Szczególna teoria wzglęgnosći.

Report
CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA
Szczególna teoria względności
(Materiały na spotkanie
28 lutego 2013)
„Klub dyskusyjny fizyków”
(
(
X = ct,x,y,z
X1 = ct1,x1,y1,z1
)
)
(
X 2 = ct2,x2 ,y 2,z2
)
Przedział czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami
(
X 2 - X1 = c(t2 - t1), x2 - x1, y 2 - y1, z2 - z1
)
Odległość w czasie i przestrzeni pomiędzy zdarzeniami
(X 2 - X1)2 = c 2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2 - (y 2 - y1)2 - (z2 - z1)2
Zdarzenia mają miejsce w czasie i przestrzeni
Czas
przeszłość
PRZESZŁOŚĆ
chwila obecna
CHWILA
OBECNA
|
0
Przestrzeń
z
|
1 minuta
(x,y,z)
t
x = (x,y,z)
y
x
przyszłość
PRZYSZŁOŚĆ
x = x' + vt ' = x ' + vt
y = y'
z = z'
t' = t
K
x1' = x1 - vt1; t1' = t1
K’
x1'
x2'
x1
x2
v
x1 = x + vt ; t = t1
'
1
'
1
'
1
x2' = x2 - vt2 ; t2' = t 2
x2 = x2' + vt2' ; t2' = t 2
Ld = x2 - x1; Td = t2 - t1
L'd = x2' - x1'; Td' = t2' - t1'
L'd = x2' - x1' = (x2 - vt2' ) - (x1 - vt1') = (x2 - x1) = Ld
t2 = t1 ÞTd = 0 ÞTd' = 0 Þ t2' = t1'
Tak więc w fizyce klasycznej:
L = Ld
'
d
T = Td
'
d
D = L2 + v 2T 2
D
T ' =T = '
c
D
D
L
L
T=
c
L
vT
v
vT
x
2
2
2 æ Lö
c
L
+
v
çè c ÷ø
D cD c L2 + v 2T 2
'
c = =
=
=
=
T
L
L
L
2
v
c 2 + v 2 = c 1+ 2 ³ c
c
x’
Z doświadczenia więc wynika,
że
(1) Prędkość światła w próżni ma zawsze stałą wartość,
która nie zależy od ruchu ani źródła, ani odbiornika światła.
(2) W dwóch układach odniesienia poruszających się względem
siebie ruchem jednostajnym wszystkie prawa przyrody są
ściśle takie same i nie ma sposobu wyróżnienia
bezwzględnego ruchu jednostajnego.
(3) Położenia i prędkości zmieniają się
przy przejściu od jednego układu
inercjalnego do drugiego zgodnie z
transformacją klasyczną. Mamy więc
jawną sprzeczność. Nie można
pogodzić z sobą (1), (2) i (3).
1) oraz 2)
wyklucza
transformacje
Galileusza, a 3)
ja akceptuje
D
T'=
c
D = L2 + v 2T '2
D
L
L
T=
c
L
D
v
vT '
vT '
x’
x
W układzie K’
X1' = (0,0,0,0); X 2' = (c2T ',-v2T ',0,0)
W układzie K
X1 = (0,0,0,0); X 2 = (c2T,0,0,0)
L2
(X 2 - X 1) = c (2T ) = 4c 2 = 4L2
c
2
2
2
2
D2
(X - X ) = 4c T - 4v T = 4c 2 - 4v 2T '2 ) =
c
'
2
' 2
1
2
'2
2
'2
2
= 4(L2 + v 2T '2 - v 2T '2 ) = 4L2
(X 2 - X1) = (X - X )
2
'
2
' 2
1
Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami
jest identyczna w każdym układzie odniesienia
D
L2 + v 2T '2
T'= =
c
c
T' =
L
c2 - v2
=
L
c
v2
s = 1- 2 £ 1
c
2
v2
1c
= Tg
1
º
s
2
2
'2
T ' (c - v ) = L
2
1
g =
c T ' = L +v T
2
1
v
c2
2
1-
=³ 1
2
2
2
T = sT £ T
'
'
Jak zmienić transformacje Galileusza aby w każdym
układzie odniesienia prędkość światła była taka sama?
x = x - vt
'
„Trzeba podejrzewać czas”
mówił Einstein.
t =t
'
Zakładamy więc, że zachodzi:
x =a x+b t
'
t = c t +h x
'
Gdy x=0 oraz t=0, to
także x’=0 oraz t’=0
i postaramy się znaleźć parametry a , b , c ,d . Mogą one
zależeć jedynie od względnej szybkości dwóch układów
odniesienia, v.
