)
• ¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?
H0: µ = 65,000 (es lo considerado) status quo
HA: µ ≠ 65,000 (es diferente a lo considerado)
• El analista creerá en lo considerado, a menos que
encuentre evidencia suficiente para desacreditar
esto.
Formulación de Hipótesis
• La hipótesis alternativa carga con el peso de la prueba. En
ese sentido, generalmente, en investigación lo que se
quiere probar constituye la hipótesis alternativa y suele
recibir la denominación de la Hipótesis de Investigación.
• Ejemplo. Goodyear ha desarrollado un nuevo neumático
que aduce tiene una mayor durabilidad que el de la
competencia que, en promedio, se sabe que dura 60,000
millas de uso. El peso de la prueba pasa a ser que el nuevo
neumático dura más de 60,000 millas, por lo tanto las
hipótesis se plantean así:
Formulación de Hipótesis
H0: El nuevo neumático, en promedio, dura igual o
menos de 60,000 millas
HA: El nuevo neumático dura más de 60,000 millas
(Hipótesis de Investigación)
Solo si la data muestral produce una media muy
superior a las 60,000 millas se aceptará la hipótesis de
investigación.
Errores en la Toma de Decisiones
Tres resultados para una prueba de hipótesis:
1. No hay error en la decisión.
2. Error tipo I.
3. Error tipo II.
Errores en la Toma de Decisiones
• Error Tipo I
– Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.
– Considerado como un error grave.
• La probabilidad del Error Tipo I es 
– Llamado nivel de significancia de la prueba.
– Fijado por el investigador al inicio de la prueba.
Errores en la Toma de Decisiones
• Error Tipo II
– No rechazar (aceptar) la hipótesis nula
cuando es falsa.
La probabilidad del Error Tipo II es β
– β es un valor calculado, la fórmula será
discutida posteriormente.
Pruebas de HIPóTESIS
REALIDAD
RESULTADO DE LA PRUEBA
H0 cierta
No Rechazo H0
H0 Falsa
Correcto
Error Tipo II
El producto tiene acogida
en el mercado, y resulta un
éxito.
El producto no tiene
acogida, y se
comercializa.
Probabilidad
Rechazo H0
Acepto Ha
β
Error Tipo I
Correcto
El producto tiene potencial,
pero no se comercializa.
El producto no tiene la
acogida suficiente, y
no se comercializa.
Probabilidad α
Proceso de Prueba de Hipótesis
Supuesto: Se cree que edad media
poblacional es 50.
Hipótesis Nula:
H0: µ = 50
Población
Seleccionar una muestra aleatoria:
Muestra
Supongamos que la
edad media muestral
es 20: x = 20
¿Es x = 20
probable
si µ = 50?
Si no es probable,
RECHAZAR
Hipótesis Nula
Razón para Rechazar la H0
Distribución Muestral de x
20
Sería poco
probable obtener
una media
muestral de este
valor...
x
μ = 50
Si H0 es
verdadera
... si en realidad este valor
fuera la media poblacional…
... entonces
rechazamos la
hipótesis nula
(μ = 50)
Resultados y Probabilidades
Resultados Posibles de Prueba de
Hipótesis
Escenario
Decisión H0 Verdadera
Leyenda:
Resultado
(Probabilidad)
No
Rechazar
H0
Rechazar
H0
Grave
No error
(1 -  )
Error Tipo I
( ) 
H0 Falsa
Error Tipo II
(β)
No Error
(1-β)
Potencia de la prueba
Decisiones
• Si la hipótesis nula no se rechaza, muchos
profesionales de la estadística argumentan que no se
debe usar la frase “se acepta la hipótesis nula”, dado
que la prueba no puede ser así de concluyente, lo
único que se tiene es que la data muestral no ha
permitido rechazar la hipótesis nula, pero no dice nada
respecto de su validez.
• Sin embargo, en muchas situaciones el no rechazo de la
prueba nula implica una decisión que, implícitamente,
implica la aceptación de su validez.
Error Tipo I y Tipo II: Relación
 El error Tipo I y Tipo II no pueden suceder al
mismo tiempo
Error Tipo I puede ocurrir solamente si H0
es verdadera

