4. Distribuciones de probabilidad

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4. Distribuciones de Probabilidad
• Probabilidad: Con una muestra aleatoria o
experimento aleatorio, la probabilidad que
una observación tome un valor en particular
es la proporción de veces que el resultado
ocurriría en una secuencia muy larga de
observaciones.
• Generalmente corresponde a la proporción
poblacional (y por lo tanto, cae entre 0 y 1) ya
sea para una población real o conceptual.
Reglas básicas de probabilidad
Sean A, B posibles resultados
• P(no A) = 1 – P(A)
• Para A y B, posibles resultados distintos
P(A o B) = P(A) + P(B)
• P(A y B) = P(A)P(B dado A)
• Para resultados “independientes”
P(B dado A) = P(B), entonces
P(A y B) = P(A)P(B)
Datos de GSS 2006
Income
Above Aver.
Average
Below Aver.
Total
Happiness
Very Pretty Not too
--------------------272
294
49
454
835
131
185
527
208
--------------------911
1656
388
Total
615
1420
920
2955
Sea A = average income, B = very happy
• P(A) estimada por 1420/2955 = 0.481 (“probabilidad marginal”),
P(no A) = 1 – P(A) = 0.519
• P(B dado A) estimada por 454/1420 = 0.320
(“probabilidad condicional ”)
• P(A y B) = P(A)P(B dado A) estimada por 0.481(0.320) = 0.154
(igual a 454/2955, “probabilidad conjunta”)
B1: una persona selec. aleatoriamente es “very happy”
B2: segunda persona selec. aleatoriamente es “very
happy”
• P(B1), P(B2) estimada por 911/2955 = 0.308
• P(B1 y B2) = P(B1)P(B2) estimada por
(0.308)(0.308) = 0.095
• Si, por otro lado, B2 se refiere a la pareja de la persona
B1, B1 y B2 probablemente no son independientes y
esta fórmula no es apropiada
Distribución de probabilidad de una
variable
• Lista de los posibles resultados de una
“variable aleatoria” y sus probabilidades
• Variable discreta: asigna probabilidades P(y) a
valores individuales y, con
0  P( y)  1, P( y)  1
Ejemplo
• Selecciona una muestra aleatoria de 3
personas y pregunta si están a favor (F) o en
contra (C) de un sistema de salud público
y = número a favor (0, 1, 2, ó 3)
• Para posibles muestras de tamaño n = 3,
Muestra
(C, C, C)
(C, C, F)
(C, F, C)
(F, C, C)
y
0
1
1
1
Muestra
(C, F, F)
(F, C, F)
(F, F, C)
(F, F, F)
y
2
2
2
3
• Si la población está igualmente dividida entre F y C,
estas ocho muestras son igualmente posibles y la
distribución de probabilidad de la variable aleatoria y
(el número a favor) es
y
0
1
2
3
P(y)
1/8
3/8
3/8
1/8
• (Caso especial de la “distribución binomial”, en Cap. 6)
• En la práctica, las distribuciones de probabilidad son
estimadas de datos muestrales y entonces tienen una
forma de distribuciones de frecuencias
Datos GSS
• Ejemplo: y = número de personas que conocen a
alguien que se haya suicidado en los últimos 12
meses (variable “suiknew”).
Distribución de probabilidad estimada es
y
0
1
2
3
P(y)
.895
.084
.015
.006
Media (valor esperado)
• Como las distribuciones de frecuencias,
distribuciones de probabilidad tienen medidas
descriptivas tales como media y desviación estándar
• Media (valor esperado)
  E(Y )   yP( y)
• µ = 0(0.895) + 1(0.084) + 2(0.015) + 3 (0.006) = 0.13
representa un “resultado promedio de una secuencia
larga”
(media = moda = 0)
Desviación estándar
• Desviación estándar – medida de una distancia
“típica” de un resultado de la media, denotada
por 
2
 = ( y   ) P ( y )
(No vamos a necesitar calcular esta fórmula)
• Si una distribución tiene aprox. forma de
campana, entonces:
– Toda o casi toda la distribución cae dentro del
intervalo µ - 3σ y µ + 3σ
– Probabilidad del 0.68 cae dentro de µ - σ y µ + σ
Ejemplo
• De un resultado más adelante en el capítulo, si n personas
son seleccionadas aleatoriamente de una población con
proporción  que favorece sistema de salud público (1- ,
se oponen), entonces
y = número de personas en la muestra que está a favor,
tiene una distribución de probabilidad con forma de
campana con
  E( y)  n ,   n (1   )
p. ej., con n = 1000,  = 0.50, obtenemos µ = 500, σ = 16
• Casi toda la distribución cae entre
500 – 3(16) = 452 y 500 + 3(16) = 548
• Es decir, casi seguro entre 45% y 55% de la muestra dirá
estar a favor de un sistema de salud pública
Variables continuas
• Variables continuas: probabilidades asignadas a
intervalos de números
• Ejemplo: Cuano y toma muchos valores, como en
el último ejemplo, se considera continua para
términos prácticos. Entonces, si la distribución de
probabilidad tiene aprox. forma de campana,
P(    y     )  0.68, P(  2  y    2 )  0.95
In previous example, P(     y     )  P(484  y  516)  0.68
• La distribución de probabilidad más importante
para variables continuas es la distribución
normal
Distribución normal
• Es simétrica y con forma de campana (fórmula en
Ejercicio 4.56)
• Se caracteriza por la media () y desviación
estándar (), representando el centro y la
dispersión
• La probabilidad dentro de un número particular
de desviaciones estándar de la media  es la