K
K’
v
W układzie K początek układu K’ (x’= 0) porusza się z
szybkością v:
x
b
x = 0 Þ a x + b t = 0 Þ = - = v; czyli
t
a
'
W układzie K’ początek układu K (x=0)
porusza się z szybkością –v:
x' a x + b t b
-v = ' =
= ; czyli b = -v c
t c t +h x c
b = -va
a=c
Skorzystamy z równości przedziałów czasoprzestrzennych w
obydwu układach:
(X 2 - X1)2 = c 2 (t - 0)2 - (x - 0)2 = c 2t 2 - x 2
(X 2' - X1')2 = c 2 (t ' - 0)2 - (x' - 0)2 = c 2t '2 - x'2
czyli
c t -x =c t -x
2 '2
x =a x+b t
'
t = c t +h x
'
'2
c =a
2 2
b = -va
2
x' = a x - va t = a (x - vt)
h
t = a t + h x = a (t + x)
a
'
c 2 (a t + h x)2 - (a x - v a t)2 = c 2t 2 - x2
c 2 (a 2t 2 + 2a h t x + h 2 x2 ) - a 2 (x2 - 2 v x t + v 2t 2 ) = c 2t 2 - x2
c 2 (a 2t 2 + 2a h t x + h 2 x2 ) - a 2 (x2 - 2 v x t + v 2t 2 ) = c 2t 2 - x2
Aby to równanie było spełnione muszą być spełnione
relacje:
2 2
2 2
1) c a - v a = c 2
2) 2c 2ah + 2a 2v = 0
Z relacji 1)
2
c
a2 = 2 2 =
c -v
Ze związku 2)
1
1
Þa =
ºg
2
2
v
v
1- 2
1- 2
c
c
av
v
h = - 2 º -g 2
c
c
Relacja 3) jest wtedy spełniona automatycznie
3) c 2h 2 - a 2 = -1
x = g (x - vt)
x = x - vt
'
'
y =y
'
y =y
'
z =z
'
z =z
'
g =
v
t = g (t - 2 x)
c
'
t =t
'
1
v2
1- 2
c
Transformacje odwrotne otrzymamy, zamieniając prędkość v na -v
Gdy wzajemna prędkość układów v jest mała w porównaniu z prędkością
światła, wtedy transformacja Lorentza przechodzi w transformację
Galileusza:
v
®0
c
g ® 1;
v
® 0.
2
c
Dla dwóch układów poruszających się wzdłuż
osi x otrzymaliśmy:
x   ( x   vt ),
y  y,
x    ( x  vt),
y  y,
z  z,
z  z,
t   ( t 
v
x ).
2
c
t   ( t 
v
x ).
2
g =
c
Hendrik Lorentz
(1853 – 1928)
1
v2
1- 2
c
Związki te nazywają się transformacją Lorentza, wynikają z nich:
 Transformacja prędkości pomiędzy układami
 Skrócenie długości,
 Wydłużenia czasu,
 Względność równoczesności zdarzeń.
Dla prędkości wzdłuż osi x:
Dx
u=
Dt
'
Dx
u' = '
Dt
Dx
-v
'
Dx
Dx
vDt
u -v
u' = ' =
= Dt
=
v
v Dx
vu
Dt
Dt - 2 Dx 1- 2
1- 2
c
c Dt
c
u=
c +v
c +v
=
=c
vc (c + v) / c
1+ 2
c
Związek odwrotny:
v -v
u' + v
u=
vu '
1+ 2
c
Widać, że spełniony jest pierwszy
postulat Einsteina, prędkość światła
jest zawsze równa c.