Error Tipo II puede ocurrir solamente si H0
es falsa

Si la probabilidad del error tipo I ()
, en-
tonces la probabilidad del error tipo II (β)
Factores que Afectan el Error
Tipo II
• Manteniendo todo lo demás igual,
– β
cuando la distancia entre el supuesto
parámetro y su valor verdadero
– β
cuando 
También se tiene:
– β
cuando σ
– β
cuando n
La fórmula usada para
calcular el valor de β
será discutida
posteriormente
Nivel de Significancia α y Valor Crítico
• Considere la siguiente prueba de hipótesis:
H0:
μ ≤ 25 días
HA:
μ > 25 días
La prueba de hipótesis se basa en la media muestral
:
– Valores de  menores o iguales a 25 días tenderán
a dar sustento a H0.
– Valores de  por encima de los 25 días tenderán a
rechazar H0
Nivel de Significancia α y Valor Crítico
Pero se sabe que se tiene error muestral, entonces a
partir de que valor de  se está dispuesto a no
rechazar H0 y a partir de qué valor se estará dispuesto
a rechazar H0.
Se requiere un punto de corte, que defina dos
regiones excluyentes y exhaustivas de rechazo y de
no rechazo.
Este punto de corte, denominado Valor Crítico, se
define en base a la definición de una probabilidad
máxima que se está dispuesto aceptar para cometer
el Error tipo I. Esta probabilidad recibe el nombre de
Nivel de Significancia de la prueba α.
Nivel de Significancia α y Valor Crítico
Distribución Muestral de x
Nivel de Significancia α
Prob. cometer Error Tipo I = α
H0: μ ≤ 25
HA: μ > 25
x
μ = 25
Punto de Corte:
Valor Crítico
Nivel de Significancia, 
• Define valores poco probables para el
estadístico si la hipótesis nula es verdadera
– Define la región de rechazo de la distribución
muestral.
• Es identificado por , (nivel de significancia)
– Los valores típicos son 0.01, 0.05, ó 0.10.
• Es establecido por el investigador al inicio.
• Proporciona valor(es) crítico(s) para la prueba.
Hipótesis Nula de Igualdad
H0: μ = 3
HA: μ  3
Si ͞x resulta extremo,
superior a ͞xmax o inferior
a ͞xmin, entonces
rechazar H0 y considerar
HA como cierta
Rechazar H0
͞xmin
-zmin
No rechazar H0
µ=3
0
Rechazar H0
͞xmax
zmax
Hipótesis Nula de Desigualdad
Construcción de la
prueba
H0: μ ≥ 3

HA: μ < 3
Prob deseada de
rechazar H0
Rechazar H0
Aplicación real de la prueba
Uso de xmin
da menor Prob de rechazar H0
Postura conservadora en
términos de rechazar el status
quo
Error Tipo I menor que lo
especificado.
No rechazar H0
͞xmin
µ=¿3?
Suponga
μ = 3.5
Menor
α
Rechazar H0
͞xmin
9-40
No rechazar H0
µ=3.5
Pruebas de Hipótesis para la Media
Pruebas de
Hipótesis para 
σ conocida
σ desconocida
• Asumir inicialmente que la desviación
estándar poblacional σ es conocida
Caso a considerar:
• Caso de σ conocida
• Distribución normal de la media muestral
– Población con distribución normal
– Tamaño de muestra que permite la aplicación del
Teorema de Límite Central ( n ≥ 30 )
Procedimiento General
Se formulan las hipótesis nula y alternativa:
• La hipótesis nula contiene una afirmación sobre la media poblacional μ
• Se toma como cierta la hipótesis nula y se considera la distribución
muestral de la media en base a μ y σ/√n
• En base a la curva normal estandarizada se encuentra el valor o valores
críticos que definirán la región de rechazo:
zα, -zα, o zα/2 y -zα/2
• Se toma la muestra y se calcula el estadístico de la prueba, el cual se
transforma a valor z y se ve si cae o no en la región de rechazo.
Procedimiento General
Nivel de Significancia y Región de
Rechazo
Nivel de significancia = 
Prueba unilateral izquierda
Ejemplo:
H 0: μ ≥ 3
HA: μ < 3
Ejemplo:
Ejemplo:
H 0: μ ≤ 3
HA: μ > 3
H0: μ = 3
HA: μ ≠ 3


-zα
Rechazar H0
0
No rechazar H0
Prueba bilateral
Prueba unilateral derecha
0
No rechazar H0
zα
Rechazar H0
 /2
/2
-zα/2 0 zα/2
Rechazar H0 No rechazar H0
Rechazar H0
Valor Crítico para Prueba Unilateral
Izquierda

H0: μ ≥ 3
El valor de corte,-zα o xα ,
HA: μ < 3
es llamado valor crítico

Basado en 
Rechazar H0
x   μ  z
σ
n
-zα
xα
No rechazar H0
0
µ=3
Valor Crítico para Prueba Unilateral
Derecha

