GTR im Mathematikunterricht an allgemeinbildenden Schulen

Report
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht
der gymnasialen Oberstufe
Unterrichtlicher
Mehrwert
Sek. II
Einsatzmöglichkeiten
Sek. I
Rechtliche
Grundlagen
Einsatz
des GTR
in der Sek. II
Funktionalitäten
des GTR
Fortbildungsmöglichkeiten
1
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Vorschläge zur
Einführung
Finanzierungsmodelle
Fachübergreifende
Möglichkeiten
Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb
mathematischer Kompetenzen.
Reduktion
schematischer
Abläufe
Verständnisförderung durch
Visualisierung
Entdecken
mathematischer
Zusammenhänge
Kontrolle von
Ergebnissen
2
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Konzentration auf
den mathematischen Kern
eines Problems
Unterstützung von
begriffsbildendem
Arbeiten
Verarbeitung
größerer
Datenmengen
Experimentieren
und Erkunden
 Übersicht
Rechtliche Grundlagen
3
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Rechtliche Grundlagen
Verpflichtung zum Einsatz des graphikfähigen Taschenrechners
(GTR) ab dem Schuljahr 2014/15 (Erlass vom 27.6.2012)
• in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasien, Gesamtschulen,
Weiterbildungskollegs, Waldorfschulen)
• im Beruflichen Gymnasium
Alternativ weiterhin möglich:
• Einsatz von Computer-Algebra-Systemen (CAS)
4
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Rechtliche Grundlagen
Konsequenz für Zentralabitur und zentrale Klausuren
• Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017
• Einsatz des GTR bereits in der zentralen Klausur am Ende der
Einführungsphase ab dem Schuljahr 2014/2015 vorgesehen
(Gesamtschulen, Gymnasien und Weiterbildungskollegs)
• Vorgaben zum Zentralabitur und zu den zentralen Klausuren
(CAS-Aufgabensatz sowohl für die zentrale Klausur als auch für das
Zentralabitur 2017)
6
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Rechtliche Grundlagen
Nutzung eines CAS
• Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein CAS mit
erweiterter Funktionalität einführen.
• Im Zentralabitur wird weiterhin CAS als Hilfsmittel zugelassen.
• Die Entscheidung zwischen CAS und GTR liegt in der
Verantwortung der Schule.
7
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Rechtliche Grundlagen
Einführung des GTR in der Sekundarstufe I
• GTR-Einsatz für alle Schulformen in der Sek. I möglich
• keine Verpflichtung, Schule entscheidet über Zeitpunkt und
Klassenstufe der GTR-Einführung in der Sek. I
• Wenn alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse in der Sek. I einen
GTR zur Verfügung haben, kann er auch mit allen Funktionen
genutzt werden.
8
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Rechtliche Grundlagen
Verpflichtung zur Anschaffung des GTR in der gymnasiale
Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium
• Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der
persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler.
• Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den
Erziehungsberechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und
Schülern.
Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells
mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender
Information und Beteiligung der schulischen
Mitwirkungsgremien.
9
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Rechtliche Grundlagen
Taschenrechnermodelle
• Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle
• Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und
weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in
Prüfungen gerecht werden.
• Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer
Funktionalität vergleichbar sein.
• Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch
ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert.
• Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht
sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes
Modell.
10
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Vorschläge zur
Einführung des GTR
an der Schule
11
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Vorschläge zur Einführung des GTR
Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan
Ab Frühjahr 2013:
• Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines GTRModells
– Beachtung der geforderten Funktionalitäten
– Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der
Hersteller/Händler
– Überlegungen zu einem Einsatz des GTR bereits in der S I,
ggf. gestufte Einführung
– Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit,
Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools)
12
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Hinweise zur Einführung des GTR
• Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung
fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten
• Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem
Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und
Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der
Schülervertretung und des Fördervereins)
• Beschluss der Fachkonferenz Mathematik als Empfehlung zur
Einführung des ausgewählten GTR-Modells
• Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien
• Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR-Einsatz
13
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Hinweise zur Einführung des GTR
Ab September 2013:
• Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien
• Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen
• Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR-Einsatz im
Mathematikunterricht
Zum Beginn des Schuljahres 2014/15:
• Nutzung des GTR im Rahmen des erarbeiteten
Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen
14
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Funktionalitäten
des GTR
15
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Funktionalitäten des GTR
Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II
I. Wertetabellen und Listen
• Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen
• graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als
Punktwolke)
II. Analysis
• Graphische Darstellung von
o Funktionen
o Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelle
o Integralfunktionen
• Variieren von Parametern von Funktionstermen
16
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Funktionalitäten des GTR
• Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch
Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer
Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte
zweier Funktionsgraphen)
• Numerische Berechnungen
o Ableitung einer Funktion an einer Stelle
o bestimmte Integrale
o Lösen von Gleichungen
17
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Funktionalitäten des GTR
III. Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten)
• Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen
• Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen
Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform
einer erweiterten Koeffizientenmatrix
Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6)
• Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen
• Matrizenmultiplikation
• Potenzieren quadratischer Matrizen
18
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Funktionalitäten des GTR
IV. Stochastik
• Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert,
Standardabweichung)
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– Erstellen von Histogrammen
– Variieren der Parameter
– Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert,
Standardabweichung)
• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und
normalverteilten Zufallsgrößen
• Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten
• Generieren von Listen mit Zufallszahlen
19
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Finanzierungsmodelle
20
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Finanzierungsmodelle
Kauf
Miete
Ausleihe
Soziale Komponente
In der Schulpraxis bieten sich oft Mischmodelle an.
