Funktioner

Report

€
©
Matematikforløb med fokus på
Symbolbehandlingskompetencen
Varighed:
Arbejdsformer:
Stofområder:
Afslutningsopgave:
1 uge (47/48/49)
Fælles oplæg + gruppearbejde + differentieret individuelt arbejde
Variabel/konstant, ligninger, funktioner
Formuler en problemstilling inden for emnet ”Transport”, som
kan løses/belyses vha. funktioner og/eller ligningssystemer . Lav
en video der demonstrerer problemstillingen og dens løsning.
Stofområder:
Tal og algebra
Geometri
Funktioner
Statistik
Kombinatorik
Sandsynlighed
Mål for arbejdet med funktioner og ligninger
Uge 47-49 på Gentofte Ungdomsskole
• Definere en funktion – og kende forskel på formel, funktion og ligning samt på variabel
og konstant
• Lineær funktion:
- genkende en lineær funktion ud fra forskriften, afbilde den grafisk og kunne
finde funktionsforskriften ud fra et grafisk billede
- kende betydningen af ligefrem proportionalitet
- at kunne løse et ligningssystem (to ligninger med to ubekendte) såvel ved
beregning som ved grafisk afbildning
• Andengradsfunktionen:
- genkende andengradsfunktionen og afbilde den grafisk
- løse en andengradsligning ved beregning og ved grafisk løsning
- beregne toppunkt og kende betydningen af konstanterne i andengradsfunktion
• Hyperbelfunktionen:
- genkende hyperbelfunktionen og afbilde den grafisk
- kende betydningen af omvendt proportionalitet
• Vækstfunktioner:
- genkende vækstfunktioner og afbilde dem grafisk
- at kende vækstformlen
• Og VIGTIGST: at kunne anvende funktioner, formler og ligninger i dagligdags situationer
Vælg selv om du vil følge de
grønne, blå, røde eller sorte løjper. Du
kan også prøve lidt af hvert.
Du skal dog fra hver side løse mindst to
opgaver med samme farve.
De gule opgaver er
opvarmnings/træningsopgaver som
skal løses af alle – i grupper/individuelt
Skriftlig aflevering efter forløb 3:
1. Besvarelse af alle gule opgaver
2. Besvarelse af mindst to opgaver med samme farve fra siderne 6, 7, 9, og 11
3. Besvarelse af alle opgaver side 12
4. Besvarelse af afgangsprøveopgaverne side 14 og 15 samt de to opgaver side 16
Opgaverne skal afleveres elektronisk mandag den 3.dec.
Afslutningsopgave: (færdiggøres og vises fredag den 23. nov.)
1) Vælg en problemstilling inden for emnet ”Transport” som kan belyses/løses vha. funktioner.
2) Fremstil en video hvor problemstillingen og løsningen af den vises.
Afkodning
I en judoklub for børn er der D
drenge, P piger, T trænere og L
ledere. Hvad betyder følgende
formler?
a) D = P
b) T < L
c) D =2P
d) P = D + 10
e) T >0
f) D + P >T + L
g) D+P+T+L=110
h) ½(D + P) = 45
Oversætte
Find det tal der opfylder flg.:
Man trækker én fra det dobbelte
af tallet, og lægger tre til, og får
det samme som hvis man lagde to
til det tal, som er én mindre end
det tredobbelte af tallet.
Behandle
Afgør om følgende påstande er sande eller
falske. Du ved at r og s begge er positive tal, og
at s er større end r.
a) r − s > 0
b) s + r > s
c) s + r > 1
d) r/s > 1
e) s+r / r+s = 1
f) s – r / r – s < 0
g) s – r / s < 1
h) s + r / s > 1
Hvad kan være variable og hvad er konstanter i
flg. udtryk:
I hvilke af udtrykkene er de variable afhængige
af hinanden?
a) 2 + a
b) 4x + 2 – 3y
c) 5 +  - 2 + a
d) Areal = 3 * længden
e) 24 = bredde * længde
f) A = b * l
g) Arealet = højde * 4/2
h) 12 = højden * grundlinjen / 2
i) A = h * g / 2
j) O = 2*  * r
k) 3x2 -2y = x + 6 l) y = ax + b
Grøn 1
1)
2)
Skriv funktionsforskrift
for de fire linjer
Hvad er hældningstallet
for den gule linje linje
1.
