difusión

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Agua pura
Solución
salina
Agua pura
Solución
salina
Si no se perturba la solución, la concentración final
será el 50% de la concentración inicial.
Después de 10 años en la superficie superior la
concentración será el 87.5%, y después de 28 años
será 99%.
Un agitador sencillo que gire en el tanque a 22 rpm
alcanzará la uniformidad total en aproximadamente
60 segundos.
La agitación mecánica ha producido remolinos
característicos del flujo turbulento, esta
transferencia de masa se conoce como difusión de
remolina o turbulento.
Una solución (soluto(s) mas solvente) con concentración no uniforme (densidad diferente) alcanzará la
uniformidad (igual densidad en todo el volumen) por difusión de sus solutos en todo el volumen.
La rapidez de la difusión de un soluto con lo cual se mueve en cualquier punto y en cualquier dirección
dependerá, por tanto del gradiente de concentración en ese punto y esa dirección.
La rapidez de transferencia puede describirse adecuadamente en función del flujo molar, o
moles/(tiempo)(área), ya que el área se mide en una dirección normal a la difusión.
Para describir el movimiento de cualquier componente es necesario utilizar dos flujo que son medidos con
dos referentes distintos.
J el flujo medido con referencia a un sistema fijo en el espacio, y J* el flujo del componente medido en
relación a la velocidad molar promedio de todos los componentes.
En una solución binaria, la difusividad o coeficiente de difusión, DAB de un componente A en solución en
B, es una medida de la movilidad de difusión, y el flujo del componente A en la solución A +B (J*A ) y en
la dirección x, se define así.
J *A  D AB
CA
f
 CD AB A
x
x
1
Esta ecuación representa la primera ley de Fick del componente A en la dirección de x, y es directamente
proporcional a la concentración de A (CA).
La difusividad es una característica de un componente y de su entorno (temperatura, presión,
concentración ya sea en solución líquida, gaseosa o sólida) y la naturaleza de los otros componentes.
P
I
II
El compartimiento I contiene agua, el comportamiento II contiene alcohol y P es la separación física que
posteriormente se va a retirar.
Inicialmente en el compartimiento I hay 100 kg de agua y en el compartimiento II hay 100 kg de alcohol.
La densidad de ambos líquidos son diferentes.
compartimiento I
Compartimiento II
3
kg
kgmol
v/dm3
100
2.17
126.74
2.45
55.9
3.11
44.1
0.96
55.9
1.22
88.2
3.41
111.8
4.33
inicialmente
kg
kgmol
v/dm
H2 O
100
5.56
100
H2 O
44.1
CH3 CH2 OH
CH3CH2 OH
finalmente
TOTAL
TOTAL
Si quitamos cuidadosamente la separación P, entonces sucede la difusión de los líquidos. Al final de la
difusión, la concentración será uniforme. En la caja final (compartimiento I mas el compartimiento II)
habrá el 50% de masa de cada componente.
El agua ha difundido hacia la derecha y el etanol hacia la izquierda.
Si hubiéramos equilibrado ambos compartimientos mediante el filo de una navaja, al inicio(antes de quitar
el quitar el separador), ambos estarían en equilibrio.
Luego de quitar el separador, es evidente que mas masa de agua habrá pasado al compartimiento II , y por
tanto el equilibrio inicial se pierde y la caja final se inclina hacia la derecha
P
I
II
Por condición del flujo estacionario, el flujo neto es:
NA  NB  N
2
El movimiento de A está formado por dos partes: la resultante del movimiento total N y la fracción fA de
N, que es A, y la resultante de la difusión J*A.
NA  f A N  J*A
3
C A
C 
N A  N A  N B  A   D AB
x
 C 
4
C B
C 
N B  N A  N B  B   D BA
x
 C 
5
Sumando las dos ecuaciones anteriores:
C A
C B
C 
C 
N A  N B  N A  N B  A   D AB
 N A  N B  B   D BA
x
x
 C 
 C 
 D AB
C A
C B
 D BA
x
x
J*A  J*B
6
7
8
Si CA + CB = constante, se tiene que DAB = DBA en la concentración y temperatura predominantes.
Para gradientes de concentración generales y flujos difunsionales deben considerarse las tres direcciones
del sistema de coordenadas cartesianas
En algunos sólidos la difusividad DAB también puede ser sensible a la dirección, aun cuando en los fluidos
no lo es, los cuales son soluciones verdaderas.
La difusión es el movimiento, bajo la influencia de un estímulo físico, de un
componente individual a través de una mezcla.
La causa más frecuente de la difusión es un gradiente de concentración del
componente que difunde. Un gradiente de concentración tiene a mover el
componente en una dirección tal que iguale las concentraciones y anule el
gradiente.
Cuando el gradiente se mantiene mediante el suministro continuo de los
componentes de baja y alta concentración, existe un flujo en estado
estacionario del componente que se difunde. Esto es característico en las
operaciones de transferencia de masa., ejemplo en torres de absorción.
En otras operaciones de transferencia de masa, tales como la lixiviación y la
adsorción, tiene lugar la difusión en estado no estacionario, y los gradientes y
flujos disminuyen con el tiempo en cuanto se alcanza el equilibrio.
y
Δx
Δy
G
(x+Δx,y+ Δy,z+Δz)
E
Δz
(x,y,z)
x
z
La rapidez de masa de flujo del componente A en las tres caras con un vértice común en E es

