triangolo sferico - materiale didattico a cura del Prof. Ing. Caputo

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Distanza tra Roma e New York????
Prof. Caputo Francesco Gaspare
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triangolo sferico: i suoi tre lati
sono naturalmente archi
geodetici. Nel piano euclideo tre
punti non allineati individuano uno
e un solo triangolo: basta
collegare coppie di punti con un
segmento
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?Cosa succede sulla superficie di una
sfera??
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Le cose si complicano sulla sfera. In
primo luogo due punti possono essere
collegati con due diversi segmenti (un
arco minore e un arco maggiore di
circonferenza massima, come si vede
nella figura a sinistra). Stabiliamo allora
di considerare solo archi minori.
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C'è poi da osservare che tre archi
minori, non disposti (a due a due) sulla
stessa circonferenza massima e aventi
a coppie un estremo in comune,
delimitano due regioni sulla sfera.
Chiamiamo allora triangolo sferico
quella regione, delle due, che ha area
minore. In tal modo tre archi minori
individuano un'unica regione
triangolare che ha sempre area minore
della superficie di una semisfera
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Domanda :
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Nel piano euclideo tre rette non
passanti per uno stesso punto e tali da
intersecarsi a due a due, individuano
uno e un solo triangolo. Cosa si può
dire per tre rette su una sfera?
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Tre rette sulla sfera non passanti
per uno stesso punto individuano
otto triangoli sferici .Nella figura è
stato evidenziato in verde uno
degli otto triangoli.
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Ma la cosa più importante da osservare è la somma
degli angoli: nel nostro caso è di 270°
Viene dunque a cadere il teorema euclideo sulla
somma degli angoli di un triangolo.
Ora osserviamo la figura a sinistra. Ogni
lato del triangolo ABC è lungo 1/4 di
circonferenza massima cioè R p/2 e l'area
del triangolo è pari a 1/8 dell'area della
sfera cioè è uguale a R*R p/2
(non dimenticate che abbiamo assunto una
sfera di raggio R che ha area 4p R*R).
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Ma c'è di più: mentre la somma degli angoli è
costante per i triangoli euclidei, per i triangoli sferici tale
somma varia al variare del triangolo.
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Come vedete A è un polo per la retta s e
i segmenti AB e AP sono perpendicolari
a s. I triangoli APB che vengono a
formarsi al variare di P su s hanno, tutti,
due angoli retti mentre il terzo angolo,
quello in A, varia. E' quindi variabile
anche la somma degli angoli.
Per tutti questi triangoli la somma
degli angoli è maggiore di 180° e si
capisce che facendo tendere a zero
l'angolo in A la somma degli angoli
tende a 180°
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Domanda
Sapete dire qual è l'estremo
superiore per la somma degli
angoli di un triangolo sferico ?
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Data la nostra definizione di triangolo
sferico, la somma degli angoli è sempre
minore di 540° poiché ogni angolo è
minore di 180; se un angolo diventa di
180° i tre vertici del triangolo si trovano
su una stessa circonferenza massima e
dobbiamo escluderlo. D'altra parte
ciascuno dei tre angoli può avvicinarsi
quanto vogliamo a 180° (vedi figura a
fianco). Quando ognuno dei tre angoli
tende a 180°, l'area del triangolo tende
all'area della semisfera che rappresenta
l'estremo superiore per le aree dei
triangoli sferici.]
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ECCESSO SFERICO
E
E=a+b+g-p
IN UN TRIANGOLO SFERICO LA SOMMA DEGLI
ANGOLI INTERNI SUPERA SEMPRE L’ ANGOLO
PIATTO DI UNA QUANTITA’ DETTA ECCESSO
SFERICO E
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E+p=a+b+g
Ci siamo resi conto, che E non è costante ma varia al
variare del triangolo. E si può determinare mediante
la formula del CAVALIERI
E= S/ R
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S= superficie del triangolo
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TRIGONOMETRIA SFERICA
b
a
c
Triangoli sferici qualunque
Teorema dei seni
I seni dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
Il rapporto fra il seno di un angolo ed il seno del lato opposto è costante.