2.
Beregn arealet af figur
ADPT
Parallelforskyd den
gule linje så den bliver
en ligefrem
proportionalitet. Hvad
er funktionsforskriften
for den nye linje
Blå 1
1)
Rød 1
1)
2)
3)
Skriv funktionsforskrift for de fire linjer
Hvad er hældningstallet for den grønne linje
Beregn skæringspunktet mellem den gule og den blå linje
Blå 2
Beregn arealet af figur BPN
1. Beregn arealet af
figur ADPT
1)
2)
3)
Grøn 2
Beregn
arealet af
figur ABN
2)
3)
Skriv funktionsforskrift for
de fire linjer
Hvad er hældningstallet for
den røde linje
Beregn skæringspunktet
mellem den røde og den
blå linje
Skriv funktionsforskrift for de fire linjer
Hvad er hældningstallet for den blå linje
Beregn skæringspunktet mellem den røde og den
grønne linje
Løs ligningssystemerne både ved
beregning og ved grafisk løsning.
Hvor mange løsninger er der?
y = 2x2 + x -17  y = x – 9
Y = ½x2 -2x +3  y + 3 = ½x (x-2)
Jens siger:
“Jeg har lige så mange
brødre som søstre“.
Hans søster siger:
“Og jeg har dobbelt så
mange brødre som søstre“.
Hvor mange piger og drenge
er der i familien?
Løs ligningssystemerne ved beregning
og tjek resultatet ved grafisk løsning:
y = -x + 1  y = ¼ x – 1½
y = 2x + 3  y = -2x -1
Omform og løs
ligningssystemerne ved
beregning og tjek resultatet
ved grafisk løsning:
3y + x = 9  y - 5x = -13
3y = 4x +33  2x – 6y +12 = 0
Omform og løs
ligningssystemerne ved
beregning og tjek
Blå 3
resultatet ved grafisk
løsning:
x + 2y = 5  11x + 6y = 3
x – 3y = -10  -2x + y = 10
Blå 4
25 rør med længder på 5m og 8m
blev lagt over en strækning på 155m.
Hvor mange rør blev der lagt
af samme slags?
Et rektangel er 10 m længere end det er bredt. Hvis
man afkorter længden med 5 m og øger bredden med
6 m, får man et rektangel hvis areal er
Sort 4
70 m2 større end det oprindelige areal.
Hvor langt og bredt er det oprindelige rektangel?
I et firma var der både
mænd og kvinder
blandt de 168 ansatte.
En ansat skulle holde
jubilæum, og der blev sat en
indsamling i gang.
Halvdelen af kvinderne gav
hver
10 kr., og en tredjedel af
mændene gav hver 15 kr.
Hvor meget kunne gaven
komme til at koste?
Vækstformlen:
Kn = K0 * ( 1 + p)n
En bank giver 2,7% i rente på en anfordringskonto.
• Skriv formlen for udregning af Kn for denne type konto
• Afgør hvilke dele af formlen der er konstante og hvilke der er variable
En person sætter 15.000 kr. ind på denne type konto.
• Skriv formlen for udregning af Kn.
• Afgør hvilke dele af formlen der nu er konstante og hvilke der er variable
•Hvor lang tid går der før de 15000 kr. er vokset til 16000 kr.
Eksponentiel
vækstfunktion:
y=
b*ax
a  0, b  0
XR
a  1 negativ vækst
a  1 positiv vækst
a = 1 ingen vækst
Eksponentialfunktion
(er en simpel vækstfunktion)
y= ax
dvs. b=1
Blå 5
To kapitaler hver på 1000 kr.
forrentes begge med 5% p.a.
den ene med halvårlig den
anden med helårlig
rentetilskrivning.