El valor de corte, zα o xα ,
H0: μ ≤ 3
es llamado valor crítico
HA: μ > 3

No rechazar H0
zα
0
µ=3
x   μ  z
xα
σ
n
Rechazar H0
Valores Críticos para Prueba Bilateral

Hay dos valores de
corte (valores críticos):
± zα/2
o
xα/2
xα/2
H0: μ = 3
HA: μ  3
/2
/2
Inferior
Rechazar H0
Superior
-zα/2
xα/2
No rechazar H0
0
µ=3
Inferior
x /2  μ  z/2
Rechazar H0
zα/2
xα/2
σ
n
Superior
Dos Técnicas Equivalentes para
Probar Hipótesis
• Considerando Z:
– Dado , calcular el(los) valor(es) crítico(s) z:
• -zα o zα ,o ±zα/2
– Convertir la media x a z (estadístico de prueba):
– Rechazar H0 si z está en la región de rechazo,
en otro caso no rechazar H0
x μ
z 
σ
n
• Considerando x:
– Dado , calcular el(los) valor(es) crítico(s):
• xα o xα/2(Inf.) y xα/2(Sup.)
– La media muestral es el estadístico de prueba. Rechazar H0 si x está en
la región de rechazo, en otro caso no rechazar H0
Proceso de Prueba de Hipótesis
1. Especificar el parámetro (población) de interés.
2. Formular la hipótesis nula y alternativa.
3. Especificar el nivel de significancia deseado, α.
4. Definir la región de rechazo.
5. Tomar una muestra aleatoria y determinar si el
estadístico de prueba está en la región de
rechazo.
6. Tomar una decisión e interpretar el resultado.
Prueba de Hipótesis: Ejemplo
Probar el enunciado que el número medio
de televisores en los hogares de US. es al
menos 3. (Asumir σ = 0.8)
1. Especificar el parámetro poblacional de interés
 El número medio de televisores en los hogares
de US.
2. Formular la hipótesis nula y alternativa
 H0: μ  3
HA: μ < 3 (Prueba Unilateral Izquierda)
3. Especificar el nivel de significancia deseado
 Suponer que se elige  = 0.05
Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación)
• 4. Determinar la región de rechazo
 = .05
Rechazar H0
-zα= -1.645
No rechazar H0
0
Es una prueba unilateral con  = 0.05.
Dado que σ es conocida, el valor de corte es un valor z
Rechazar H0 si z < z = -1.645; caso contrario no rechazar H0
Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación)
• 5. Tomar una muestra aleatoria y calcular el estadístico
de prueba.
Supongamos que el tamaño de la muestra es 100 y
su media es: x = 2.84
( = 0.8 es conocida)
– Entonces el estadístico de prueba es:
x μ
2.84  3  .16
z 


  2.0
σ
0.8
0.08
n
100
Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación)
• 6. Tomar una decisión e interpretar el resultado
 = .05
z
Rechazar H0
-1.645
-2.0
No rechazar H0
0
Dado que z = -2.0 < -1.645, rechazamos la hipótesis
nula que el número medio de televisores en los hogares
de U.S. es al menos 3. Hay suficiente evidencia que el
número medio es menos de 3.
Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación)
• Otra técnica equivalente de construir la región de rechazo:
Ahora expresado
en unidades de x
y no de z
 = .05
x
Rechazar H0
2.8684
2.84
Como x = 2.84 < 2.8684,
rechazamos la hipótesis
nula
No rechazar H0
3
x α  μ  zα
σ
0.8
 3  1.645
 2.8684
n
100
Prueba de Hipótesis
a través del valor p
Valor p: Ejemplo
• Ejemplo: ¿Cuán probable es obtener
una media muestral de 2.84 (o menor a
esta) si la media poblacional es   3?
P(x  2.84)
 = 0.05
valor p =0.0228