21
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Finanzierungsmodelle
Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells
Kaufmodell
• Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig)
– vergünstigte Konditionen
– Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich
– Freigeräte
• Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur
Verfügung gestellt
• Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit
• Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte
GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten)
22
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Finanzierungsmodelle
Beispiel 2: Variante eines Mietmodells
Mietmodell
• Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an
– vergünstigte Konditionen
– Freigeräte
• Anschubfinanzierung durch den Förderverein
• Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR
• Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und
Erziehungsberechtigten
• Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der
Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR
ausgeliehen.
23
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Finanzierungsmodelle
24
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Finanzierungsmodelle
Beispiel 3: Mischmodell
Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen:
• Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule
• Mieten des Gerätes von der Schule
• Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung
Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein
der Schule die Mietkosten.
Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen)
25
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Unterrichtlicher
Mehrwert in der S II
26
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Übersicht über die Beispiele
27
1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
5
EF, Q1
Extremwertprobleme
9
Q1
Lage von Gerade und
Ebene zueinander
(LGS lösen)
2
Q1
Ein Weg zur
linearen Regression
6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
10
Q2
Arbeiten mit
Übergangsmatrizen
3
EF
Entdecken der
Potenzregel
7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
8
Q1, Q2
Ein Weg zur e-Funktion
12
Q2
Ein Weg zum
Vertrauensintervall
 Übersicht
Beispiel 1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
Der GTR …
Zu einer offenbar nicht linearen
Entwicklung wird ein neues, nicht
quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Bierschaumzerfall
28
•
nimmt die Daten auf (Tabelle),
•
zeigt die Punktwolke
(Streudiagramm),
•
zeigt Graph zu neuem Modell
(nicht linear, nicht quadratisch),
•
übernimmt weitere Rechnungen
(„Wie lange dauert es, bis …“)
Schokolinsenabnahme
Abkühlungsprozesse
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 1
EF
Modellieren mit
Exponentialfunktionen
Der GTR …
Zu einer offenbar nicht linearen
Entwicklung wird ein neues, nicht
quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Bierschaumzerfall
29
•
nimmt die Daten auf (Tabelle),
•
zeigt die Punktwolke
(Streudiagramm),
•
zeigt Graph zu neuem Modell
(nicht linear, nicht quadratisch),
•
übernimmt weitere Rechnungen
(„Wie lange dauert es, bis …“)
Schokolinsenabnahme
Abkühlungsprozesse
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
30
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Ein mögliches
Modell:
Funktionsterm
5.
Ziel: Zeit bis
„Höhe“ 0,5
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
6.
Wertetabelle
zu Y1
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
31
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Ein mögliches
Modell:
Funktionsterm
5.
Ziel: Zeit bis
„Höhe“ 0,5
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
6.
Wertetabelle
zu Y1
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 2
EF
Ein Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B.
Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein
lineares Modell gesucht, das diesen
Datensatz „optimal“ beschreibt.
32
Der GTR
•
zeigt das Streudiagramm und die
Lage der ersten Modelle,
•
berechnet Qualitätskriterien,
•
berechnet die Parameter für die
optimale Ausgleichsgerade (m, b),
•
zeigt den optimalen Graphen, und
•
berechnet Residuen bzw.
Abweichungssummen.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 2
EF
Ein Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B.
Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein
lineares Modell gesucht, das diesen
Datensatz „optimal“ beschreibt.
33
Der GTR
•
zeigt das Streudiagramm und die
Lage der ersten Modelle,
•
berechnet Qualitätskriterien,
•
berechnet die Parameter für die
optimale Ausgleichsgerade (m, b),
•
zeigt den optimalen Graphen und
•
berechnet Residuen bzw.
Abweichungssummen.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die originalen
Daten
2.
Das Streudiagramm
34
3.
Ein erster
Versuch für eine
Ausgleichsgerade
4.
Eine erste
Evaluation:
Quadratsumme
 Übersicht Beispiele
5.
Ein besseres
Modell
(oder
GTR-Regression)
6.
Eine weitere
Evaluation
 Übersicht
1.
Die originalen
Daten
2.
Das Streudiagramm
35
3.
Ein erster
Versuch für eine
Ausgleichsgerade
4.
Eine erste
Evaluation:
Quadratsumme
 Übersicht Beispiele
5.
Ein besseres
Modell
(oder
GTR-Regression)
6.
Eine weitere
Evaluation
 Übersicht
Beispiel 3
EF
Entdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken,
wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2
bis x4) mittlere Änderungsraten
berechnet (z.B. mit h = 0,1) und
graphisch darstellt?
Der GTR …
•
berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem
ausgewählten Intervall 10 – 12
mittlere Änderungsraten,
•
plottet diese Daten zusammen mit
der Potenzfunktion,
•
Als Modell für die Änderungsraten
bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw.
Im Vergleich ergibt sich eine belastbare
Vermutung zur Potenzregel. Anschließen
wird sich der algebraische Beweis.
36
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 3
EF
Entdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken,
wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2
bis x4) mittlere Änderungsraten
berechnet (z.B. mit h = 0,1) und
graphisch darstellt?
Der GTR …
•
berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem
ausgewählten Intervall 10 – 12
mittlere Änderungsraten,
•
plottet diese Daten zusammen mit
der Potenzfunktion,
•
Als Modell für die Änderungsraten
bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw.
Im Vergleich ergibt sich eine belastbare
Vermutung zur Potenzregel. Anschließen
wird sich der algebraische Beweis.
37
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
38
1.
Der Graph zu
f(x) = x4
4.
Der Plot der
Änderungsraten
2.
Die Stützstellen
5.
