Lecture11

Report
‫המחלקה לניהול תעשייתי‬
‫סמסטר א'‪ ,‬תשע"ב‬
‫רגרסיה לינארית‪ ,‬ניתוח שונות‬
‫ותכנון ניסויים סטטיסטיים‬
‫הרצאה ‪11‬‬
‫ניתוח שונות דו‪-‬כיווני‬
‫ניתוח שונות דו‪-‬כיווני‬
‫נדון כעת במקרה שבו אנו מעוניינים ללמוד על השפעה שיש לשני גורמים ‪ A‬ו‪ B-‬על‬
‫איזשהו משתנה תלוי‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בניסוי כימי מעוניינים לבחון תוצר התגובה הכימית כתוצאה מלחץ ותוצר של אותה‬
‫תגובה כימית כתוצאה ממשך התגובה‪ ,‬סימולטנית‪.‬‬
‫דוגמה נוספת‪ :‬סטודנטית איילה חקרה האם ציון של פרויקט גמר בתואר מושפע מהערות‬
‫של מנחה הפרויקט במהלך הביצוע‪ ,‬כאשר מנחה יכול לתת הערות מפורטות‪ ,‬או‬
‫הערות קצרות או לא להעיר כלל‪ .‬סטודנט אחר נעם טוען כי ציון בפרויקט תלוי בסוג‬
‫האנשים המבצעים‪ :‬יצירתיים או לא יצירתיים‪ .‬לדעתו‪ ,‬ריבוי הערות של מנחה יעיל‬
‫לסטודנטים לא יצירתיים ואילו סטודנטים יצירתיים לא זקוקים להערות והן לא פוגעות‬
‫בעבודתם‪ .‬כלומר‪ ,‬לדעתו של נועם קיימת השפעה הדדית בין סוג האנשים ולבין‬
‫הערות של מנחה על משתנה התלוי (ציון בפרויקט)‪.‬‬
‫בכל מקרה שכזה‪ ,‬חשוב לא רק לבדוק את השפעת הגורמים השונים אלא גם האם יש‬
‫אינטראקציה (השפעה הדדית) מהותית בין שני הגורמים אלו‪.‬‬
‫במודל רב כיווני טיפול מהווה צירוף של רמות שונות של שני הגורמים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫בניסוי כלשהו בדקו השפעה שיש לטמפרטורה ולסוג התנור על‬
‫אורך החיים של רכיב אלקטרוני מסוים‪ .‬ארבעה סוגים של תנורים‬
‫ושלוש רמות טמפרטורה נבחנו בניסוי‪ 24 .‬דגימות נלקחו באקראי‪,‬‬
‫‪ 2‬דגימות בכל צירוף של טיפולים‪ .‬התקבלו תוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪O4‬‬
‫‪O3‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪260‬‬
‫‪225‬‬
‫‪214‬‬
‫‪227‬‬
‫‪229‬‬
‫‪236‬‬
‫‪259‬‬
‫‪221‬‬
‫‪246‬‬
‫‪232‬‬
‫‪181‬‬
‫‪187‬‬
‫‪273‬‬
‫‪198‬‬
‫‪179‬‬
‫‪208‬‬
‫‪206‬‬
‫‪178‬‬
‫‪198‬‬
‫‪174‬‬
‫‪219‬‬
‫‪213‬‬
‫‪194‬‬
‫‪202‬‬
‫תנור‪/‬טמפרטורה‬
‫‪500O‬‬
‫‪550O‬‬
‫‪600O‬‬
‫מודל ניתוח שונות דו‪-‬כיווני אפקטים קבועים‬
‫‪4‬‬
‫הנחות המודל‬
‫תחת השערת האפס מתקיים‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫בדיקת השערות‬
‫נבקש לבדוק ‪ 3‬השערות בסיסיות‪:‬‬
‫‪ (1‬האם קיימת השפעה הדדית בין (אינטראקציה) שני הגורמים‪:‬‬
‫‪ (2‬האם גורם ‪ A‬משפיע על משתנה התלוי‪:‬‬