2.84 3.0 
 P z 

0.8


100 

 P(z  2.0)  0.0228
2.8684
2.84
-1.645
-2.00
3
x
0
Z
Valor p: Ejemplo
(continuación)
• Compare el valor p con 
– Si valor p <  , rechazar H0
– Si valor p   , no rechazar H0
 = 0.05
Aquí: valor p = 0.0228
 = 0.05
valor p = 0.0228
Como 0.0228 < 0.05,
rechazamos la hipótesis nula
2.8684
9-58
2.84
3
Prueba de Hipótesis a través del
valor p
• Convertir el estadístico (x) al estadístico de
prueba (valor z, si σ es conocida)
• Determinar el valor p de una tabla o
computadora
• Comparar el valor p con 
– Si el valor p < , rechazar H0
– Si el valor p  , no rechazar H0
Prueba de Hipótesis a través del
valor p
(continuación)
• Valor p: Probabilidad de obtener una prueba
estadística igual o más extrema que el valor
del estadístico (muestra) observado dado que
H0 es verdadera.
– Llamado también nivel de significancia observado.
– El menor valor de  para que H0 pueda ser
rechazada.
Prueba de Hipótesis a través del
valor p
(continuación)
• Da un nivel de significancia al resultado de la
prueba de hipótesis.
• Informa más que un simple rechazo.
• Puede determinar con qué seguridad se
“rechaza” o “no rechaza” la H0.
• Mientras más distante sea el valor p de , la
decisión es más segura.
Prueba Unilateral Derecha para la
Media ( conocida): Ejemplo
(continuación)
Un administrador de la industria de telecomunicaciones considera que la cuenta promedio
mensual de celulares se ha incrementado, y es
mayor a $52. Se desea probar este enun-ciado.
(Asumir  = 10 es conocida)
Formulando las hipótesis:
H0: μ ≤ 52
el promedio no es mayor que $52
HA: μ > 52
el promedio es mayor que $52
Prueba Unilateral Derecha para la
Media ( conocida): Ejemplo
(continuación)
Hallando la región de rechazo:
Para esta prueba se eligió  = 0.10
Rechazar H0
 = 0.10
No rechazar H0
0
Rechazar H0
zα
Rechazar H0 si z > zα
Prueba Unilateral Derecha para la
Media ( conocida): Ejemplo
(continuación)
Hallando el valor crítico:
Dado  = 0.10. ¿Cuál es el valor z crítico?
0.90
0.10
 = 0.10
0.50 0.40
Tabla Z
Z
.07
.08
.09
1.1 .3790 .3810 .3830
1.2 .3980 .3997 .4015
z
0 1.28
valor z crítico
= 1.28
1.3 .4147 .4162 .4177
Prueba Unilateral Derecha para la
Media ( conocida): Ejemplo
(continuación)
Calculando el estadístico de prueba:
Obtener la muestra aleatoria y calcular el estadístico de
prueba
Supongamos que la muestra tomada presenta los
siguientes resultados: n = 64, x = 53.1(=10 conocida)
– El estadístico de prueba es:
x μ
53.1  52
z 

 0.88
σ
10
n
64
Prueba Unilateral Derecha para la
Media ( conocida): Ejemplo
(continuación)
Tomando una decisión e interpretando el resultado:
Rechazar H0
 = 0.10
No rechazar H0
1.28
0
z = 0.88
Rechazar H0
No rechazar H0 dado que z = 0.88 ≤ 1.28 = zα
No hay suficiente evidencia para concluir que la cuenta
promedio mensual de celulares sea mayor a $52
Prueba Unilateral Derecha para la
Media ( conocida): Ejemplo
(continuación)
Probando a través del valor p:
Calcular el valor p y compararlo con 
valor p = 0.1894
Rechazar H0
 = 0.10
0
No rechazar H0
1.28
z = 0.88
Rechazar H0
P (x  53.1)



53.1 52.0
 P z 

10


64 

 P (z  0.88) 0.5  0.3106
 0.1894
No rechazar H0 dado que el valor p = 0.1894 >  = 0.10
Caso a considerar:
• Caso de σ desconocida
• Distribución normal de los valores de la
población
Pruebas de Hipótesis para μ, 
desconocida
• Cuando σ es desconocida, convertir el
estadístico (x) al estadístico de prueba t
Pruebas de
Hipótesis para 
 conocida
 desconocida
El estadístico de prueba es:
t n 1
(La población debe ser
aproximadamente normal)
x μ