Sin a /Sin a =Sin β /Sin b = Sin γ/Sin c
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TRIGONOMETRIA SFERICA
TEOREMA DI EULERO ( DEL COSENO).Il coseno di un lato è uguale al
prodotto dei coseni degli altri due lati più il prodotto dei seni moltiplicati per il
coseno dell'angolo opposto.
Ricaviamo :
Cos a = Cos b Cos c + Sin b Sin c Cos a
Cos b = Cos a Cos c + Sin a Sin c Cos β
Cos c = Cos a Cos b + Sin a Sin b Cos γ
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TRIGONOMETRIA SFERICA
Tan ( a+b)/2 = (cos (a-b)/2)/(cos (a+b)/2) . Tan ( c/2)
Tan ( a-b)/2 = (sen (a-b)/2)/(sen (a+b)/2) . Tan ( c/2)
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Calcolo distanza ortodromica
Dunque, osservando la figura in alto,
diciamo che, in base alla trigonometria
sferica (teorema di Eulero), tra i
lati a, b e p del triangolo sferico ABP vale la
relazione:
cos p = cos a cos b + sen a sen b cos φ
Ora, dette lat(A), lon(A), lat(B), lon(B), la
latitudine e la longitudine dei punti A e B e,
considerato che:
a = 90° – lat(B)
b = 90° – lat(A)
φ = lon(A) – lon(B)
abbiamo tutti i dati per calcolare la
lunghezza del lato p considerando il raggio
della Terra approssimabile a R = 6371 km.
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TEOREMA DI LEGENDRE
Il Teorema di LEGENDRE, permette di risolvere un triangolo sferico, contenuto nel
campo geodetico, con gli algoritmi della trigonometria piana.
Prima di dare l'enunciato di questo teorema è necessario precisare che la somma
dei tre angoli di un triangolo sferico è superiore a π di una quantità, che si denota
con E, chiamata eccesso sferico, e cioè
a+b+g-p
si dimostra facilmente che l'eccesso sferico è numericamente valutabile, in
radianti, facendo il rapporto fra l'area S del triangolo ed il quadrato del raggio
della sfera e cioè
E= S/ R
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Si può ora osservare che, dato un triangolo sferico di lati a, b e c, si può sempre
costruire un triangolo piano che ha i lati rettilinei di lunghezza a, b e c, per cui se
si conoscono le relazioni che legano gli angoli, noti, del triangolo sferico, a
quelli, incogniti, del triangolo piano, in modo da poter derivare facilmente
quest'ultimi dai primi, il calcolo dei lati del triangolo sferico potrebbe essere
eseguito con le formule della trigonometria piana.
b
C
A
b
Teorema LEGENDRE
c
a
c
a
B
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ENUNCIATO TEOREMA di LEGENDRE
C
a ‘= a- E/3
b ‘= b- E/3
g ‘= g- E/3
A
b
a
c
B
Sia dato un triangolo sferico i cui lati l siano una piccola frazione del
raggio R della sfera < di 200 kM il triangolo sferico equivale ad un
triangolo piano che ha i lati della stessa lunghezza dei lati del
triangolo sferico e gli angoli si possono derivare dagli angoli del
primo sottraendo ad ognuno di essi un terzo dell'eccesso sferico E.
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Si può dimostrare che se il triangolo è contenuto in una zona di circa 100
km di raggio, cioè all'interno del campo sferico e geodetico, questo può
essere considerato sferico (campo della trigonometria sferica). Si può
utilizzare il teorema di Legendre che postula: un triangolo sferico i cui lati
l siano piccoli rispetto al raggio R può essere calcolato, a meno di termini
in (l/r)4 , come un
triangolo piano aventi i lati uguali a quelli del triangolo sferico rettificati e
gli angoli ridotti di un terzo dell'eccesso sferico ε = A/R2, dove A = area
del triangolo sferico ed R = raggio della sfera (trigonometria piana).
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Se poi il triangolo ellissoidico è contenuto in una zona di 15 km di raggio
(campo piano o topografico), il triangolo stesso può essere considerato piano
(trigonometria piana).
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GRAZIE PER L’ ATTENZIONE !!!!!!!
http://www.robertobigoni.it/Matematica/Sferica/sferica.html
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