Bildungsgesetz für die
Änderungsraten
(1. Versuch: x3)
3.
Die Änderungsraten
6.
(2. Versuch: 4x3)
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
39
1.
Der Graph zu
f(x) = x4
4.
Der Plot der
Änderungsraten
2.
Die Stützstellen
5.
Bildungsgesetz für die
Änderungsraten
(1. Versuch: x3)
3.
Die Änderungsraten
6.
(2. Versuch: 4x3)
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
Der GTR …
•
liefert eine erste wertemäßige
Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
•
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf
lokale Eigenschaften, z.B.
berechnet Nullstellen und
Ableitungen an isolierten Stellen,
•
zeigt die Ableitungsfunktion,
•
Nullstellen
•
•
Hoch-/Tiefpunkte
•
Wendepunkte
berechnet die (lokalen)
Extremstellen und die
Wendestellen,
•
zeigt ggf. Tangenten, u.a. die
(den Graphen schneidende!)
Wendetangente.
hin untersucht werden.
40
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 4
EF
Elemente einer
Kurvendiskussion
Der GTR …
•
liefert eine erste wertemäßige
Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
•
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf
lokale Eigenschaften, z.B.
berechnet Nullstellen und
Ableitungen an isolierten Stellen,
•
zeigt die Ableitungsfunktion,
•
Nullstellen
•
•
Hoch-/Tiefpunkte
•
Wendepunkte
berechnet die (lokalen)
Extremstellen und die
Wendestellen,
•
zeigt ggf. Tangenten, u.a. die
(den Graphen schneidende!)
Wendetangente.
hin untersucht werden.
41
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
42
1.
Der Graph
4.
Die Ableitung an
isolierten Stellen
7.
Der Hochpunkt
2.
Das Ablaufen
mit „Trace“
(erste Näherung)
5.
Der Ableitungsbefehl
8.
Die Wendestellen
3.
Die Nullstellen
6.
Der Ableitungsgraph
9.
Die Wendetangente(n)
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
43
1.
Der Graph
4.
Die Ableitung an
isolierten Stellen
7.
Der Hochpunkt
2.
Das Ablaufen
mit „Trace“
(erste Näherung)
5.
Der Ableitungsbefehl
8.
Die Wendestellen
3.
Die Nullstellen
6.
Der Ableitungsgraph
9.
Die Wendetangente(n)
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 5
EF, Q1
Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale
Lösung gefunden und evaluiert werden.
44
Der GTR …
•
zeigt den Graphen der Zielfunktion,
•
berechnet ein (numerisches)
Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man,
inwieweit die Randwerte für die Lösung
des Sachproblems von Bedeutung sind.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 5
EF, Q1
Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale
Lösung gefunden und evaluiert werden.
45
Der GTR …
•
zeigt den Graphen der Zielfunktion,
•
berechnet ein (numerisches)
Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man,
inwieweit die Randwerte für die Lösung
des Sachproblems von Bedeutung sind.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
2.
Die Zielfunktion
1.
Das Problem
3.
der Graph
und sein Hochpunkt
46
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
2.
Die Zielfunktion
1.
Das Problem
3.
der Graph
und sein Hochpunkt
47
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand
der Modellfunktion Berechnungen
durchgeführt werden, bei denen die
Orientierung der Flächen eine Rolle
spielt, z. B.
• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.
• „Menge an gepumptem Wasser“
48
Der GTR …
•
berechnet die Bilanz der
beteiligten Flächen
(„Veränderung im Becken“)
•
berechnet mithilfe der
Betragsfunktion die
„echte/bilanzfreie“ Fläche
(„Menge gepumpten Wassers“),
•
zeigt anhand des Graphen eine
Veranschaulichung dieser beiden
Standardsituation.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 6
Q1
Berechnen von Integralen
(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand
der Modellfunktion Berechnungen
durchgeführt werden, bei denen die
Orientierung der Flächen eine Rolle
spielt, z. B.
• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.
• „Menge an gepumptem Wasser“
49
Der GTR …
•
berechnet die Bilanz der
beteiligten Flächen
(„Veränderung im Becken“)
•
berechnet mithilfe der
Betragsfunktion die
„echte/bilanzfreie“ Fläche
(„Menge gepumpten Wassers“),
•
zeigt anhand des Graphen eine
Veranschaulichung dieser beiden
Standardsituation.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Der Funktionsterm
4.
Der neue Term
50
2.
Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“
(Änderungsrate)
5.
Der neue Graph
 Übersicht Beispiele
3.
„Die Veränderung
nach 5 Minuten“
6.
„In den 5 Minuten
bewegte
Wassermenge“
 Übersicht
1.
Der Funktionsterm
4.
Der neue Term
51
2.
Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“
(Änderungsrate)
5.
Der neue Graph
 Übersicht Beispiele
3.
„Die Veränderung
nach 5 Minuten“
6.
„In den 5 Minuten
bewegte
Wassermenge“
 Übersicht
Beispiel 7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte
schwerer zu greifen als die
bestimmten Integral, die gut
veranschaulicht werden können.
52
Die Integralfunktion kann genutzt
werden, …
•
um die Bilanzierungseigenschaft
des Riemann-Integrals zu
vertiefen,
•
ggf. den Hauptsatz vor- oder
nachzubereiten,
•
Grenzen für ein Integral (bei
vorgegebener Fläche bzw.
Bilanz) zu berechnen.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 7
Q1
Untersuchung von
Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte
schwerer zu greifen als die
bestimmten Integral, die gut
veranschaulicht werden können.
53
Die Integralfunktion kann genutzt
werden, …
•
um die Bilanzierungseigenschaft
des Riemann-Integrals zu
vertiefen,
•
Grenzen für ein Integral (bei
vorgegebener Fläche bzw.