‫‪ (3‬האם גורם ‪ B‬משפיע על משתנה התלוי‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫ניתוח שונות דו‪-‬כיווני‪ :‬שלבים בביצוע המודל‬
‫א) בדיקת השפעת האינטראקציה בין שני הגורמים‪:‬‬
‫אם )) ‪ F  F ( ,  a  1   b  1  , ( N  a b‬אז דוחים את השערת האפס ברמת‬
‫מובהקות אלפה‪ .‬אם לא ניכרת השפעה אינטרקטיבית בין שני הגורמים‬
‫(כלומר‪ ,‬אם לא דוחים את השערת האפס)‪ ,‬ממשיכים בבדיקת‬
‫השפעות הגורמים השונים (שלב ג' להלן)‪.‬‬
‫ב) כניסה לפלחים (שיטה לא נלמדת בקורס זה)‬
‫אם דוחים את השערת האפס בשלב א'‪ ,‬ברור כי השפעת הגורמים ניכרת‬
‫ויש לבדוק כיצד השפעה זו מתבטאת‪ .‬בודקים השפעת כל טיפול בכל‬
‫גורם ביחס לכל הטיפולים של גורם השני ובונים מודל ‪ ANOVA‬לכל‬
‫גורם‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫ניתוח שונות דו‪-‬כיווני‪ :‬שלבים בביצוע המודל‬
‫ג) בדיקת השפעת הגורמים השונים ללא אינטראקציה‪.‬‬
‫אם לא דוחים את השערת האפס בשלב א'‪ ,‬ניתן לבדוק השפעה של כל‬
‫גורם בנפרד‪.‬‬
‫אם )) ‪ F  F ( ,  a  1  , ( N  a b‬אז דוחים את ההשערה בדבר זהותם של ‪a‬‬
‫טיפולים השייכים לגורם ‪ A‬ברמת מובהקות ‪ α‬ומבצעים חלוקה‬
‫לקבוצות הומוגניות עבור ‪.)A1, A2,…, Aa‬‬
‫אם )) ‪ F  F ( ,  b  1  , ( N  ab‬אז דוחים את ההשערה בדבר זהותם של ‪b‬‬
‫טיפולים השייכים לגורם ‪ B‬ברמת מובהקות ‪ α‬ומבצעים חלוקה‬
‫לקבוצות הומוגניות עבור ‪.)B1, B2,…, Bb‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫ניתוח שונות דו‪-‬כיווני‪ :‬שלבים בביצוע המודל‬
‫ג) (המשך)‬
‫במידה ויש צורך לבצע חלוקה לקבוצות הומוגניות לגורם ראשון (‪,)A‬‬
‫נשתמש במבחן ‪ ,LSD‬כאשר ערך הקריטי יחושב על פי נוסחא הבאה‪:‬‬
‫‪2 * M SE‬‬
‫‪‬‬
‫‪b*n‬‬
‫‪N  ab ,‬‬
‫‪L SD  t‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ – b‬מספר הטיפולים בגורם השני‪ – n ,‬מספר החזרות על מדידה‬
‫של צירוף מסוים (מספר תצפיות בתא בודד של טבלת הנתונים‬
‫המקורית)‪.‬‬
‫במידה ויש צורך לבצע חלוקה לקבוצות הומוגניות לגורם השני (‪,)B‬‬
‫נשתמש במבחן ‪ ,LSD‬כאשר ערך הקריטי יחושב על פי נוסחא הבאה‪:‬‬
‫‪2 * M SE‬‬
‫‪a*n‬‬
‫‪‬‬
‫‪N  ab ,‬‬
‫‪L SD  t‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ – a‬מספר הטיפולים בגורם הראשון‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫פירוק סכום הריבועים‬
b
a
n
    y ijk  y  
2
SST 

