Document

Report
Biomechanika przepływów
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Krew jest mieszaniną osocza i krwinek
Testy wykonane na krwi za pomocą wiskometru, którego
wymiar charakterystyczny szczeliny pomiarowej jest dużo
większy od wymiaru charakterystycznego krwinek pozwalają
na wysunięcie następującego wniosku:
W dużych naczyniach krwionośnych dla których wymiar charakterystyczny (średnica) jest
dużo większy niż charakterystyczny wymiar krwinek, krew może być traktowana
jak płyn jednorodny .
Właściwości mechaniczne krwi traktowanej jako płyn jednorodny
można ująć definiując odpowiednie równanie konstytutywne.
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Zakładamy że jednorodny płyn który przybliża nam zachowanie krwi ma dwie podstawowe
cechy:
A)
B)
A)
jest izotropowy
B)
jest nieściśliwy
bazujemy na założeniu że przy braku naprężeń odkształcenie w płynie zanika i krwinki
nie mają żadnego preferowanego kierunku w przestrzeni;
wykorzystujemy fakt iż przy ciśnieniach panujących w organizmie człowieka
( normalne warunki fizjologiczne)nie wykazano wpływu ciśnienia na gęstość krwi;
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Z obserwacji danych prezentowanych na poprzednim wykładzie można wysnuć wniosek
,że reologia krwi różni się od reologii płynu Newtonowskiego zmienna wartością lepkości.
Dla płynu Newtonowskiego równanie konstytutywne wygląda następująco:
(9.1)
 ij   p  ij  2  V ij
tensor naprężeń
lepkość płynu
tensor odkształceń
1  u i u j
V ij  

2   x j
xi
składowe prędkości




V ii  V11  V 22  V 33  0
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Krew nie spełnia równania (9.1) ponieważ μ nie jest stałą a zmienia się wraz ze zmianą
wartości naprężeń.
Równanie (9.1) spełnia natomiast osocze krwi pozbawione krwinek. Można więc stwierdzić
, że nie – Newtonowska natura krwi bierze się z obecności krwinek zawieszonych w krwi.
Postaramy się teraz zmodyfikować równanie (9.1) tak aby opisywało zachowanie się krwi:
Jednym z podstawowych założeń mechaniki ośrodków ciągłych jest to że równania opisujące
ich dynamikę muszą być zgodne z algebrą tensorów tzn. każdy element musi być tensorem
tego samego rzędu.
Jeżeli decydujemy się aby równanie (9.1) opisywało zachowanie krwi z założeniem
o izotropowości zachowań mechanicznych to μ musi być skalarną funkcją
tensora odkształceń Vij . Vij jest symetrycznym tensorem rzędu 2 w przestrzeni trójwymiarowej
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Vij ma trzy niezmienniki:
I 1  V11  V 22  V 33
V 22
V 23
V 22
V 32
V 33
V11
V12
V13
I 3  V 21
V 22
V 23
V 31
V 32
V 33
I2 
V11
V12
V 21


V 33
V 31
V13
V11
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Założyliśmy, że krew jest płynem nieściśliwym więc I1 = 0, I2 przyjmie więc wartości mniejsze
od 0. Korzystniej jest wprowadzić więc nowy niezmiennik zdefiniowany następująco:
(9.2)
J2 
1
3
I  I2 
2
1
1
2
V ijV ij
A więc lepkość μ musi być funkcją J2 i I3
Z równania definiującego J2 widać że jest on funkcją odkształcenia, z doświadczeń widać że
lepkość krwi zależy od szybkości ścinania a więc można stwierdzić że lepkość krwi jest
funkcją J2
Można zaproponować następujące równanie konstytutywne dla przepływu krwi:
(**)
 ij   p  ij  2   J 2 V ij
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
szybkość ścinania:
(9.3)
1   v1  v 2
   2 

h
2  x2
 x1
v

  2V12

w tym przypadku wszystkie inne elementy tensora Vij wynoszą 0 więc niezmiennik J2 przyjmuje
postać:
J2  V
2
12
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
a więc z równania na szybkość ścinania (9.3) wynika :
  2 J 2
podczas gdy z równania konstytutywnego postaci (**) wynika:
 12  2   J 2 V12    J 2     J 2 2 J 2
(9.4)
Na poprzednim wykładzie przedstawiono dane doświadczalne które spełniały równanie
Cassona , które można przedstawić w postaci:
 12 

 y   

2
(9.5)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
z porównania równań (9.4) i (9.5) wynika że lepkość krwi może być przedstawiona w postaci
zależności:
 

 y   

2

Pozwala to nam zdefiniować równanie konstytutywne dla krwi w przepływie w postaci:
 ij   p  ij  2   J 2 V ij