misma para todas las distribuciones normales
• Una observación individual de una distribución
aprox. normal tiene probabilidad
– 0.68 de caer a 1 desviación estándar de la media
– 0.95 de caer a 2 desviaciones estándar
– 0.997 de caer a 3 desviaciones estándar
Tabla A
• Tabla A da la probabilidad en la cola derecha arriba
de µ + zσ para varios valores de z.
Segundo decimal del valor de z
z .00
.01 .02 .03
.04 .05
.06 .07
0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721
…
…
1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708
1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582
...
...
.08 .09
.4681 .4641
.0694 .0681
.0571 .0559
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de caer entre
µ - 1.50σ y µ + 1.50σ ?
•
•
•
•
z = 1.50 tiene una prob. a la derecha = 0.0668
La prob. de la cola izq. = 0.0668 por simetría
La prob. se las dos colas = 2(0.0668) = 0.1336
Prob. entre µ - 1.50σ y µ + 1.50σ = 1 – 0.1336 = 0.87
Ejemplo: z = 2.0 da
• Prob. de las dos colas = 2(0.0228) = 0.046
• Probabilidad entre µ ± 2σ es 1 - 0.046 = 0.954
Ejemplo: ¿Qué valor-z corresponde al percentil-99? Es
decir, ¿qué valor-z resulta en µ + zσ = percentil-99?
• Probabilidad de la cola derecha = 0.01 tiene z = 2.33
• 99% cae abajo de µ + 2.33σ
Ejemplo: Si el coeficiente intelectual (IQ) tiene µ = 100, σ
= 16, entonces percentil-99%
µ + 2.33σ = 100 + 2.33(16) = 137
Nota: µ - 2.33σ = 100 – 2.33(16) = 63 es el percentil-1%
0.98 = probabilidad que IQ caiga entre 63 y 137
Ejemplo
¿Qué valor de z hace que el intervalo µ ± zσ incluya
exactamente el 95% de la curva normal?
• Probabilidad total en las dos colas = 0.05
• Probabilidad en la cola derecha = 0.05/2 = 0.025
• z = 1.96
µ ± 1.96σ contiene probabilidad 0.950
(µ ± 2σ contiene probabilidad 0.954)
Ejercicio: Intenta para 99%, 90%
(debes obtener 2.58, 1.64)
Ejemplo
Minessota Multiphasic Personality Inventory
(MMPI), basado en respuestas de 500 preguntas
de verdadero/falso, provee calif. para varias
escalas (p.ej., depresión, ansiedad, abuso de
sustancias), con µ = 50, σ = 10.
Si la distribución es normal y una calificación ≥ 65 es
considerada muy alta, qué porcentaje es éste?
• z = (65 - 50)/10 = 1.50
• Prob. de la cola derecha = 0.067 (menos que 7%)
Notas de valores-z
• Valor-z representa el número de desviaciones
estándar que un valor está de la media de la
distribución
• Un valor y está z = (y - µ)/σ desviaciones
estándar de µ
Ejemplo: y = 65, µ = 50, σ = 10
z = (y - µ)/σ = (65 – 50)/10 = 1.5
• El valor-z es negativo cuando y está por debajo de
µ (p.ej., y = 35 tiene z = -1.5)
Distribución normal
• La distribución normal estándar es una distribución normal
con µ = 0 y σ = 1
• Por la distribución, z = (y - )/ = (y - 0)/1 = y
Es decir, valor original = valor-z; µ + zσ = 0 + z(1) = z
(usamos la normal estándar para inferencia estadístca
empezando en Cap. 6, donde ciertas estadísticas son
convertidas para tener una distribución normal estándar)
• Por qué es la distribución normal importante?
Hoy aprenderemos que si estudios diferentes toman
muestras aleatorias y calculan estadísticas (p.ej., media
muestral) para estimar un parámetro (p.ej., media
poblacional), la colección de los valores de las estadísticas
de estos estudios usualmente tienen aprox. una
distribución normal. (Y?)
Distribución muestral
• Una distribución muestral lista los posibles valores de
la estadística (p.ej., media muestral y proporción
muestral) y sus probabilidades
Ejemplo: y = 1 si a favor del sistema público de salud
y = 0 si se opone
• Para posibles muestras de tamaño n = 3, considera la
media muestral
Muestra Media
(1, 1, 1) 1.0
(1, 1, 0) 2/3
(1, 0, 1) 2/3
(0, 1, 1) 2/3
Muestra
(1, 0, 0 )
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
(0, 0, 0)
Media
1/3
1/3
1/3
0
• Para datos binarios (0, 1), media muestral es igual a
proporción muestral de casos “1”. Para la población
   yP( y)=0P(0)+1P(1)=P(1)
es la proporción poblacional de casos “1”
(p.ej., a favor del sistema de salud pública)
• ¿Qué tan cerca está la media muestral de la media
poblacional µ?
• Para responder esto, debemos poder responder,
“¿Cuál es la distribución de probabilidad de la media
muestral?”
Distribución muestral
• Distribución muestral de una estadística es la
distibución de probabilidad para los posibles valores de
la estadística
• Ejemplo. Asume P(0) = P(1) = ½. Para una variable
aleatoria de tamaño n = 3, cada uno de las 8 possible
muestras son igualmente probables. La distribución
muestral de la proporción muestral es
Proporción muestral
0
1/3
2/3
1
Probabilidad
1/8
3/8
3/8
1/8
(Intenta para n = 4)
Distribución muestral de la media
muestral
•
y es una variable, sus valores varian de muestra a
muestra alrededor de la media poblacional µ
• La desviación estándar de la distribución muestral de y
se llama error estándar de y
• Para el muetreo aleatorio, la distribución muestral de y
tiene una media µ y error estándar
 =