i 1 j 1 k 1

2
2
2
2








y

y

y

y
n

y

y
an

y

y
bn

y

y
   ijk ij   i     j     ij  i   j   
i

j
SSE

i
j
i
k
SSA

SSB

j
SSAB
10
‫כיווני‬-‫) דו‬ANOVA( ‫טבלת ניתוח שונות‬
‫ מקור‬SS
‫ סטטיסטי‬F
‫ קריטי‬F
DF
MS
‫ גורם ראשון‬SSA
A
a-1
MSA=SSA/(a-1)
F2=MSA/MSE
F (α,(a-1), (N-ab))
B ‫ גורם שני‬SSB
b-1
MSB=SSB/(b-1)
F3=MSB/MSE
F (α, (b-1), (N-ab))
(a-1)(b-1)
MSAB=
F1=MSAB/MSE
=SSAB/((a-1)(b-1))
N-ab
MSE=SSE/(N-ab)
‫ אינטראקציה‬SSAB
AB
‫ שגיאות‬SSE
‫ סה"כ‬SST
F (α, (a-1)(b-1),(Nab))
N-1=abn1
11
‫חישוב סכומי הריבועים – נוסחאות מקוצרות‬
‫שלבים בחישוב סכומי ריבועים ובניית טבלת ניתוח שונות‪:‬‬
‫‪ (1‬נחשב טבלת עזר – טבלת ממוצעים ע"י חישוב ממוצע של ערכים בכל תא של טבלת‬
‫נתונים מקורית‪.‬‬
‫‪ (2‬נחשב ממוצע של כל גורם בשוליים (פלחים)‪.‬‬
‫‪ (3‬נחשב השונות בין ממוצעי השוליים של כל גורם‪.‬‬
‫‪ (4‬נחשב שונות בין ממוצעי התאים‪.‬‬
‫‪ (5‬נחשב שונות בין כלל התצפיות‪.‬‬
‫‪ (6‬נחשב סכומי ריבועים לפי נוסחאות מקוצרות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪SSA  N ‬‬
‫‪SSB  N  B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SSAB  N  avg  SSA  SSB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SST  N  T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SSE  SST  SSA  SSB  SSAB‬‬
‫‪12‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫• ‪ – σ2A‬שונות ממוצעי השוליים של גורם ‪A‬‬
‫• ‪ – σ2B‬שונות ממוצעי השוליים של גורם ‪B‬‬
‫• ‪ – σ2AVG‬שונות בין ממוצעי התאים‬
‫• ‪ – σ2T‬שונות בין כלל התצפיות‬
‫דוגמה ‪ –1‬בניית טבלת ניתוח שונות‬
‫שלב א' נבנה טבלת עזר (טבלת ממוצעים)‪:‬‬
‫ממוצעי‬
‫גורם‬
‫טמפרטורה‬
‫‪O3‬‬
‫‪O4‬‬
‫(‪)A‬‬
‫‪244.5 233.875‬‬
‫‪213‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪Temp/Oven O1‬‬
‫‪230.5‬‬
‫‪236.5‬‬
‫‪224‬‬
‫‪500‬‬
‫‪259.5‬‬
‫‪215‬‬
‫‪180‬‬
‫‪197.5‬‬
‫‪550‬‬
‫‪212.5‬‬
‫‪195.5‬‬
‫‪196‬‬
‫‪188‬‬
‫‪600‬‬
‫‪198‬‬
‫ממוצע כלל‬
‫ממוצעי גורם‬
‫התצפיות‪:‬‬
‫‪ 203.1667 204.1667 213.6667 238.8333214.9583‬תנורים (‪)B‬‬
‫כעת נחשב שונויות‪:‬‬
‫‪216.4201 206.7969 553.4774 713.2066‬‬
‫‪13‬‬
‫‪N‬‬
‫‪24‬‬
‫דוגמה ‪ – 1‬טבלת ניתוח שונות דו‪-‬כיווני‬
‫החלטה‬
‫לדחות‬
‫לדחות‬
‫לא לדחות‬
‫‪MS‬‬
‫‪F statistic F Critical‬‬
‫‪2597.042 8.129516 3.885‬‬
‫‪1654.375 5.178688‬‬
‫‪3.49‬‬
‫‪2.996‬‬
‫‪DF‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪521.0417 1.631016‬‬