M A N A ,x x yz  N A , y y xz  N A ,z z xy

9
MA, es el peso molecular de A y en la misa forma, el flujo de masa fuera de las tres caras con un vértice
común en G es
En donde: J A,x significa el flujo en la dirección x, y en donde

J 
A ,x x
es su valor en la posición x.
M A N A ,x x  x yz  N A , y y  y xz  N A ,z z  z xy

10
El componente total de A en el elemento ΔxΔyΔz es qA, y por lo tanto su rapidez de acumulación es
(ΔxΔyΔz)ϑqA/ϑt. Si además, A se genera mediante una reacción química con la rapidez RA
moles/(tiempo)(volumen), su rapidez de producción es MARA ΔxΔyΔ z, masa/tiempo. En general
(rapidez de entrada) - (rapidez de salida) + (rapidez de generación) = (rapidez de acumulación)
M A N A ,x x yz  N A , y y xz  N A ,z z xy  N A ,x x x yz  N A , y yy xz  N A ,z zz xy



 q 
 R A xyz  xyz A 
 t 
11
Agrupando términos semejantes:



M A N A ,x x x  N A ,x x yz  N A , y yy  N A , y y xz  N A ,z zz  N A ,z z xy
 q 
 R A xyz  xyz A 
 t 
12
Dividiendo entre ΔxΔyΔ z y encontrando el límite cuando las tres distancias tienden a cero :
 N A ,x x N A , y N A ,z  q A
 
M A R A  M A 



x

y

z

 t
13
En la misma forma, para el componente B :
 N B,x x N B, y N B,z  q B

M B R B  M B 


y
z  t
 x
14
El balance total de materia se obtiene sumando los de A y B:
M A N A  M B N B x M A N A  M B N B y M A N A  M B N B z q



0
x
y
z
t
15
En donde q = qA + qB = la densidad de la solución, puesto que la rapidez de masa para la
acumulación de A y B debe ser igual a Cero:
M A N A,x  M A f A N x  M A J *A,x  A u x  M A J *A,x
16
En donde ux, es la velocidad promedio de masa, tal que:
u x  A u A,x  B u B,x  MA NA,x  MB NB,x
17
Diferenciando la ecuación anterior:

u x
 M A N A  M B N B x
 ux

x
x
x
18
Aplicando esta equivalencia en la ecuación 15, se obtiene:
u y u z 
 u


 
  u x
 x 

 uy
 uz

0

x

y

z

x

y

z

t


19
Es la ecuación de continuidad o un balance de masa, para la sustancia total. Si la densidad de la solución es
una constante, la ecuación anterior se transforma en:
u x u y u z


0
x
y
z
20
Diferenciando la ecuación 13 con respecto a la dirección x, se obtiene:
N A ,x
J *A ,x
u x
A
u

2 C A
MA
 A
 ux
 MA
  A x  u x A  M A D AB
x
x
x
x
x
x
x 2
21
Reemplazando y diferenciando los respectivos J*A en la ecuación 13.
ux
u y u z 
 u
 A
 A
 A

 uy
 uz
  A  x 

x
y
z

x

y

z


22
 2 C A 2 C A 2 C A   A

 M A D AB 


 MAR A
2
2
2 

x

y

z

t


Esta es la ecuación de continuidad, para la sustancia A. Para una solución de densidad constante y
dividiendo entre MA, la ecuación anterior quedará:
 2 C A 2 C A 2 C A 
C A
C A
C A C A
  RA
ux
 uy
 uz