=
desviación estándar poblacional
tamaño de muestra
Ejemplo
• Para datos binarios (y =1 ó 0) con P(Y=1) =  (con 0 <
 < 1), se puede mostrar que    (1   ) (Ej.
4.55b, y caso especial de la fórmula anterior en p.11
de estas notas con n = 1)
• Cuando  = 0.50,  = 0.50, y el error estándar es

0.50
y 

n
n
n
3
100
200
1000
error estándar
.289
.050
.035
.016
• Nota el error estándar decrece a medida que n crece
(es decir, y tiende a caer más cerca de µ)
• Con n = 1000, error estándar = 0.016, así que si la
distribución muestral tiene forma de campana, con una
alta probabilidad, la proporción cae a 3(0.016) = 0.05
de la proporción poblacional de 0.50 (es decir, entre
0.45 and 0.55)
• Ejemplo: Número de veces y = 1 (es decir, número de
personas a favor) es 1000×(proporción), así que la
variable que “cuenta” el número de personas tiene
media = 1000(0.50) = 500 y desv. est. 1000(0.016) = 16
(como en un ejemplo anterior en p. 11)
• Consecuencia práctica: Este capítulo presenta resultados
teóricos acerca de la dispersión (y forma) de las
distribuciones muestrales, pero esto implica cómo, en la
práctica, los diferentes estudios en el mismo tema pueden
variar de estudio a estudio (y, por lo tanto, qué tan preciso
cada estudio tiende a ser)
• Ejemplo: Tú planeas una muestra de 200 personas para
estimar la proporción poblacional que está a favor de un
sistema de salud público. Otros pueden estar haciendo lo
mismo. Cómo variarán los resultados entre los estudios (y
qué tan precisos son sus resultados)?
• La distribución muestral de la proporción muestral a favor
del sistema de salud público tiene un error estándar que
describe la variabilidad de estudio a estudio.
Ejemplo
Muchos estudiantes toman una muestra de n = 200 para
estimar proporción poblacional
• Lanzar una moneda 200 veces simula el proceso cuando la
proporción poblacional = 0.50.
• En teoría, hemos visto que la proporción muestral varía de
estudio a estudio (es decir, de estudiante a estudiante)
alrededor de 0.50 con un error estándar de 0.035
• Evidencia empírica: Tomé los datos que ustedes generaron
y calculé que el conjunto de todas las proporciones
muestrales (0.515 = 103/200, 0.470 = 94/200, etc.) tiene
una media de 0.488 y una desviación estándar de 0.028.
(OK, hice trampa y borré un outlier de 0.67)
• Forma? Parecida a forma de campana. Por qué?
Teorema Central del Límite
• Teorema Central del Límite: Para muestreo aleatorio
con n “grande”, la distribución muestral de la media
muestral y tiene aprox. una distribución normal
• Es aprox. normal sin importar la forma de la
distribución poblacional
• Qué tan “grande” debe de ser n depende de qué tan
asimétrica sea la distribución poblacional, pero
usualmente n ≥ 30 es suficiente
• Puede verificarse empíricamente, haciendo
simulaciones con el applet de “sampling distribution”
en www.prenhall.com/agresti
Ejemplo
Muestra aleatoria de 100 estudiantes seleccionados para
estimar la proporción que han participado en actividad
A. Encuentra la probabilidad de la proporción muestral
caiga entre 0.04 de la proporción poblacional, si la
proporción poblacional = 0.30 (es decir, entre 0.26 y
0.34)
y = 1, sí y = 0, no
µ =  = 0.30
   (1  )  (0.3)(0.7)  0.458
• Por el TCL, distribución muestral de la media muestral
(la proporción de “sí”) es aprox. normal con
– media = 0.30,
– error estándar =