Bilanz) zu berechnen,
•
ggf. den Hauptsatz vor- oder
nachzubereiten.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
54
1.
Der Randgraph
4.
„Ist es schon 1?“
Flächeninhalt
von 0 bis b sei 1
2.
Eingabe der
Integralfunktion,
Start bei a = 0
5.
Lösung mittels
Schnittpunkten
von Funktionen
3.
Der Graph der
Integralfunktion
(a = 0, a = -1)
6.
Lösung mittels
Wertetabelle
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
55
1.
Der Randgraph
4.
„Ist es schon 1?“
Flächeninhalt
von 0 bis b sei 1
2.
Eingabe der
Integralfunktion,
Start bei a = 0
5.
Lösung mittels
Schnittpunkten
von Funktionen
3.
Der Graph der
Integralfunktion
(a = 0, a = -1)
6.
Lösung mittels
Wertetabelle
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 8
Q2
Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem
Zusammenhang zwischen einer
Exponentialfunktion und ihren
Ableitungen.
56
Der GTR …
•
berechnet für y = 2x (und y = 3x)
an ausgewählten Stellen mittlere
Änderungsraten,
•
führt mithilfe einerTabellierung zu
der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
•
ermöglicht mittels einer
graphischen Darstellung eine
erste Näherung für e:
Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 8
Q2
Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem
Zusammenhang zwischen
Exponentialfunktion und ihren
Ableitungen.
57
Der GTR …
•
berechnet für y = 2x (und y = 3x)
an ausgewählten Stellen mittlere
Änderungsraten,
•
führt mithilfe einer Tabellierung zu
der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
•
ermöglicht mittels einer
graphischen Darstellung eine
erste Näherung für e:
Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
58
1.
Stützstellen,
Funktionswerte,
Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.
Der Graph zu
f(x) = 2x und die
Änderungsraten
5.
b=3
Graph
2.
Quotientenprobe
4.
Variation der Basis:
b=3
Quotientenprobe
6.
gezielte Suche:
b = 2.7
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
59
1.
Stützstellen,
Funktionswerte,
Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.
Der Graph zu
f(x) = 2x und die
Änderungsraten
5.
b=3
Graph
2.
Quotientenprobe
4.
Variation der Basis:
b=3
Quotientenprobe
6.
gezielte Suche:
b = 2.7
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 9
Q1
Lage von Gerade und Ebene
zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden
Parameterformen zu den drei
möglichen Fällen. Bekannt sei das
algebraische Verfahren:
Lösen eines LGS mit dem GaussAlgorithmus.
60
Der GTR …
•
übernimmt die (normierte)
Koeffizientenmatrix
•
berechnet zu der Koeffizientenmatrix die zugehörige Dreiecksbzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte
Ablesen der drei möglichen Fälle.
Zudem liefert sie, falls ein
Schnittpunkt existiert, die benötigten
Parameter.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 9
Q1
Lage von Gerade und Ebene
zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden
Parameterformen zu den drei
möglichen Fällen. Bekannt sei das
algebraische Verfahren:
Lösen eines LGS mit dem GaussAlgorithmus.
61
Der GTR …
•
übernimmt die (normierte)
Koeffizientenmatrix
•
berechnet zu der Koeffizientenmatrix die zugehörige Dreiecksbzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte
Ablesen der drei möglichen Fälle.
Zudem liefert sie, falls ein
Schnittpunkt existiert, die benötigten
Parameter.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
2.
g schneidet E
(in genau einem Punkt)
1.
Die drei Fälle
3.
g ist echt parallel
zu E
4.
g liegt in E
62
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
2.
g schneidet E
(in genau einem Punkt)
1.
Die drei Fälle
3.
g ist echt parallel
zu E
4.
g liegt in E
63
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 10
Q2
Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll
genutzt werden, um den ebenfalls
gegebenen Systemzustand
kurzfristig, langfristig oder
rückwirkend zu modellieren und ggf.
einen Fixvektor zu bestimmen.
64
Der GTR …
• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,
• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,
• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 10
Q2
Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll
genutzt werden, um den ebenfalls
gegebenen Systemzustand
kurzfristig, langfristig oder
rückwirkend zu modellieren und ggf.
einen Fixvektor zu bestimmen.
65
Der GTR …
• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,
• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,
• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die Übergangsmatrix
2.
Die Verteilung
zu Beginn
3.
Die Verteilung
nach 1 Tag
66
4.
Die Verteilung
am Ende der Woche
7.
Fixvektor,
Schritt I
5.
Die Verteilung
nach 1 Monat
8.
Fixvektor,
Schritt II
6.
Hatte die
Startverteilung
einen Vorlauf?
9.
Fixvektor,
Schritt III
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die Übergangsmatrix
2.
Die Verteilung
zu Beginn
3.
Die Verteilung
nach 1 Tag
67
4.
Die Verteilung
am Ende der Woche
7.
Fixvektor,
Schritt I
5.
Die Verteilung
nach 1 Monat
8.
Fixvektor,
Schritt II
6.
Hatte die
Startverteilung
einen Vorlauf?
x1 - 0.91x4 = 0
9.