 M A D AB 


2
2
2 
x
y
z
t

x

y

z


24
En el caso especial en que la velocidad es igual a cero y no hay reacción química, la ecuación anterior se
reduce a la ecuación de la segunda ley de Fick:
 2 C A 2 C A 2 C A 
C A
  RA
 M A D AB 


2
2
2 
t

x

y

z


25
Esta ecuación se puede aplicar con frecuencia a la difusión en sólidos y en ciertos casos, a la difusión en
fluidos.
C A
C 
N A  N A  N B  A   D AB
x
 C 
26
C A CN A  N A  N B C A
C 
N A  N A  N B  A   D AB

x
C
 C 
27
 dC A
dx

CN A  N A  N B C A CD AB
28
Si aplicamos esta ecuación sólo en el sentido de x, con NA y NB constantes (estado estacionario), las
variables se separan y si DAB es constante se puede integrar.

CA 2
CA1
 dC A

CN A  N A  N B C A

x2
x1
dx
CD AB
29
En donde el 1 indica el principio de la trayectoria de difusión (CA elevado) y el 2 el fin de la trayectoria de
difusión (CA bajo). Sea x2 –x1 = x
 N C  C A 2 N A  N B  
1
x
 
ln  A
N A  N B   N A C  C A1 N A  N B   CD AB
NA 
NA
D AB C  N A / N A  N B   C A 2 / C 

ln 
N A  N B  x  N A /N A  N B   CA1 / C 
30
31
Cuando se puede aplicar la ley de los gases ideales podemos hacer uso de las siguientes expresiones:
CA
p
n
P
 fA  A
C 
C
P
v RT
Adecuando la ecuación 31 para su aplicación a gases, tenemos:
NA 
NA
D AB P N A / N A  N B P  p A 2 
ln
N A  N B  RTx N A / N A  N B P  p A1 
32
NA
D AB P N A / N A  N B   f A 2 
ln
N A  N B  RTx N A / N A  N B   f A1 
33
NA 
Para aplicar esta ecuación, debemos conocer la relación entre NA y NB.
Por ejemplo, si se va a fraccionar metano sobre catalizador:
CH 4  C  2H2
En circunstancias tales que el CH4(A) se difunda hacia la superficie de fraccionamiento y el H2(B) se
difunda al seno del fluido, entonces la estequiometria de la reacción fija la relación NB = -2NA y
NA
NA

 1
N A  N B N A  2N A
En ausencia de reacción química, la relación puede fijarse por razones de entalpía. En el caso de las
operaciones puramente separaciones, se presentan con frecuencia dos casos.
Un ejemplo, de este operación es el amoniaco (A) contenido en el aire (B), que en contacto con el agua, éste
absorberá en el agua.
En este ejemplo NB = 0, y NA = constante.
NA
NA

1
NA  NB NA  0
La ecuación 32 se transforma en:
NA 
N A D AB P N A / N A  0 P  p A 2  D AB P P  p A 2
ln

ln
N A  0 RTx N A / N A  0P  p A1  RTx P  p A1
34
Puesto que: P-pA2 = pB2, P – pA1 = pB1, pB2 – pB1 = pA1 – pA2, entonces:
NA 
D AB P  p A1  p A 2  p A 2

 ln
RTx  p B 2  p B1  p A1






D AB P  p A1  p A 2  D AB P  1



RTx  p B 2  p B1  RTx  p B,M


p
 ln A 2 
p A1 

NA 
D AB P
p A1  p A 2 
RTxp B,M

p A1  p A 2 


35
p total
p total
p B2
A
pB
La sustancia A se difunde a través de B debido a
su gradiente – dpA/dx. El componente B también
se difunde con relación a la velocidad molar
promedio con una fluidez que depende de
– dpB/dx, pero igual que nada un pez que nada a
contracorriente a la misma velocidad que el agua
que fluye con la corriente, NB = 0 relativo a un
lugar fijo en el espacio.
p B1
p A1
pA
pA2
x1
Distancia X
x2
Difusión de A a través de B, estancionado
Esta es una situación que se presenta en las operaciones de destilación, NA = - NB = constante.
 p  D p A
N A  N A  N B  A   AB
 P  RT x
Para el presente caso, NA = - NB = constante.
NA  
Ptotal
D AB p A
RT x
Ptotal
A
p A1
p B2
dx  
B