‫‪6‬‬
‫‪319.4583‬‬
‫‪12‬‬
‫‪23‬‬
‫מקור‬
‫‪SS‬‬
‫‪ 5194.083‬טמפרטורה ‪A‬‬
‫תנור ‪B‬‬
‫‪4963.125‬‬
‫אינטראקציה‬
‫‪3126.25‬‬
‫‪AB‬‬
‫שגיאה ‪E‬‬
‫‪3833.5‬‬
‫סה"כ‬
‫‪17116.96‬‬
‫מסקנות מטבלת ‪:ANOVA‬‬
‫‪ (1‬שלב א'‪ :‬ניתן לראות שלא קיימת השפעה הדדית בין הטמפרטורה לסוג התנור‪ .‬לכן‬
‫נעבור לשלב ג'‪.‬‬
‫‪ (2‬שלב ג'‪:‬‬
‫‪ (3‬טמפרטורה הינה גורם משפיע על אורך החיים של רכיב‪.‬‬
‫‪ (4‬גם סוג התנור הוא גורם שמשפיע על אורך החיים של רכיב‪.‬‬
‫כעת יש לבצע חלוקה לקבוצות הומוגניות לכל גורם על מנת לבדוק מהם רמות טמפרטורה‬
‫וסוגי התנורים המביאים לאורך החיים המקסימלי‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫דוגמה ‪ – 1‬תרשים פרופיליים‬
‫אורך חיים ממוצע‬
‫‪A2‬‬
‫‪259.5‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪244.5‬‬
‫‪236.5‬‬
‫‪230.5‬‬
‫‪224‬‬
‫‪215‬‬
‫‪212.5‬‬
‫‪A3‬‬
‫‪197.5‬‬
‫‪196‬‬
‫‪195.5‬‬
‫‪188‬‬
‫‪180‬‬
‫גורם ‪B‬‬
‫‪15‬‬
‫‪B4‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪B1‬‬
‫מסקנה מתרשים‪ :‬בין ‪ 1A‬ל‪ B -‬וגם בין ‪ 3A‬ל‪ B-‬אין אינטראקציה‪ .‬יתכן‬
‫וקיימת אינטרקציה בין ‪ 2A‬ל‪.B-‬‬
‫ – פלט אקסל‬1 ‫דוגמה‬
Total
8
1871
233.875
289.8393
8
1704
213
1165.143
8
1584
198
248.2857
O4
O3
2
489
244.5
480.5
2
519
259.5
364.5
2
425
212.5
84.5
6
1433
238.8333
646.9667
Anova: Two-Factor With Replication
O2
O1
SUMMARY
500
2
2
2Count
461
473
448Sum
230.5
236.5
224Average
60.5
1012.5
18Variance
2
430
215
578
2
391
195.5
612.5
6
1282
213.6667
496.2667
2
360
180
2
550
2Count
395Sum
197.5Average
220.5Variance
2
392
196
8
600
2Count
376Sum
188Average
392Variance
6
1225
204.1667
882.9667
Total
6Count
1219Sum
203.1667Average
404.5667Variance
16
‫ – פלט אקסל‬1 ‫דוגמה‬
F crit
P-value
F
MS
3.885294 0.005863 8.129516 2597.042
3.490295 0.015885 5.178688 1654.375
2.99612 0.22152 1.631016 521.0417
319.4583
df
2
3
6
12
ANOVA
SS
Source of Variation
5194.083Sample
4963.125Columns
3126.25Interaction
3833.5Within
23 17116.96Total
17
‫דוגמה ‪ – 1‬חלוקה לקבוצות הומוגניות‬
‫בגלל שלא קיימת אינטראקציה‪ ,‬נבצע חלוקה לקבוצות לכל גורם בנפרד‪.‬‬
‫מבחן ‪ LSD‬עבור גורם ‪( A‬טמפרטורה)‪:‬‬
‫‪ 19.47‬‬
‫‪2 * 319.45‬‬
‫‪ 2.1788‬‬
‫‪2 * M SE‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪2*4‬‬
‫‪‬‬
‫‪N  ab ,‬‬
‫‪L SD  t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t12 ,0.025  2.1788‬‬