0.458 0.458
y 


 0.0458
n
n
100
• 0.26 tiene valor-z = (0.26 - 0.30)/0.0458 = -0.87
• 0.34 tiene valor-z = (0.34 - 0.30)/0.0458 = 0.87
• P(media muestral ≥ 0.34) = 0.19
• P(media muestral ≤ 0.26) = 0.19
• P(0.26 ≤ media muestral ≤ 0.34) = 1 – 2(0.19) = 0.62
La probabilidad es 0.62 que la proporción muestral
caiga a 0.04 de la proporción poblacional
Ejemplo
Lanzamiento de monedas, n = 200 por estudiante
• Si la probabilidad de águila = 0.50, entonces la
proporción muestral de águilas en 200
lanzamientos varía de estudiante a estudiante de
acuerdo a una distribución normal con
– media = 0.50, y
– error estándar 0.035 (¿cómo?)
• Sería inusual que la proporción de águilas
estuviera por debajo de 0.40 o por arriba de 0.60
(por qué?)
• Cómo cambiaría el intervalo de valores factibles
(0.40, 0.60) a medida que n crece? (p.ej., n =
1000 en una encuesta)
No se dejen “engañar por
aleatoriedad”
• Hemos visto que algunas cosas son muy predecibles (es
decir, qué tan cerca la media muestral cae de la media
poblacional, para una n determinada)
• Pero, en el corto plazo, aleatoriedad no es “regular”
como uno esperaría (Por lo general, yo puede predecir
quién “falsificó” los lanzamientos de monedas
• En 200 lanzamientos de una moneda balanceada,
– P(la secuencia más larga de Caras consecutivas < 5) = 0.04
– La distribución de probabilidad de Caras consecutivas tiene
µ=7
• Implicaciones: deportes (ganar/perder, éxito/fracaso
individual), mercado de acciones sube o baja día con
día, …
Algunos comentarios
• Consecuencia del TCL: Cuando el valor de una variable
es resultado de promediar muchas influencias
individuales, ninguna domina, la distribución es aprox.
normal (p.ej., coef. intelectual, presión arterial)
• En la práctica, no conocemos µ, pero podemos usar la
dispersión de la distribución muestral como base para
la inferencia de parámetros desconocimos
(veremos cómo en los próximos dos capítulos)
• Ahora podemos discutir tres tipos de distribuciones:
• Distribución de la población – descrita por
parámetros tales como µ, σ (generalmente
desconocidos)
• Distribución de la muestra – descrita por
estadísticas de la muestra tales como
media muestral y , desviación estándar s
• Distribución muestral de una estadística –
distribuciones de la probabilidad de los posibles
valores de la estadística muestral; determina la
probabilidad que una estadística caiga dentro a
cierta distancia del parámetro poblacional
(gráfico mostrando diferencias)
• Ejemplo (categórica): Encuesta sobre sistema de
salud
– Estadística = proporción muestral que está a favor del
plan de sistema de salud propuesto
– Cuál es (1) la distribución poblacional, (2) distribución
de la muestra, (3) distribución muestral?
• Ejemplo (cuantitativa): Experimento sobre el
impacto de uso de celular en tiempos de reacción
– Estadística =media muestral del tiempo de reacción
– Cuál es (1) la distribución poblacional, (2) distribución
de la muestra, (3) distribución muestral?
Por el Teorema Central del Límite
(opción múltiple)
• Todas las variables tienen aprox. distribuciones muestrales
normales si una muestra aleatoria tiene al menos 30
observaciones
• Distribuciones poblacionales son normales cuando el
tamaño de la población es grande (al menos 30 observ.)
• Para muestras grandes, la distribución muestral de la media
muestral es aprox. normal, sin tomar en cuenta la forma de
la distribución poblacional
• La distribución muestral se parece más a la distribución
poblacional si el tamaño de muestra aumenta
• Todas las opciones anteriores

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