Wzory do wyprowadzenie relacji na skrócenie długości i
wydłużenie (dylatację) czasu i badania zjawiska
równoczesności zdarzeń:
1) x - x = g [x2 - x1 - v(t2 - t1)]
'
2
'
1
v
2) t - t = g [t2 - t1 - 2 (x2 - x1)]
c
'
2
'
1
3) x2 - x1 = g [x - x + v(t - t )]
'
2
'
1
'
2
'
1
v '
'
4) t2 - t1 = g [t - t + 2 (x2 - x1)]
c
'
2
'
1
W dalszym ciągu będziemy powoływać się na wzory 1), 2), 3), 4).
Te same relacje w fizyce klasycznej mają zupełnie inną
postać:
1) x - x = [x2 - x1 - v(t 2 - t1)]
'
2
'
1
2) t - t = [t2 - t1]
'
2
'
1
3) x2 - x1 = [x - x + v(t - t )]
'
2
'
1
4) t2 - t1 = [t - t ]
'
2
'
1
'
2
'
1
1) x - x = g [x2 - x1 - v(t2 - t1)]
'
2
'
1
v
2) t - t = g [t 2 - t1 - 2 (x2 - x1)]
c
3) x2 - x1 = g [x2' - x1' + v(t2' - t1')]
'
2
'
1
Transformacja
Lorentza
v '
'
4) t2 - t1 = g [t - t + 2 (x2 - x1)]
c
'
2
'
1
1) x - x = [x2 - x1 - v(t 2 - t1)]
'
2
Transformacja
Galileusza
'
1
2) t - t = [t2 - t1]
'
2
'
1
3) x2 - x1 = [x2' - x1' + v(t2' - t1')]
4) t2 - t1 = [t2' - t1']
Nieruchomy zegar
w układzie K’
K’
K
x’
v
Z układu K mierzymy czas upływający w K’
Z relacji 4) gdzie wstawiamy:
x =x =x
'
2
'
1
'
T = t2 - t1; T = t - t ;
'
'
2
'
1
Otrzymamy:
T = g T Þ T ' = sT £ T
'
g =
1
s
s £1
Obserwując
ruchomy zegar,
widzę, że na nim
czas płynie wolniej
I odwrotnie, z układu K’ obserwuje nieruchomy zegar
w układzie K. Zegar spoczywa w układzie K a więc:
x2 = x1 = x
Musimy skorzystać z relacji 2), otrzymamy:
T = gT Þ
'
T = sT £ T
'
'
I ponownie wniosek jest ten sam, jeżeli względem
mnie zegar się porusza to widzę, że czas na nim
płynie wolniej.
K
K’
t =t
'
1
x
'
1
'
L
'
d
t2' = t '
x2'
v
Z układu K dokonujemy pomiaru długości pręta w układzie K’
L'd = x2' - x1'
Ld = x2 - x1
Korzystamy z relacji 3) gdzie wstawiamy: t '
2
i otrzymujemy:
Ld = g L Þ
'
d
L'd = sLd £ Ld
= t1' = t '
Mierząc z układu K
pręt spoczywający
w K’, widzę że jest
on krótszy L'd £ Ld
I odwrotnie, z układu K’ dokonujemy pomiaru pręta
spoczywającego w układzie K.
Tym razem musimy w tym samym czasie w układzie K
zmierzyć położenie końców, czyli musimy przyjąć:
t2 = t1 = t
Wtedy należy wykorzystać równanie 1) i otrzymamy:
L = g Ld
'
d
Þ
Ld = sL'd £ L'd
A więc zupełnie symetrycznie otrzymamy, iż pręt mierzony
w układzie ruchomym jest krótszy od pręta
'
spoczywającego Ld £ Ld.
K
K’
t =t
'
1
'
x
'
1
t2' = t '
x2'
v
W różnych punktach (x1' ¹ x2' ) w układzie K’ w tym samym
'
'
'
czasie t2 = t1 = t zachodzą dwa zdarzenia. Te dwa
zdarzenia będą zachodziły w różnym czasie w układzie K.