…
x1 Fixvektor,
+ x2 + x 3 + x4 = 1
x4  0,42
Schritt
IIIx3  0,09
 x1  0,39,
x2  0,1,
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den
Werteverlauf einer binomialverteilten
Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man
diese beiden Werte für eine „Normierung“
nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“,
wenn man den Graphen
•
um µ Einheiten nach links verschiebt,
•
dann mit σ in x-Richtung staucht und
•
zur Kompensation in y-Richtung mit σ
streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
f ( x)  0,4  e
68
 Übersicht Beispiele

1 2
x
2
 Übersicht
Beispiel 11
Q1, Q2
Ein Weg zur
Normalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den
Werteverlauf einer binomialverteilten
Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man
diese beiden Werte für eine „Normierung“
nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“,
wenn man den Graphen
•
um µ Einheiten nach links verschiebt,
•
dann mit σ in x-Richtung staucht und
•
zur Kompensation in y-Richtung mit σ
streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
f ( x)  0,4  e
69
 Übersicht Beispiele

1 2
x
2
 Übersicht
70
1.
Die Grunddaten
und Kenngrößen
3.
Die neu berechneten
Werte
5.
Ein weiteres Beispiel
mit neuen Werten
für n und p
2.
Die Werte der
Verteilung
4.
Die graphische
Darstellung
6.
Die Modellfunktion
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
71
1.
Die Grunddaten
und Kenngrößen
3.
Die neu berechneten
Werte
5.
Ein weiteres Beispiel
mit neuen Werten
für n und p
2.
Die Werte der
Verteilung
4.
Die graphische
Darstellung
6.
Die Modellfunktion
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 12
Q1, Q2
Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine
Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von
1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“
sein, bei der Wahl 50% der Stimmen
zu bekommen?
72
Der GTR
•
berechnet mit Hilfe der σ-Regeln,
für welche Werte von p die
gegebene Häufigkeit in der 2σUmgebung liegt,
•
unterstützt mit einer graphischen
Darstellung vertiefende Analysen,
z. B. zu algebraischen Modellen
(Funktionen) für die Ellipse.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 12
Q1, Q2
Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine
Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von
1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“
sein, bei der Wahl mindestens 50%
der Stimmen zu bekommen?
73
Der GTR
•
berechnet mit Hilfe der σ-Regeln,
für welche Werte von p die
gegebene Häufigkeit in der 2σUmgebung liegt,
•
unterstützt mit einer graphischen
Darstellung vertiefende Analysen,
z. B. zu algebraischen Modellen
(Funktionen) für die Ellipse.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.
die 2σ-Umgebungen
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.
… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.
graphische
Darstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.
graphische
Darstellung
für 0 ≤ p ≤ 1
6.
Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionen
und Schnittpunkten
74
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.
die 2σ-Umgebungen
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.
… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.
graphische
Darstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.
graphische
Darstellung
für 0 ≤ p ≤ 1
6.
Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionen
und Schnittpunkten
75
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Ein GTR im Mathematikunterricht
unterstützt u.a.:
Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten
3
8
Begriffsbildendes Arbeiten
2 Regression
12 Vertrauensintervall
Wechsel zwischen Darstellungsformen:
Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph
7
1
Integralfunktion
Exponentialfunktion
Reduktion von Routine-Algorithmen:
mehr Zeit für vertiefendes Verständnis
4
6
9
10
Kurvendiskussion
Integration
LGS
Übergangsmatrizen
Modellieren,
außer- und innermathematisch
5
11
Extremwerte
Normalverteilung
76
Potenzregel
e , e-Funktion
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Einsatzmöglichkeiten
in der S I
77
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Übersicht über die Beispiele
1
Wechsel der
Darstellungsform:
Term, Tabelle, Graph
2
Experimentell ermittelter
Näherungswert für 
3
Variation von Parametern
bei Funktionen
78
4
Graphisches Lösen
quadratischer Gleichungen
5
Bestimmung von
Extremwerten in
Sachsituationen
6
Auswertung von
Zufallsversuchen in
Histogrammen
7
Vergleich von Testläufen
mit Boxplots
8
Heron – graphisch und
algebraisch
9
Modellieren mit der
Sinusfunktion
 Übersicht
Beispiel 1
Wechsel der Darstellungsform:
Term, Tabelle, Graph
Eine Sach-/Problemsituation (z.B.
der Vergleich zweier Vorschläge zu
Lohnerhöhungen) wird in
unterschiedlichen Darstellungsformen wiedergegeben.
79 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
sammelt erste (ggf. Kopf-)
Rechenergebnisse
•
stellt die Ergebnisse graphisch
dar
•
zeigt zu geeigneten
Funktionstermen die Graphen an
•
liefert Wertetabellen
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 1
Wechsel der Darstellungsform:
Term, Tabelle, Graph
Eine Sach-/Problemsituation (z.B.
der Vergleich zweier Vorschläge zu
Lohnerhöhungen) wird in
unterschiedlichen Darstellungsformen wiedergegeben.
80 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
sammelt erste (ggf. Kopf-)
Rechenergebnisse
•
stellt die Ergebnisse graphisch
dar
•
zeigt zu geeigneten
Funktionstermen die Graphen an
•
liefert Wertetabellen
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Erste Werte
(Kennenlernen der
Situation)
2.
Formeln in
Listen bzw. Tabellen
(Vorform für Terme)
3.
Graphische
Darstellung
(Punktplot)
4.
Funktionsterme
5.
Funktionsgraphen
6.
Wertetabellen
81 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Erste Werte
(Kennenlernen der
Situation)
2.
Formeln in
Listen bzw. Tabellen
(Vorform für Terme)
3.
Graphische
Darstellung
(Punktplot)
4.
Funktionsterme
5.
Funktionsgraphen
6.
Wertetabellen
82 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 2
Experimentell ermittelter
Näherungswert für 
Für eine Vielzahl von zylindrischen
Objekten werden Umfang und
Durchmesser gemessen und als
Tabelle und Graph aufbereitet.
