Pithot dan Pivot

Report
+
.
Teorema Pithot :
Suatu lingkaran yang dapat digambarkan dalam
segiempat ABCD konveks, jika dan hanya jika dipenuhi:
Bukti:
Gambarkan sesuai dengan skenario soal. Misalkan titik
singgung lingkaran pada sisi-sisi AB, BC, CD, DA
berturut-turut E,F,G dan H, maka berlaku:
Karena
Jadi:
Teorema pivot:
Diberikan segitiga ABC dan titik-titik L, M, N dipilih
berturut-turut pada sisi-sisi BC, CA dan AB (tidak pada
titik sudutnya).
Maka lingkaran-lingkaran AMN, BNL dan CLM
berpotongan di titik P, yang disebut titik pivot.
Bukti:
Andaikan P di dalam segitiga ABC.
Misalkan pula bahwa lingkaran-lingkaran yang melalui
BNL dan CLM berpotongan di P.
Karena BNPL cyclic, maka
demikian juga CMPL cyclic, maka
,
Mengingat,
berarti: AMPN cyclic,
jadi lingkaran AMN melalui P.
Teorema Pivot, disebut juga sebagai teorema Miquel.
Beberapa contoh soal untuk bahan diskusi
1. Diberikan segitiga ABC; melalui sisi-sisi AB,BC dan
CA berturut-turut dibuat segitiga sama sisi (dalam
arah keluar) ABF, BCE dan CAD.
Buktikan bahwa:
(a) AE = BD = CF
(b) AE, BD dan CF konkuren
(c) Segitiga KLM sama sisi, jika K,L dan M berturutturut circum center dari segitiga-segitiga: CAD,
ABF dan BCE
2. Diberikan segitiga ABC sama sisi, titik P di
dalamnya. Buktikan bahwa jumlah jarak dari P ke
sisi-sisi segitiga ABC konstan.
3. Diberikan segitiga ABC dan titik-titik L,M,N
berturut-turut pada sisi-sisi BC, CA dan AB.
Andaikan lingkaran-lingkaran AMN, BNL, CLM
berturut-turut berpusat di OA , OB dan OC.
Buktikan bahwa segitiga-segitiga: OA OB OC
dan ABC sebangun.

similar documents