Korzystamy z relacji 4) i mamy
v '
t2 - t1 = g [ 2 (x2 - x1')] ¹ 0
c
W tym samym miejscu w układzie K’ (x1' = x' 2' = x' ' )
zachodzą dwa zdarzenia w różnym czasie t1 ¹ t2 .
Podobnie jak w fizyce klasycznej zdarzenia te w układzie K
zajdą w różnym miejscu w przestrzeni. Korzystamy z relacji
3) i otrzymamy:
x2 - x1 = g [v(t - t )] ¹ 0
'
2
'
1
Zdarzenia zachodzą więc w różnym miejscu:
x2 ¹ x1
W przypadku klasycznym jest podobnie, tylko czynnik γ =1
Jakie wnioski wynikają z faktu, że przedział czasoprzestrzenny
jest identyczny w każdym układzie odniesienia
(X 2 - X1)2 = c 2 (t2 - t1)2 - (x2 - x1)2
(X 2' - X1')2 = c 2 (t2' - t1')2 - (x2' - x1')2
P12 = c (t - t ) - (x - x ) = c (t2 - t1) - (x2 - x1)
2
'
2
' 2
1
'
2
' 2
1
Możemy rozróżnić trzy przypadki:
1) P12 > 0
2) P12 = 0
3) P12 < 0
2
2
2
Najpierw przypadek 1). Skoro P12 > 0, to zawsze mogżemy
znaleźć taki układ odniesienia, w którym opisywane dwa
'
'
'
zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu x2 = x1 = x
w różnym czasie, wtedy:
1
t - t = (t2 - t1) - 2 (x2 - x1)2
c
'
2
'
1
2
Nie istnieje jednak układ w którym zdarzenia te mogłyby
zajść w tym samym czasie, zawsze bowiem musi zachodzić:
t -t ¹ 0
'
2
'
1
Takie zdarzenia, skoro mogą zajść w tym samym miejscy w
różnym czasie, to jedno z nich może być skutkiem
drugiego, jeżeli:
t -t >0
'
2
'
1
to zdarzenia „2” może być skutkiem zdarzenia „1”
Przypadek 2). Teraz zawsze P12=0, a więc w każdym
układzie zachodzi:
c 2 (t2 - t1)2 = (x2 - x1)2
A więc w każdym układzie mamy:
x2 - x1 = c(t2 - t1)
Dowolne dwa zdarzenia, dla których zachodzi P12=0
mogą być połączone sygnałem świetlnym, ten sam
foton może być obecny przy obydwu zdarzeniach.
I wreszcie przypadek 3). Skoro P12 < 0, to zawsze mogżemy
znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia zachodzą
w tym samym czasie t ' = t ' , wtedy:
2
1
x2' - x1' = -c 2 (t2 - t1)2 + (x2 - x1)2
jest odległością pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w danym
układzie odniesienia w tym samym czasie.
W omawianej sytuacji nie ma układu odniesienia, w którym
jakiekolwiek dwa zdarzenia mogą zajść w tym samym miejscu
w przestrzeni, zawsze bowiem:
x2' ¹ x1'.
Tak więc w zbiorze zdarzeń P12 < 0 nie ma dwóch, dla których
jedno może być skutkiem drugiego.
c
t
P12 = 0
P12 > 0
Teraźniejszość
Przyszłość
P12 < 0
Teraźniejszość
P12 < 0
Przeszłość
P12 > 0
P12 = 0
x
Z podręcznika „Fizyka, spojrzenie na czas, przestrzeń i
materię”; PWN, Warszawa 2002.
Przedział czasoprzestrzenny
  2 2
c (t  t P )  (x  x P )   ( x, P);
2
2
 0
2
 ( x, P)
2
2  0
2  0
A
C może wpływać na nas (P)
My (P) możemy wpływać na B
B
C
2  0
A nie ma wpływu na nas (P), i my nie mamy wpływu na A
Stożek świetlny
Geometrię o opisanych własnościach nazywamy geometrią pseudoeuklidesową
Jak definiujemy się masę?