Afbild de to muligheder i et
koordinatsystem og find
forskellen på de to kapitaler
efter:
5 år, 10 år, 20 år, 30 år
a)
b)
c)
Hvad er bedst? En kapital på:
100 kr. til 10% p.a., 50 kr. til 20% p.a. eller 25 kr. til 40% p.a.
a)
b)
Afbild de tre muligheder i et koordinatsystem
Aflæs, hvilken af de tre muligheder, der er bedst på
kort sigt og hvilken, der er bedst på lang sigt.
En bakteriekultur forøges med 10%
i timen. Efter 15 timer bevirker et
giftstof, at væksten standses, og
derefter formindskes
bakteriekulturen med 40% i timen.
Hvor mange timer går der (ca.) før end antallet af bakterier er nede på
det oprindelige niveau?
Sort 5
Hvor lang tid går der, før end bakteriekulturen er udryddet?
Tegn forløbet i et koordinatsystem (Geogebra)
Grøn
6
Omkredsen af et kvadrat
forøges med 10%
a) Hvor mange
procent forøges
sidelængden med?
b) Hvor mange
procent forøges en
diagonal med
c)
Hvor mange
procent forøges
arealet med?
Blå 6
En cirkels radius forøges
med 10%
a) Hvor mange procent
forøges diameteren
med?
b) Hvor mange procent
forøges omkredsen
med?
c)
Hvor mange procent
forøges arealet med?
Rød 5
Grøn
5
Afbild funktionerne i Geogebra:
y=2x
y= 3x
y=1x
y=xx
Definer Værdimængden Vm(f) når
Dm(f) = R+
Definer Værdimængden Vm(f) når
Dm(f) = RSort 6
Rød 6
Kantlængden i en
terning forøges med
10%
a) Hvor mange
procent forøges
den samlede
overflade med?
b) Hvor mange
procent forøges
rumfanget med?
Et rektangel har længden
10 cm og bredden 5 cm
a) Find omkredsen og
arealet
b) Alle 4 sider forøges
med 20%. Hvor
mange procent blev
omkredsen forøget
med?
c)
Hvor mange procent
blev arealet forøget
med?
y = ax2 + bx + c
Andengradsfunktionen

Forskriften for en andengradsfunktion
Fx: y = -3x2 + 2x + 5
y = -x2 + ½x -3
y = 7x2 – x
y = x2
(a= -3, b= 2, c= 5)
(a = -1, b= ½, c =-3)
(a = 7, b = -1, c = 0)
(s = 1, b = 0, c = 0)
Tegn de fire funktioner ind i geogebra. Giv dem hver sin farve, så det er nemt
at skelne dem fra hinanden.
Diskuter og besvar flg.:
1) Hvilken betydning har a, b og c for grafens udseende/beliggenhed
2) Hvilke af parablerne har en mindsteværdi og hvilke har en størsteværdi?
3) Hvilken talmængde kan a, b og c tilhøre?
4) Hvor mange skæringspunkter har hver af de fire parabler med x-aksen?
5) Hvorfor er der et billede af en kanon og en kuglestøder på denne side?
Rød
7
Tegn disse tre funktioner i et koordinatsystem (i geogebra)
a) y = x2 + 2x + 3
b) y = -2x2 +2x + 6
Sort 7
c) y = 4x – 3
Opgave:
1) Find grafernes indbyrdes skæringspunkterne
2) Find deres nulpunkter (skæring med x-aksen)
3) Find toppunkt for de to parabler
4) Skriv forskriften for de to parablers
symmetriakse
5) Lav en beregning der bekræfter to af
skæringspunkterne (fra opg. 1)
Sort
Grøn
8
Skriv en funktionsforskrift
for sammenhængen
mellem en cirkels radius
og dens areal.