‫מספר השוואות זוגיות שצריך לבצע‪.(3*2)/2=3 :‬‬
‫‪A3=600‬‬
‫‪A2=550‬‬
‫‪A1=500‬‬
‫‪198‬‬
‫‪213‬‬
‫‪233.875‬‬
‫‪15‬‬
‫‪233.875‬‬
‫‪A1=500‬‬
‫‪20.875‬‬
‫‪213‬‬
‫‪A2=550‬‬
‫‪35.875‬‬
‫‪198‬‬
‫‪A3=600‬‬
‫קבוצות‪ )A2, A3( :‬ו‪.A1 -‬‬
‫אם רוצים אורך חיים גבוה‪ ,‬נמליץ על טיפול ‪( A1‬טמפרטורה של ‪500‬‬
‫‪ 18‬מעלות)‪.‬‬
‫דוגמה ‪ – 1‬חלוקה לקבוצות הומוגניות‬
‫בגלל שלא קיימת אינטראקציה‪ ,‬נבצע חלוקה לקבוצות לכל גורם בנפרד‪.‬‬
‫מבחן ‪ LSD‬עבור גורם ‪( B‬סוג התנור)‪:‬‬
‫‪ 22.48‬‬
‫‪2 * 319.45‬‬
‫‪ 2.1788‬‬
‫‪2 * M SE‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪2*3‬‬
‫מספר השוואות זוגיות שצריך לבצע‪.(4*3)/2=6 :‬‬
‫‪B1=O1‬‬
‫‪B2=O2‬‬
‫‪B3=O3‬‬
‫‪B4=O4‬‬
‫‪203.1667‬‬
‫‪204.1667‬‬
‫‪213.6667‬‬
‫‪238.8333‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪N  ab ,‬‬
‫‪L SD  t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t12 ,0.025  2.1788‬‬
‫‪238.8333‬‬
‫‪B4=O4‬‬
‫*‪25.16667‬‬
‫‪213.6667‬‬
‫‪B3=O3‬‬
‫‪9.5‬‬
‫*‪34.66667‬‬
‫‪204.1667‬‬
‫‪B2=O2‬‬
‫‪10.5‬‬
‫*‪35.66667‬‬
‫‪203.1667‬‬
‫‪B1=O1‬‬
‫קבוצות‪ )B1, B2, B3( :‬ו‪.B4 -‬‬
‫אם רוצים אורך חיים גבוה‪ ,‬נמליץ על טיפול ‪( B4‬תנור מסוג ‪.)4‬‬
‫המלצה סופית‪ :‬עבור אורך חיים גבוה יש לבחור סוג תנור ‪ 4‬וטמפרטורה ‪ 500‬מעלות‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫תוצאות הניסוי לבדיקת ההשפעה של סוגי הערות המנחה וסוגי יצירתיות של סטודנטים על ציון‬
‫בפרויקט גמר (בסקאלה מ‪ 0-‬עד ‪ )10‬נתונות בטבלה הבאה‪ ,‬כאשר לכל צירוף בוצעו ‪ 5‬מדידות‪:‬‬
‫הערות מפורטות ‪B3-‬‬
‫הערות קצרות ‪B2 -‬‬
‫ללא הערות ‪B1-‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫גורם ‪B‬סוג הערות‪ /‬גורם‬
‫‪A‬סוג יצירתיות‬
‫לא יצירתיים ‪A1 -‬‬
‫יצירתיים ‪A2-‬‬
‫נחשב ממוצע בכל תא‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫הערות ‪B3-‬‬
‫מפורטות‬
‫הערות קצרות ‪B2 -‬‬
‫‪y13  8‬‬
‫‪y12  4‬‬
‫‪y11  3‬‬
‫‪y 23  5‬‬
‫‪y 22  7‬‬
‫‪y 21  9‬‬
‫ללא הערות ‪B1-‬‬
‫גורם ‪B‬סוג הערות‪/‬‬
‫גורם ‪A‬סוג יצירתיות‬
‫לא יצירתיים ‪A1 -‬‬
‫יצירתיים ‪A2-‬‬
‫ פלט אקסל‬2 ‫דוגמה‬
Anova: Two-Factor With Replication
Total
B3- ‫ הערות‬B2 - ‫ הערות‬B1- ‫ללא‬
‫מפורטות‬
‫קצרות‬
‫הערות‬
15
75
5
6.285714
15
105
7
4.428571
5
40
8
1
5
25
5
2.5
5
20
4
2.5
SUMMARY
A1 - ‫לא יצירתיים‬
5Count
15Sum
3Average
1Variance
5
35
7
1.5
A2- ‫יצירתיים‬
5Count
45Sum
9Average
1.5Variance
10
10
65
55
6.5