1) Newton: masa jest miernikiem „ilości materii”.
2) Masa to parametr, który określa ciężar ciała.
F
3) Masa jest miernikiem bezwładności ciała: m = .
a
Dla uogólnienia masy na przypadek relatywistyczny najlepsza definicja to:
4) Masa to parametr, przez który trzeba pomnożyć
prędkość ciała aby otrzymać zachowany pęd.
m1 u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v 2
Jeżeli prawo zachowania pęd zachodzi w jednym układzie,
to jest spełnione w każdym innym układzie inercjalnym:
m1 (u1 + v) + m2 (u2 + v) = m1 (v1 + v) + m2 (v 2 + v)
Bo spełniona jest trywialna relacja:
(m1 + m2 )v = (m1 + m2 )v
Pęd jest zachowany także dla zderzeń niesprężystych, ale
pod jednym warunkiem:
m1 u1 + m2 u2 = m3 u3
m1 (u1 + v) + m2 (u2 + v) = m3 (u3 + v)
(m1 + m2 )v = m3v
Þ
Pęd będzie zachowany w
każdym układzie
(m1 + m2 ) = m3 inercjalnym jeżeli masa
jest zachowana.
Aby wyprowadzić relacje E =mc2, przejdziemy do układu
środka masy:
m1 u1 + m2 u2 = 0 = m1 v1 + m2 v 2
Mamy wtedy relacje:
m1 u1 = -m2 u2
u2
m1 v 2
=
=
u1 m2 v1
m1 v1 = -m2 v 2
W układzie środka masy obowiązuje prawo zachowania pędu
nawet gdy długości pędów zmieniają się, o ile zmiana jest
identyczna dla jednej i drugiej cząstki.
v1 = l u1
v 2 = l u2
l =1
l ¹1
zd. sprężyste
zd. niesprężyste
Tylko dla zderzeń sprężystych (λ=1) zachowana jest
energia kinetyczna:
Ek =
mu
2
2
Mamy bowiem:
E =
u
k1
m1 u1
2
2
=
m1 v1
2
2
=E
v
k1
E
u
k2
=
m2 u2
2
i wtedy zachodzi:
E +E = E +E
u
k1
u
k2
v
k2
v
k2
2
=
m2 v 2
2
2
= Ekv 2
Każda inna definicja energii kinetycznej np.
Ek =
mu
3
2
będzie zachowana w układzie środka masy,
ale ta definicja z kwadratem ma jeszcze jedną zaletę,
jeżeli energia jest zachowana w jednym układzie to będzie
zachowana w każdym innym układzie inercjalnym:
Ek =
E
u+v
k1
E
v +v
k1
+E
u+v
k2
+E
v +v
k2
m u +v
2
2
=
mu
2
2
+ muv +
= E + E + (m1 u1 + m2 u2 )v +
u
k1
u
k2
= E + E + (m1 v1 + m2 v 2 )v +
v
k1
v
k2
mv
2
2
(m1 + m2 ) v
2
2
(m1 + m2 ) v
2
u+v
v+v
Ek1
+ Eku+v
= Ek1
+ Ekv+v
2
2
2
Jeżeli więc pęd i masa są zachowane, to energia kinetyczna
zdefiniowana w tradycyjny sposób, jeżeli jest zachowana w
jednym układzie, to jest zachowana w każdym układzie
inercjalnym:
u+v
k1
E
+E
u+v
k2
=E
v+v
k1
+E
v+v
k2
Ta konstrukcja jest dobra w sytuacji nierelatywistycznej,
gdzie prawo dodawania prędkości ma postać:
u = u +v
'
W przypadku relatywistycznym ta reguła nie obowiązuje,
mamy bowiem:
u +v
u =
uv
1+ 2
c
'
Powstaje pytanie, jak zdefiniować masę, pęd i energię aby
otrzymać prawa zachowania ważne w każdym układzie
inercjalnym.

similar documents