Gesucht wird ein systematischer
Zusammenhang.
83 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
erfasst die Daten in einer Tabelle
bzw. Urliste
•
zeigt deren graphische
Darstellung
•
zeichnet die Graphen von
Modellfunktionen
•
berechnet die Quotienten der
Wertepaare und deren Mittelwert
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 2
Experimentell ermittelter
Näherungswert für 
Für eine Vielzahl von zylindrischen
Objekten werden Umfang und
Durchmesser gemessen und als
Tabelle und Graph aufbereitet.
Gesucht wird ein systematischer
Zusammenhang.
84 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
erfasst die Daten in einer Tabelle
bzw. Urliste
•
zeigt deren graphische
Darstellung
•
zeichnet die Graphen von
Modellfunktionen
•
berechnet die Quotienten der
Wertepaare und deren Mittelwert
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die Rohdaten
der Erhebung
3.
Ein erstes Modell
(proportional)
5.
Quotienten
(Proportionalitätsfaktor)
2.
Die graphische
Darstellung
4.
Der zugehörige
Graph
(Ursprungsgerade)
6.
Mittelwert
85 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die Rohdaten
der Erhebung
3.
Ein erstes Modell
(proportional)
5.
Quotienten
(Proportionalitätsfaktor)
2.
Die graphische
Darstellung
4.
Der zugehörige
Graph
(Ursprungsgerade)
6.
Mittelwert
86 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 3
Variation von Parametern
bei Funktionen
Der GTR …
•
zeigt die zugehörigen Parabeln
•
berechnet die zugehörigen
Wertetabellen
Ein Parameter - z.B. in der
•
Scheitelpunktform - soll zunächst in
seiner Bedeutung für den Verlauf des
Graphen erkannt werden.
Um das beobachtete Verhalten zu
erklären wird untersucht, wie sich die
Wertetabelle bei der Variation des
Parameters ändert.
87 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
liefert bei dem Vergleich beider
Darstellungsformen Hinweise, die
eine Erklärung für das
beobachtete Verhalten zulassen.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 3
Variation von Parametern
bei Funktionen
Der GTR …
•
zeigt die zugehörigen Parabeln
•
berechnet die zugehörigen
Wertetabellen
Ein Parameter - z.B. in der
•
Scheitelpunktform - soll zunächst in
seiner Bedeutung für den Verlauf des
Graphen erkannt werden.
Um das beobachtete Verhalten zu
erklären wird untersucht, wie sich die
Wertetabelle bei der Variation des
Parameters ändert.
88 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
liefert bei dem Vergleich beider
Darstellungsformen Hinweise, die
eine Erklärung für das
beobachtete Verhalten zulassen.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Auswahl des
Parameters,
Definition der
Funktion
3.
Variiere d
5.
Die Wertetabellen
2.
Die beiden Graphen
im Vergleich
4.
Vermutung für
(x+3)2 ?
6.
Variiere d
89 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Auswahl des
Parameters,
Definition der
Funktion
3.
Variiere d
5.
Die Wertetabellen
2.
Die beiden Graphen
im Vergleich
4.
Vermutung für
(x+3)2 ?
6.
Variiere d
90 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 4
Graphisches Lösen
quadratischer Gleichungen
Quadratische Gleichungen werden
als Schnittpunktsituationen
interpretiert (oder umgekehrt).
Die äquivalente Umformung führt zu
der Frage, wo die zugehörige
Differenzfunktion ihre Nullstellen hat.
91 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
zeigt die Graphen zu den beiden
Seite der Gleichung
•
berechnet die Schnittpunkte
•
zeigt die „äquivalente
Differenzfunktion“
•
berechnet die zugehörigen
Nullstellen
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 4
Graphisches Lösen
quadratischer Gleichungen
Quadratische Gleichungen werden
als Schnittpunktsituationen
interpretiert (oder umgekehrt).
Die äquivalente Umformung führt zu
der Frage, wo die zugehörige
Differenzfunktion ihre Nullstellen hat.
92 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
zeigt die Graphen zu den beiden
Seite der Gleichung
•
berechnet die Schnittpunkte
•
zeigt die „äquivalente
Differenzfunktion“
•
berechnet die zugehörigen
Nullstellen
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die beiden Seiten
der Gleichung
3.
Schnittpunktnäherung
(„Trace“)
5.
Die Differenzfunktion
2.
Die Graphen
4.
Schnittpunktberechnung
6.
Nullstelle
93 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die beiden Seiten
der Gleichung
3.
Schnittpunktnäherung
(„Trace“)
5.
Die Differenzfunktion
2.
Die Graphen
4.
Schnittpunktberechnung
6.
Nullstelle
94 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 5
Bestimmung von Extremwerten
in Sachsituationen
Mit 900 m Zaun soll an einem
Bachlauf ein rechteckiges Gelände
abgesteckt werden. Benötigt werden
10 ha.
• Schafft man das?
• Wie viel fehlt bzw. ist nach oben
noch Luft?
95 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GR …
•
erfasst tabellarisch erste Daten
für „Kandidaten“
•
stellt die Ergebnisse graphisch
dar (Punktplot)
•
zeichnet den Graphen der
Zielfunktion
•
liefert den Hochpunkt
•
liefert ggf. ein sinnvolles ZielIntervall
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 5
Bestimmung von Extremwerten
in Sachsituationen
Mit 900 m Zaun soll an einem
Bachlauf ein rechteckiges Gelände
abgesteckt werden. Benötigt werden
10 ha.
• Schafft man das?
• Wie viel fehlt bzw. ist nach oben
noch Luft?
