Wyk??ad 4

Report
Tomasz Szumlak, WFiIS, 15/03/2013
1
P(a < X < b) = F(b) – F(a)
2
Rozważania na temat Z.L oraz R.G.P. można łatwo rozszerzyć na dwa,
trzy itd. wymiary.
Skupimy się na przypadkach dwuwymiarowych (ten sam typ
zmiennych – obie ciągłe lub dyskretne, można wyobrazić sobie R.G.P.
mieszane…)
Rozważmy dwie Z.L. dyskretne X oraz Y, R.G.P. dwóch Z.L. to:
P(X = x, Y = y) = f(x, y)
jeżeli spełnione są warunki:
1)
2)
Mamy np. dla wybranej wartości xj (yk)
3
Rozkłady brzegowe (R.G.P. 1D!)
Podobnie jak dla R.G.P. jednej zmiennej, możemy użyć tabelki:
4
Rozkłady brzegowe (R.G.P. 1D!)
Podobnie jak dla R.G.P. jednej zmiennej, możemy użyć tabelki:
5
Na zakończenie, do kompletu, zdefiniujemy jeszcze dystrybuantę
Np.–
sumujemy przyczynki dla
6
Analogicznie postępujemy dla Z.L. ciągłych
Jeżeli X i Y są ciągłymi Z.L., to R.G.P. dla tych zmiennych musi:
1)
2)
7
Dystrybuantą dwóch Z.L. ciągłych, nazywamy funkcję:
Podobnie jak w przypadku jednej Z.L., mamy:
R.G.P. dla dwóch Z.L. ciągłych można dostać różniczkując
dystrybuantę
Brzegowe R.G.P.
8
9
Użyteczne jest również zdefiniowanie dystrybuant brzegowych
dla dwóch ciągłych Z.L. jak następuje
10
Pojęcie niezależności Z.E. może zostać przeniesiona na Z.L.
Mówimy, że Z.L. są niezależne gdy:
czyli: Z.L. są niezależne, gdy można R.G.P. przedstawić jako iloczyn
dwóch funkcji zależnych, odpowiednio, tylko od x oraz tylko od y
Inaczej, mówimy, że funkcję f(x,y) możemy ‘sfaktoryzować ‘
Podobnie, można zdefiniować R.G.P. warunkowego:
i dalej, mamy dla prob. całkowitego:
11
Jeżeli zdefiniujemy pewną Z.L. X, to dowolna funkcja typu:
jest również Z.L.
Możemy łatwo wyobrazić sobie zastosowanie takiego odwzorowania!
Typowe pytanie jakie pojawia się w związku z tym to:
mamy Z.L X oraz jej R.G.P., jeżeli wiemy, że Y jest funkcją X to czy
istnieje ogólny sposób wyrażenia R.G.P. dla Z.L. Y przez f(x)?
TAK – dzięki ogólnym regułom dotyczącym zamiany zmiennych!
Popatrzmy na następujący przykład:
oblicz całkę:
12
Wygodnie jest dokonać zamiany zmiennych!
i dalej:
zobaczyliśmy tu kilka ciekawych rzeczy:
1) Zmiana skali!
, jeżeli wyobrazimy sobie, że u i x
wyrażają długość, to u jest 3xwiększe niż x
2) Aby dostać ten sam wynik
czynnik 1/3 przed całką!
poprawka na zmianę skali, stąd
3) W tym przypadku, zmiana skali jest stała na danym przedziale
(może oczywiście też być funkcją)
13
Podobnie dla funkcji o większej liczbie zmiennych f(x,y)…
Np. wyznacz pole powierzchni figury zdefiniowanej jak na rysunku:
Całka, lub geometrycznie (łatwo…)
Czy można uprościć całkowanie poprzez zamianę zmiennych?
Jak zmieni się obszar całkowania?
Wprowadźmy np.
, lub równoważnie:
14
Możemy wrócić do
starych zmiennych
Zmiana kształtu obszaru
opisana przez Jakobian
przekształcenia
15
Wracamy do funkcji Z.L., nasze oryginalne pytanie:
Pamiętając o poprzednich
rozważaniach, wymagam aby:
Normalizacja!
Zamiana dla dwóch Z.L
16
Zdarzenie elementarne -> Z.E.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych -> P.Z.E.
Funkcja prawdopodobieństwa (prawdopodobieństwo) -> prob.
Zmienna losowa (zmienna stochastyczna, funkcja losowa) -> Z.L.
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa (funkcja prawdopodobieństwa) ->
R.G.P.
Lub - rozkład gęstości prawdopodobieństwa -> P.D.F.
(to ostatnie szczególnie popularne w problemach dopasowania modelu
do kolekcji ‘punktów’ pomiarowych)
17

similar documents