x2
dx  
x1
p B1
x1
pA2
Distancia x
x2
D AB
dp A
RTN A
NA  
D AB
RTN A

pA "
pA1
dp A
D AB
p A1  p A 2 
RTx
36
37
En estos casos se puede emplear la difusividad efectiva. La difusividad efectiva de un componente puede
obtenerse a partir de difusividades binarias con cada uno de los otros componentes.
A partir de esta propuesta en la ecuación 32 se reemplaza el término NA + NB por la expresión
en donde Ni es positivo si la difusión es en la misma dirección que A y negativo si en la dirección opuesta;
DAB puede reemplazarse por la DA,m efectiva.
D A ,m 
NA  fA
n
N
i
i A
n

i B
1
f i N A  f A N i 
D A ,i
38
Los DA,i son las difusividades binarias. Esto indica que DA,m puede variar de uno de los lados de la
trayectoria de difusión de difusión al otro, generalmente se debe suponer una variación lineal con la
distancia, para cálculos prácticos..
Una situación bastante común es que todas las N excepto NA sean cero, es decir, cuando todos los
componentes, excepto uno, estén estacionados.
D A ,m 
1  fA

n
fi
i  B D A ,i

1
n

En donde f i' es la fracción mol del componente i, libre de A.
iB
f i'
D A ,i
39
Problema: Se está difundiendo oxígeno (A) a través de monóxido de carbono (B) en condiciones de estado
estacionario, con el monóxido de carbono sin difundirse. La presión total es 105 N/m2, y la temperatura es
de 0°C. La presión parcial del oxígeno en dos planos separados por 2.00 mm es, respectivamente 13000 y
6500 N/m2. La difusividad para la mezcla es 1.87x10-5 m2/s. Calcular la rapidez de difusión del oxigeno en
kmol/s a través de cada metro cuadrado de los dos planos.
Solución
Se aplicaran las ecuaciones:
NA 
D AB P
p A1  p A 2 
RTxp B,M
p B,M 
p B 2  p B1
 pB 

ln 
 p B1 
2
Datos
solución
respuesta
P(N/m2 )
t(°C)
(pA )i(N/m2 )
(pA )f(N/m2 )
DAB(N/m2 )
x(mm)
R(Nm/kmol°K)
100000
0
13000
6500
0.0000187
2
8314
T(°K)
(pA )i(N/m2 )
(pB)i(N/m2 )
(pA )f(N/m2 )
(pB)f(N/m2 )
x(m)
273.15
13000
87000
6500
93500
0.002
pB,M(N(m2 )
NA(kmol/m2 s)
90210.9745
2.97E-05
NA(kmol/m2 s)
2.97E-05
Problema: Volver a calcular la rapidez de difusión del oxígeno (A) en el problema anterior, suponiendo que
el gas no se esta difundiendo es una mezcla de metano(B) e hidrógeno (C) en la relación en volumen de
2:1. Se ha calculado que las difusividades son:
2
2
5 m
5 m
DO H  6.99 * 10
DO CH  1.86 *10
s
s
2
2
2
4
Solución
Se aplicaran las ecuaciones:
NA 
D AB P
p A1  p A 2 
RTxp B,M
p B,M 
p B 2  p B1
p 
ln  B 2 
 p B1 
Para el caso de difusión en estado estacionario en mezcla de multicomponentes se aplicará la siguiente
ecuación:
D A ,m 
1  fA

n
fi
i  B D A ,i

En donde f i' es la fracción mol de i libre de A:
1
n

iB
f i'
D A ,i
Datos
solución
respuesta
P(N/m2 )
t(°C)
(pA )i(N/m2 )
(pA )f(N/m2 )
DAB(N/m2 )
x(mm)
mol B
mol C
DAC(N/m2 )
R(Nm/kmol°K)
100000
0
13000
6500
0.0000699
2
2
1
0.0000186
8314
T(°K)
(pA )i(N/m2 )
(pB)i(N/m2 )
(pA )f(N/m2 )
(pB)f(N/m2 )
x(m)
f'B
f'C
273.15
13000
87000
6500
93500
0.002
0.667
0.333
DA,m(m2 /s)
pB,M(N(m2 )
NA(kmol/m2 s)
0.0000364
90210.9745
5.77E-05
NA(kmol/m2 s)
0.0000577

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