96 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GR …
•
erfasst tabellarisch erste Daten
für „Kandidaten“
•
stellt die Ergebnisse graphisch
dar (Punktplot)
•
zeichnet den Graphen der
Zielfunktion
•
liefert den Hochpunkt
•
liefert ggf. ein sinnvolles ZielIntervall
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Kandidaten
(parallel – senkrecht,
Flächeninhalt)
3.
Der zugehörige
Graph (Parabel?)
samt Hochpunkt
5.
Der Graph der
Zielfunktion (Parabel!)
samt Maximum
2.
(ggf. systematische)
Variation der
Parallelstrecke
4.
Der Term der
Zielfunktion
6.
sinnvolles Intervall
(Schnittstellen mit
y = 100.000)
97 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Kandidaten
(parallel – senkrecht,
Flächeninhalt)
3.
Der zugehörige
Graph (Parabel?)
samt Hochpunkt
5.
Der Graph der
Zielfunktion (Parabel!)
samt Maximum
2.
(ggf. systematische)
Variation der
Parallelstrecke
4.
Der Term der
Zielfunktion
6.
sinnvolles Intervall
(Schnittstellen mit
y = 100.000)
98 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 6
Auswertung von Zufallsversuchen
in Histogrammen
Die Summe zweier Würfel soll
simuliert werden. Die Simulation soll
die Grundlage für ein erstes Modell
für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung liefern.
99 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
simuliert die beiden Würfe,
•
berechnet deren Summe,
•
führt 100, 500, … Würfe durch,
•
zeigt das zugehörige
Histogramm.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 6
Auswertung von Zufallsversuchen
in Histogrammen
Die Summe zweier Würfel soll
simuliert werden. Die Simulation soll
die Grundlage für ein erstes Modell
für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung liefern.
100 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
simuliert die beiden Würfe,
•
berechnet deren Summe,
•
führt 100, 500, … Würfe durch,
•
zeigt das zugehörige
Histogramm.
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
100 Doppelwürfe
3.
Das Histogramm
5.
500 Doppelwürfe
2.
Die 100 Summen
4.
100 neue
Versuche
6.
Ein weiterer
500-Lauf
101 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
100 Doppelwürfe
3.
Das Histogramm
5.
500 Doppelwürfe
2.
Die 100 Summen
4.
100 neue
Versuche
6.
Ein weiterer
500-Lauf
102 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 7
Vergleich von Testläufen
mit Boxplots
Wie lang ist eigentlich eine Minute?
Wenn ich beim ersten Mal daneben
lag, werde ich dann beim zweiten
Mal besser liegen? Wie kann ich die
beiden Durchläufe vergleichen?
103 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
sammelt die Daten der beiden
Testdurchläufe in einer Tabelle
•
berechnet die Abweichungen von
der anvisierten Minute
•
stellt die jeweiligen Datensätze
als Boxplots dar und zeigt die
Quartile an
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 7
Vergleich von Testläufen
mit Boxplots
Wie lang ist eigentlich eine Minute?
Wenn ich beim ersten Mal daneben
lag, werde ich dann beim zweiten
Mal besser liegen? Wie kann ich die
beiden Durchläufe vergleichen?
104 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
sammelt die Daten der beiden
Testdurchläufe in einer Tabelle
•
berechnet die Abweichungen von
der anvisierten Minute
•
stellt die jeweiligen Datensätze
als Boxplots dar und zeigt die
Quartile an
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Die beiden
Testdurchläufe
(Klassensätze)
2.
Die zugehörigen
Boxplots
(samt Median)
105 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
3.
Die Abweichungen
4.
Die zugehörigen
Boxplots
(samt 1. Quartil)
 Übersicht Beispiele
5.
Statistische
Daten
6.
Die individuellen
Veränderungen
 Übersicht
1.
Die beiden
Testdurchläufe
(Klassensätze)
2.
Die zugehörigen?
Boxplots
(samt Median)
106 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
3.
Die Abweichungen
4.
Die zugehörigen
Boxplots
(samt 1. Quartil)
 Übersicht Beispiele
5.
Statistische
Daten
6.
Die individuellen
Veränderungen
 Übersicht
Beispiel 8
Heronverfahren:
graphisch
Ein (1) Aspekt des Heronverfahrens
– die Annäherung von Rechtecken
an Quadrate gleichen Flächeninhalts
– soll für eine elegante Berechnung
von Wurzeln genutzt werden.
107 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
berechnet die jeweils zweite
Rechtecksseite
•
zeigt möglicher Rechtecksvarianten (unterschiedliche
Seitenlängen) im KOS
•
plottet die zugehörige Hyperbel
•
berechnet den Schnittpunkt mit
der Winkelhalbierenden (gleiche
Seitenlängen)
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 8
Heronverfahren:
graphisch
Éin Aspekt des Heronverfahrens –
die Annäherung von Rechtecken an
Quadrate gleichen Flächeninhalts –
soll für eine elegante Berechnung
von Wurzeln genutzt werden.
108 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
berechnet die jeweils zweite
Rechtecksseite
•
zeigt möglicher Rechtecksvarianten (unterschiedliche
Seitenlängen) im KOS
•
plottet die zugehörige Hyperbel
•
berechnet den Schnittpunkt mit
der Winkelhalbierenden (gleiche
Seitenlängen)
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Rechtecke
mit A = 12
im KOS
3.
Punktplot
5.
Schnittpunkt
mit y = x
2.
Einzelne Eckpunkte
4.
Zugehörige
Hyperbel-Funktion
6.
Probe
109 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Rechtecke
mit A = 12
im KOS
3.