5.5
4.055556 4.277778
Total
10Count
60Sum
6Average
11.11111Variance
21
‫דוגמה ‪ 2‬פלט אקסל‬
‫‪ANOVA‬‬
‫‪Source of‬‬
‫‪Variation‬‬
‫‪30Sample‬‬
‫‪df‬‬
‫‪SS‬‬
‫‪F‬‬
‫‪MS‬‬
‫‪P-value‬‬
‫‪F crit‬‬
‫‪1‬‬
‫‪30‬‬
‫‪18‬‬
‫‪4.259677 0.000285‬‬
‫‪5Columns‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪3.402826 0.243315‬‬
‫‪105Interaction‬‬
‫‪2‬‬
‫‪52.5‬‬
‫‪31.5‬‬
‫‪3.402826 1.94E-07‬‬
‫‪24‬‬
‫‪1.666667‬‬
‫‪40Within‬‬
‫‪180Total‬‬
‫‪29‬‬
‫מסקנות מטבלת ‪:ANOVA‬‬
‫שלב א'‪ :‬ניתן לראות שקיימת השפעה הדדית בין יצירתיות הסטודנטים להערות המנחה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬שני הגורמים האלו משפיעים על ציון בפרויקט‪ ,‬אך ההשפעה היא משותפת‪.‬‬
‫לכן לא ניתן לבדוק השפעה של כל גורם בנפרד ולא ניתן לבצע שלב ג' אלא יש צורך‬
‫לבצע שלב ב' – כניסה לפלחים‪.‬‬
‫אינטראקציה בין הגורמים הראשיים באה לידי ביטוי גם בתרשים פרופיליים בשקף הבא‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫דוגמה ‪ – 2‬תרשים פרופיליים‬
‫נבנה תרשים פרופיליים‪ .‬תרשים זה הינו תרשים של משתנה התלוי‬
‫ציון ממוצע‬
‫נגד רמות שונות של שני הגורמים‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫גורם ‪B‬‬
‫‪23‬‬
‫‪B3‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪B1‬‬
‫מסקנה מתרשים‪ :‬קווים חותכים זה את זה‪ ,‬הדבר מעיד על קיום‬
‫אינטראקציה בין הגורמים‪.‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫‪24‬‬
‫דוגמה ‪3‬‬
‫נזהה תחילה שמדובר בניתוח שונות דו‪-‬כיווני‪ :‬בניסוי מעוניינים לבדוק השפעה של שני‬
‫גורמים על משתנה תלוי "היקף מכירות של אבקת כביסה"‪ .‬הגורמים הינם גובה המדף‬
‫(גורם ראשון ‪ )A‬ורוחב המדף (גורם שני ‪ .)B‬בגורם ראשון יש ‪ 3‬רמות )‪(i=1,2,3; a=3‬‬
‫ובגורם שני יש ‪ 2‬רמות (‪ .)j=1,2; b=2‬לכל צירוף בין הרמות נמדדו ‪ 2‬תצפיות ( ;‪k=1,2‬‬
‫‪.)n=2‬‬
‫המודל של ניתוח שונות דו‪-‬כיווני הוא‪:‬‬
‫נבדוק השערות הבאות‪:‬‬
‫‪)1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪)3‬‬
‫‪25‬‬
‫דוגמה ‪ –3‬בניית טבלת ניתוח שונות‬
‫שלב א' נבנה טבלת עזר (טבלת ממוצעים)‪:‬‬
‫טבלת ממוצעים‪:‬‬
‫רחב‬
‫גובה‪ /‬רוחב‬
‫‪43‬‬
‫נמוך‬
‫‪69‬‬
‫בינוני‬
‫‪44‬‬
‫גבוה‬
‫‪52‬‬
‫ממוצע ‪B‬‬
‫רגיל‬
‫‪45‬‬
‫‪65‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫ממוצע ‪A‬‬
‫‪44‬‬
‫‪67‬‬
‫‪42‬‬
‫כעת נחשב שונויות‪:‬‬
‫‪131.6667 136.8333‬‬
‫נחשב סכומי ריבועים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪128.6667‬‬