s
n
Proceso de Prueba de Hipótesis para
μ,  desconocida
1.
2.
3.
4.
Especificar el valor del parámetro de interés.
Formular la hipótesis nula y alternativa.
Especificar el nivel de significancia deseado.
Determinar la región de rechazo (los valores
críticos corresponden a la distribution t con n-1
grados de libertad).
5. Obtener una muestra aleatoria y calcular el
estadístico de prueba.
6. Tomar una decisión e interpretar el resultado.
Prueba Bilateral para μ, 
desconocida: Ejemplo
El costo promedio de una
habitación (hotel) en Nueva
York es $168 por noche.
Una muestra aleatoria de
25 hoteles da x = $172.5 y s
= $15.4. Probar para  =
0.05.
(Asumir que la población tiene distribución normal)
H0: μ = 168
HA: μ  168
Prueba Bilateral para μ, 
desconocida: Ejemplo
Solución:
(continuación)
H0: μ = 168 HA: μ  168
 es desconocida, usar la distribución t
/2=0.025
/2=0.025
Rechazar H0
-tα/2
Valores críticos:
t24 = ± 2.0639
-2.0639
No rechazar H0
Rechazar H0
tα/2
0
1.46
2.0639
x μ
172.50  168

 1.46
s
15.40
n
25
No rechazar H0: No hay suficiente evidencia para concluir que el costo promedio
de una habitación (hotel) por noche en Nueva
York sea diferente de $168
9-72
t n 1 
Prueba de Hipótesis: Proporciones
• Se ha visto el tema de prueba de hipótesis respecto de la media de una
población, se dan casos en que lo que interesa analizar son hipótesis
respecto de la proporción de objetos de una población que satisfacen un
atributo.
• El atributo puede ser una variable categórica.
• Ejemplos:
– Proporción de artículos defectuosos por hora, en una línea de
ensamblaje, para decidir o no el ajuste de la misma.
– Evaluación del desempeño de los ejecutivos de ventas de seguros de
vida según la proporción de pólizas renovadas en un año.
Prueba de Hipótesis para
Proporciones
• Considera valores categóricos
• Dos posibles resultados
– “Éxito” (posee cierta característica)
– “Fracaso” (no posee esa característica)
• La fracción o proporción de la población
categorizada como “éxito” se denota por π
Proporciones
• La proporción muestral de éxitos es denotada
por:
p
x
Número de éxitos en la muestra

n
Tamaño de la muestra
• Cuando nπ y n(1- π) son mayores o iguales a
5, p se distribuye aproximadamente como
una normal con media y desviación estándar:
μp  π
π (1 π )
σp 
n
Pruebas de Hipótesis para
Proporciones
• La distribución
muestral de p es
normal, entonces el
estadístico de
prueba es z:
z
pπ
π (1 π )
n
Pruebas de
Hipótesis para π
nπ  5
y
n(1-π)  5
nπ < 5
o
n(1-π) < 5
No será
discutido
Prueba de Hipótesis para π: Ejemplo
Una empresa de investigación de mercado cree que
recibe como respues-ta el
8% de los correos que envía.
Para probar este enunciado,
se tomó una muestra
aleatoria de 500 y se obtuvo
25 respuestas. Además se
ha considerado  = 0.05.
Verificando:
n π = (500)(0.08) = 40
n(1-π) = (500)(0.92) = 460
Como son mayores a 5 se
asume distribución normal

Prueba de Hipótesis para π:
Ejemplo
(continuación)
Solución:
H0: π = 0.08 HA: π  0.08
 = 0.05 n = 500, p = 0.05
Rechazar
Rechazar
0.025
Valores críticos: ± 1.96
0.025
-1.96
0
1.96
z
Estadístico de prueba:
z
pπ

π(1 π)
n
0.05 0.08
 2.47
0.08(1 0.08)
500
Decision: Rechazar H0 para  = 0.05
Conclusión: Hay suficiente evidencia para concluir que la proporción
9-78
de respuestas a los correos
enviados es diferente de 8%
Prueba de Hipótesis para π:
Ejemplo
(continuación)
Solución (valor p):
Calcular el valor p y compararlo con 
(Para una prueba bilateral el valor p es siempre a dos colas)
Rechazar H0
No rechazar H0
/2 = 0.025
/2 = 0.025
0.0068
-1.96
z = -2.47
Rechazar H0
0.0068
0
1.96
z = 2.47
Obtención del valor p:
P(Z 2.47) P(Z 2.47) 2(0.5 0.4932) 2(0.0068) 0.0136
Rechazar H0 dado que el valor
p = 0.0136 <  = 0.05
9-79
Error Tipo II: β
• Error Tipo I
– Se comete cuando se rechaza H0 siendo esta cierta.
– Se define a través del nivel de significancia α, la probabilidad de rechazar H0 cuando esta
es cierta.
– El costo de cometer el Error Tipo I es un criterio para fijar el nivel de significancia.
¿Pero qué del error de no rechazar H0 siendo esta falsa?
• Error Tipo II: Prob(No rechazar H0 / H0 es falsa) = β
– A menor Error Tipo I, mayor Error Tipo II, sin embargo no son proporcionales, no suman 1.
– El costo de cometer este error también es un elemento en la determinación del nivel de
significancia.
– Para cada valor de α, y un valor dado al interior del rango definido por HA, se tendrá un
valor de β. Esto es, β es condicional al valor que se considere del rango definido por HA.
Error Tipo II
• El error tipo II es la probabilidad de no
rechazar la H0 cuando es falsa
Supongamos que no rechazamos H0: μ  52
cuando en realidad la media poblacional es μ = 50