 2

2
2
4
  J 2   2  y 


1
1
 J 2  
1
J 22
1
2
(9.6)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Równanie (9.6) jest słuszne dla J2 różnego od 0 i przyjmującego małe wartości. Jeżeli J2
przyjmuje duże wartości wyniki eksperymentalne redukują się do prostej zależności
μ=const. i wtedy równanie (9.1) może być stosowane do opisu przepływu krwi.
Punkt przejścia pomiędzy zachowaniem Newtonowskim rów. (9.1) a nie Niewtonowskim
rów. (9.6) zależy od wartości Hematokrytu.
Hematokryt – objętość czerwonych krwinek do całkowitej objętości.
Dla normalnej krwi z małą wartością Hematokrytu H= 8.25 % lepkość jest wartością stałą
w szerokim zakresie naprężeń ścinających od 0.1 to 10000 s-1.
Dla wartości Hematokrytu H=18 % krew zachowuje się jak płyn Newtonowski kiedy γ>600 s-1
dla mniejszych wartości naprężeń spełnione jest równanie (9.6)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
W przypadku ustania przepływu kiedy Vij=0 równanie konstytutywne (9.6) musi być
zastąpione nową relacją naprężenia- odkształcenia.
Dla takiego zachowania krwi posiadamy bardzo mało danych, więc tylko
hipotetyczne równania konstytutywne mogą być zaproponowane.
Rozważmy teraz bardzo prosty przypadek laminarnego przepływu krwi przewodem
kołowym.
Zakładamy : przewód jest długi a przepływ jest ustalony
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Najlepiej rozpatrywać problem we
współrzędnych cylindrycznych.
Przepływ spełnia równanie Naviera-Stokesa
dla płynów nieściśliwych. Na ściankach
przyjmujemy warunek brzegowy
zerowania się prędkości krwi.
Przepływ jest symetryczny , tylko współrzędna
u(r) nie zanika. u(r) jest funkcją tylko r.
Rozpatrzmy cylinder o średnicy r i jednostkowej długości wycięty z przepływu. Doznaje on
działania ciśnienia p1 i p2 oraz naprężeń τ na powierzchni bocznej walca.
p1  p 2   1 
dp
dx
działa na powierzchnię
r
2
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
natomiast τ działa na powierzchnię 1*2πr
W stanie ustalonym równanie równowagi sił wygląda następująco:
  2 r    r
2
dp
dx
lub
 
r dp
(Stokes, 1851)
2 dx
Teraz musimy wprowadzić równanie konstytutywne wiążące naprężenia z odkształceniem
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
płyn Newtonowski
  
du
du
dr
dr

r dp
2  dx
przy naszych założeniach dp/dx musi być
wartością stałą a wiec po scałkowaniu:
u 
r
2
dp
4  dx
B
stałą B można wyznaczyć z warunku brzegowego:
ra
u 0
u 
1
4
a
2
r
2

dp
dx
(paraboliczny profil prędkości)
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
Strumień może być obliczony przez scałkowanie:
a
Q  2 
 urdr
Q  
0
i średnia prędkość przepływu:
um  
a
2
a
4
dp
8  dx
dp
8  dx
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
krew z Lepkością opisaną równaniem Cassona:
równanie
 
r dp
jest ważne dla każdego rodzaju płynu
2 dx
brak przepływu
Naprężenia ścinające działające na powierzchnię
cylindryczną są funkcją promienia r.
W tej strefie bez przepływu jeżeli zachodzi ruch
to tak jak dla bryły sztywnej.
profil prędkości zależy więc od wartości
τy i τw
ścianka
granica płynięcia
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
 
r dp
2 dx
jeżeli
y w
w  
a dp
y  
rc dp
2 dx
2 dx
nie mamy przepływu
u 0
rc  a
jeżeli
y w
rc  a

dp
dx

dp
dx

2 y
a

2 y
a
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
i profil prędkości musi wyglądać następująco:
dla r<rc profil jest płaski. Dla r>rc i r<a równanie
Cassona jest spełnione.

r dp
2 dx


   y
rozwiązując względem γ
1

   
dr
 
du
stąd możemy wyznaczyć profil prędkości:

r dp
2 dx


 y 

2
WYKŁAD 9 : Przepływ krwi C. D.;
1 dp  2
8
2
u 
a  r 
4 dx 
3
3

 3

2
2
rc  a  r   2 rc  a  r 





dla r=rc prędkość przyjmuje wartość
u 
1 dp
4 dx

a 

3
rc



a 
1
3

rc 


similar documents