Punktplot
5.
Schnittpunkt
mit y = x
2.
Einzelne Eckpunkte
4.
Zugehörige
Hyperbel-Funktion
6.
Probe
110 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 9
Modellieren
mit der Sinusfunktion
Zu einem gegebenen Datensatz, der
eine periodische Entwicklung – z.B.
die tägliche Sonnenscheindauer –
beschreibt, soll eine Modellfunktion
ermittelt werden. Als Ausgangspunkt
wird die Sinusfunktion genommen.
111 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
erfasst die experimentellen
Daten,
•
zeigt die Modellfunktion(en),
•
ermöglicht Variation der
Parameter für die
Anpassung/Optimierung von
Modellen
•
Vertiefung in EF bzw. Q1:
- Transformationen
- Regression
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Beispiel 9
Modellieren
mit der Sinusfunktion
Zu einem gegebenen Datensatz, der
eine periodische Entwicklung
beschreibt, z.B.
die tägliche Sonnenscheindauer
(Durchschnitt pro Monat),
soll eine Modellfunktion ermittelt
werden. Als Ausgangspunkt wird die
Sinusfunktion genommen.
112 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
Der GTR …
•
erfasst die experimentellen
Daten,
•
zeigt die Modellfunktion(en),
•
ermöglicht Variation der
Parameter für die
Anpassung/Optimierung von
Modellen
•
Vertiefung in EF bzw. Q1:
- Transformationen
- Regression (fachübergreifend)
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
1.
Der Datensatz
Monat 
Anzahl Stunden
pro Tag ()
3.
Die nicht angepasste
Sinusfunktion
(Einstellung: DEG)
2.
Der Punktplot
zum Datensatz
4.
Anpassung von
Periode und
Amplitude:
4,5sin(360/12x)
113 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
5.
Verschieben
in y-Richtung:
4,5sin(360/12x)+12
6.
Verschieben in
x-Richtung:
4,5 sin(360/12(x-3))+12
 Übersicht
1.
Der Datensatz
Monat 
Anzahl Stunden
pro Tag ()
3.
Die nicht angepasste
Sinusfunktion
(Einstellung: DEG)
2.
Der Punktplot
zum Datensatz
4.
Anpassung von
Periode und
Amplitude:
4,5sin(360/12x)
114 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
5.
Verschieben
in y-Richtung:
4,5sin(360/12x)+12
6.
Verschieben in
x-Richtung:
4,5 sin(360/12(x-3))+12
 Übersicht
Ein GTR im Mathematikunterricht
unterstützt u.a.:
Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten
3
Parametervariation
Begriffsbildendes Arbeiten
2
6

Histogramme
Wechsel zwischen Darstellungsformen:
Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph
1
8
Darstellungsformen
Heron
Reduktion von Routine-Algorithmen:
mehr Zeit für vertiefendes Verständnis
7
4
Boxplots
Quadratische Gleichungen
Modellieren,
außer- und innermathematisch
5
9
Extremwerte
Sinusfunktion
115 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht Beispiele
 Übersicht
Fachübergreifende
Möglichkeiten
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Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
 Übersicht
Beispiel 1
Physik:
Speicherung elektrischer Energie,
Kondensator
Der Kondensator bietet eine gute
Möglichkeit zum Einsatz von
Schülerexperimenten in der Sek II.
Untersucht werden kann z.B. der
Entladevorgang.
Nutzung des GTR
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Bestimmung einer Regressionskurve
•Bestimmung von
Gesetzmäßigkeiten bei der
Kondensatorentladung
Kondensator
117
Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013
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1.
Der Versuchsaufbau
(Schaltplan)
3.
Ein Beispielgraph
2.
Erfassung der
Messwerte
118
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Beispiel 2
Chemie:
Erstellen einer Eichkurve,
Konzentrationsbestimmung
Bei der Bestimmung der
Konzentration von Natriumchlorid in
Meerwasser soll eine Eichkurve
erstellt werden.
Nutzung des GTR
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Bestimmung der Eichkurve als
Funktion
Eichkurve
119
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120
1.
Versuchsaufbau
3.
Messwertabelle
2.
Auswählen der
Sensoren
4.
Eichkurve
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Beispiel 3
Nutzung des GTR
Technik:
Kennlinie einer Solarzelle
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung der
Punktwolke
•Berechnung der Leistung;
Bei der Untersuchung einer
Solarzelle stellt sich die Frage nach
•Graphische Darstellung der
einem optimalen Betriebspunkt, dazu Kennlinie
wird eine Kennlinie erstellt.
•Bestimmung des optimalen
Betriebspunktes
Solarzelle
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122
1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
3.
Die
berechnete
Leistung
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
4.
Ein mögliches
Modell:
Graph
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Beispiel 4
Nutzung des GTR
Sport/Biologie:
Trainingslehre und
Stoffwechselphysiologie
Zur Verknüpfung von Theorie und
Praxis wird der Puls vor, während
und nach einer Belastung gemessen
und anschließend hinsichtlich der
Fragestellung nach der
Sauerstoffversorgung ausgewertet.
123
•Eingabe/Aufnahme der Messwerte
•Graphische Darstellung
•Bestimmung und Vergleich der
Flächen zu Beginn und nach der
Belastung hinsichtlich der
Sauerstoffversorgung
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1.
Die experimentell
ermittelten Daten
als Liste
2.
Der Datensatz
als Punktplot
(Streudiagramm)
124
3.
Vergleich der Flächen
„Sauerstoffdefizit“
„Sauerstoffschuld“
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Fortbildungsmöglichkeiten
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