50
Rechazar
H0: μ  52
52
No rechazar
H0 : μ  52
Error Tipo II
(continuación)
• Supongamos que no rechazamos H0:   52 cuan-do
en realidad la media poblacional es  = 50
Este es el rango de x donde
H0 no es rechazada
Esta es la verdadera
distribución para x
si  = 50
50
Rechazar
H0:   52
52
No rechazar
H0 :   52
Error Tipo II
(continuación)

Supongamos que no rechazamos H0:   52 cuando en realidad la media poblacional es  = 50
Aquí,
β = P( x  “valor crítico”) si μ = 50
β

50
Rechazar
H0: μ  52
52
No rechazar
H0 : μ  52
Pasos para Calcular b
1.
2.
3.
4.
Especificar el parámetro de interés.
Formular las hipótesis.
Especificar el nivel de significancia.
Determinar el(los) valor(es) crítico(s), prueba unilateral o
bilateral.
5. Especificar el valor estipulado del parámetro de interés.
6. Calcular el valor z considerando el valor estipulado del
parámetro.
7. Usar la tabla Z para hallar b
Calculando β
• Suponer n = 64 , σ = 6 y  = 0.05
Valor crítico  x  μ  z
(para H0 : μ  52)
σ
6
 52  1.645
 50.766
n
64
β = P(x  50.766) si μ = 50)

50
50.766
Rechazar
H0: μ  52
52
No rechazar
H0 : μ  52
Calculando β
(continuación)
• Suponer n = 64, σ = 6 y  = 0.05



50.766 50 
P( x  50.766) P z 
 P(z  1.02) 0.5 0.3461 0.1539

6


64 

Probabilidad
del error tipo II:
β = 0.1539

50
Rechazar
H0: μ  52
52
No rechazar
H0 : μ  52
Calculando β
• Ejemplo: American Lighting Company
American Lighting 1.pdf
Controlando α y β
• Una vez que se fija α, ya no se puede fijar β,
queda determinado para cada posible valor en
el rango de HA; para un tamaño de muestra
dado.
• Variando el tamaño de muestra se puede
influir sobre ambos valores: α y β
American Lighting 2.pdf
Β para una Prueba de Hipótesis de dos Colas
Billiard Ball.pdf
β para una Prueba de Hipótesis de Proporción
NFIB.pdf
Potencia de una Prueba de Hipótesis
• Se desea que b sea lo más pequeña posible
– Si la hipótesis nula es FALSA, entonces se deseará rechazarla
– Es decir, se desea que una prueba de hipótesis tenga alta
probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa
• La potencia de una prueba queda expresada
como:
Potencia = 1 - b
La potencia de la prueba indica la probabilidad de
rechazar una hipótesis nula dado que es falsa.
Potencia de una Prueba
American Lighting 3.pdf
•
Estimador Insesgado
Estimadores que producen estadísticos tales que el promedio de todos los
posibles valores muestrales (de muestras del mismo tamaño) de los mismos
coinciden con el parámetro de la población.
Ejemplo: La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
•
Estimador Consistente
Un estimador insesgado es un estimador consistente si la diferencia entre el
estimador y el parámetro tiende a cero conforme el tamaño de muestra se
agranda.
Ejemplo: la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional.
Resumen
• Se habló de la metodología de prueba de
hipótesis.
• Se trabajó pruebas de hipótesis para μ (σ
conocida), estadístico de prueba z.
• Se discutió la prueba de hipótesis a través de
la técnica del valor p.
• Se trabajó pruebas unilaterales y bilaterales.
9-94
Resumen
(continuación)
• Se trabajó pruebas de hipótesis para μ (σ
desconocida), estadístico de prueba t.
• Se trabajó pruebas de hipótesis para π,
estadístico de prueba z.
• Se discutió el error tipo II y se calculó su
probabilidad.
• Se revisó la potencia de una prueba.
9-95

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