Tegn det grafiske billede
af funktionen i geogebra
To parabler har ligningerne:
y=-2x2
y=2x2+3
a) Find et evt. maximums- og minimumspunkt for de
to parabler
b) I hvilke intervaller på x-aksen er de voksende og i
hvilke er de aftagende?
c) Parablerne spejles i x-aksen. Skriv de formler, der
fremkommer for de nye parabler
8
Lav en forskrift for en genstands
faldlængde som funktion af
dens faldtid. Du skal bruge
tyngdeaccelerationen g som er
9,81m/s2 og formlen t =  2h/g
Blå
8
Rød
8
Hvor skærer disse parabler x-aksen og y-aksen:
a) y=x2-2x-3
b) y=3x2-6x-45
c) y=x2-2x+3
d) y=-½x2-3½x-5
e) y=x2-10
f) y=x2-4x-4
Grøn
7 8
Blå
7
Tegn disse tre funktioner i et koordinatsystem
(i geogebra):
a) x= -2
b) y = -2x2
c) y= 2x2+3
Opgave:
1) Aflæs skæringspunkterne ml linjen og de
to parabler
2) Aflæs parablernes toppunkter
3) Skriv forskriften for parablernes
symmetriakser
Andengradsligning
Ligning:
ax2 +bx +c = 0
Diskriminanten
D = b2 – 4ac
D  0, ligningen har to rødder
D  0, ligningen har ingen rødder
D = 0, ligningen har 1 rod
Løsning:
Alle løser alle
6 ligninger
Opgave 1:
Løs ligningen 2x2 – 10x +8 = 0
og beregn toppunktet
Opgave 2:
Løs ligningen –x2 – 6x – 8 =0
Og beregn toppunktet
Opgave 3:
Løs ligningen
x2 +10x +26 = 0
Og beregn toppunktet
Opgave 4:
Løs ligningen
x2 -14x + 49 = 0
Og beregn toppunktet
Toppunkt:
Opgave 5:
Løs ligningen
6x = -x2 - 9
Og beregn toppunktet
Opgave 6:
Løs ligningen
4x -x2 = 5
Og beregn toppunktet
Omvendt proportionalitet - hyperbelfunktionen
Sammenhængen mellem afstand, tid og hastighed kan
udtrykkes ved formlen:
hastighed = afstand/tid
v= a/t
Hvis afstanden er kendt (en konstant) vil det være
omvendt proportionalitet. (jo større t er, jo mindre er v)
En hyperbel kan også have formen:
Der er så ikke tale om omvendt proportionalitet
Opgave:
1. Find mindst fire andre sammenhænge hvor der er tale om omvendt proportionalitet. Skriv
dem som funktionsforskrift. Hvad er konstant, hvad er afhængig variabel, hvad er uafhængig
variabel.
2. Vælg en af dem og indtegn i et koordinatsystem for forskellige værdier af konstanten i
funktionen.
3. Er der asymptoter
Man kan beskrive en hyperbel ved at angive:
• symmetrilinjer og deres skæringspunkt
• skæring med akserne
• for hvilke værdier hyperblen ikke er defineret
Beskriv hyperblerne:
Sammenhæng mellem isens tykkelse i cm og
dens bæreevne i kg/cm2
Isens tykkelse i cm
Isens bæreevne i kg/cm2
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
En badmintonklub har flg. medlemspriser:
Børne- og ungdomsspillere (til og med 16 år):
Voksne (17 år og derover):
Tilmeldingsgebyr: 100 kr..
Pr måned i 9 mdr.: 75 kr..
Tilmeldingsgebyr: 200 kr..
Pr måned i 9 mdr.: 125 kr..
Hvilke to regneudtryk kan bruges til at beregne klubbens årlige medlemsindtægter?
a) I = (100 + 75)*x + (200 + 125)*y
b) I = (75*x + 100)*9 + (125*y + 200)*9
c) I = 75*x*9 + 100*x + 125*y*9 + 200*y
d) I = (75*9 + 100)*x + (125*9 +200)*y
e) I = 75*9 + 100*x + 125*9 + 200*y
f) I = 300 *xy + 200*9*xy
Skyer kan kun give regn, hvis de indeholder iskrystaller.
Luftens temperatur er afhængig af dens højde over havoverfladen. Indtil den
endnu ikke er fortættet til vanddråber, gælder formlen: t= -0,01*h + 15
h = højden over havoverfladen målt i m
t = temperaturen målt i grader
a) Hvad udtrykker tallet 15 i formlen
b) Tegn t(h) i et koordinatsystem (Geogebra)

similar documents