‫‪N‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ 12 *128.6667  1544‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪SSA  N ‬‬
‫‪SSB  N  B  12 *1  12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SSA B  N  avg  SSA  SSB  12 *131.6667  1544  12  24‬‬
‫‪2‬‬
‫‪SST  N  T  12 *136.8333  1642‬‬
‫‪2‬‬
‫‪26‬‬
‫‪SSE  SST  SSA  SSB  SSA B  1642  1544  12  24  62‬‬
‫דוגמה ‪ –3‬בניית טבלת ניתוח שונות‬
‫שלב א' (המשך) נבנה טבלת ניתוח שונות‪:‬‬
‫מקור‬
‫גורם ‪A‬גובה‬
‫גורם ‪B‬רוחב‬
‫אינטראקציה ‪AB‬‬
‫שגיאות‬
‫סה"כ‬
‫‪SS‬‬
‫‪1544‬‬
‫‪12‬‬
‫‪24‬‬
‫‪62‬‬
‫‪1642‬‬
‫‪MS‬‬
‫דרגות חופש‬
‫‪772‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10.33333‬‬
‫‪6‬‬
‫‪11‬‬
‫סטטיסטי ‪ F‬קריטי ‪F‬‬
‫‪10.92477 74.70968‬‬
‫‪13.74502 1.16129‬‬
‫‪10.92477 1.16129‬‬
‫החלטה‬
‫דוחים‬
‫לא דוחים‬
‫לא דוחים‬
‫מסקנות מטבלת ‪:ANOVA‬‬
‫‪ (1‬שלב א'‪ :‬סטטיסטי המבחן בנוגע לאינטראקציה ‪ AB‬קטן מערך הקריטי‬
‫(‪ ,)1.61>10.92‬לכן לא נדחה את השערת האפס (השערה ‪ )1‬נאמר שברמת‬
‫מובהקות ‪ 0.01‬לא קיימת אינטראקציה בין גובה המדף ולרוחב המדף‪ .‬לכן נעבור‬
‫לשלב ג'‪.‬‬
‫‪ (2‬שלב ג'‪:‬‬
‫נבדוק האם יש השפעה של גובה המדף‪ ,74.709<10.92 :‬לכן נדחה את השערת האפס‬
‫(השערה ‪ )2‬ונאמר כי ברמת מובהקות ‪ 0.01‬גובה המדף משפיע על היקף המכירות‪.‬‬
‫נבדוק האם יש השפעה של רוחב המדף‪ ,1.16>13.74 :‬לכן לא נדחה השערת האפס‬
‫(השערה ‪ )3‬ונאמר כי ברמת המובהקות ‪ 0.01‬רוחב המדף אינו משפיע על היקף‬
‫‪27‬‬
‫המכירות‪.‬‬
‫דוגמה ‪ –3‬חלוקה לקבוצות הומוגניות‬
‫שלב ג' (המשך)‪:‬‬
‫היות ומצאנו שרק גורם ‪ A‬משפיע‪ ,‬על מנת להמליץ על גובה המדף המביא למקסימום את‬
‫היקף המכירות‪ ,‬נבצע חלוקה לקבוצות הומוגניות עבור גורם ‪.A‬‬
‫‪ 8.4271‬‬
‫‪2 *10.3333‬‬
‫‪ 3.7074‬‬
‫‪2 * M SE‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪2*2‬‬
‫מספר השוואות זוגיות שצריך לבצע‪.(3*2)/2=3 :‬‬
‫גבוה=‪A3‬‬
‫‪42‬‬
‫נמוך=‪A1‬‬
‫‪44‬‬
‫בינוני=‪A2‬‬
‫‪67‬‬
‫‪2‬‬
‫*‪23‬‬
‫*‪25‬‬
‫‪67‬‬
‫‪44‬‬
‫‪42‬‬
‫‪‬‬
‫‪N  ab ,‬‬
‫‪L SD  t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t 6 ,0.005  3.7074‬‬
‫בינוני=‪A2‬‬
‫נמוך=‪A1‬‬
‫גבוה=‪A3‬‬
‫קבוצות‪ )A1, A3( :‬ו‪.A2 -‬‬
‫המלצה‪ :‬להשגת היקף מכירות מקסימאלי‪ ,‬נמליץ לבחור גובה מדף בינוני‬
‫(טיפול ‪ .)A2‬לגבי רוחב המדף אנחנו אדישים‪ ,‬היות וגורם זה לא נמצא‬
‫משפיע‪ .‬לכן ניתן לבחור רוחב מדף כלשהו‪.‬‬
‫‪28‬‬

similar documents