Sebaran Multinomial

Report
Variabel Diskrit dan kontinue
Variabel diskrit yang dimaksud adalah variabel yang diamati/diukur
tidak dapat diwakili oleh seluruh titik dalam suatu interval, misalnya 1
≤ x ≤ 3, maka variabel diskrit bagi x adalah 1, 2, 3
Diskrit
: Jumlah kendaraan yang lewat (27 truk)
variabel kontinue adalah variabel yang dapat
diwakili oleh seluruh titik dalam interval,
misalnya jika x mengambil nilai 1 ≤ x ≤ 4,
maka variabel kontinue bagi x adalah semua
angka yang termasuk dalam interval tersebut
mulai dari 1; 1,5; 2,5, ...4

Kontinue
: Tinggi amir 165,5 cm
Sebaran binomial mempunyai karakteristik :
 Percobaan memiliki jumlah ulangan (n) yang tetap (fixed
number of trial)
 Setiap ulangan mempunyai 2 klasifikasi sebagai ’sukses’ dan
’gagal’ atau “lulus” dan “tidak lulus”, atau “baik” dan “tidak
baik”, “puas” dan “tidak puas”
 Ulangan pada percobaan bersifat bebas (independent).
Deskripsi klasik dalam menjelaskan sebaran binomial adalah pelemparan
mata uang logam sebanyak tiga kali, dan dikatakan ‘sukses’ bila yang
muncul sisi gambar (G), sebaliknya dikatakan ‘gagal’ bila muncul sisi angka
(A). Banyaknya ‘sukses’ dapat dipandang sebagai peubah acak X yang
mengambil nilai bilangan bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan kemungkinan
hasil berikut nilai X nya adalah seperti pada Tabel berikut.
Tabel.1 Hasi percobaan binomial mata uang tiga kali
Hasil percobaan
X
p(x)
GGG
GAA
GGA
AGG
GAG
AGA
AAG
AAA
3
1
2
2
2
1
1
0
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8


Karena setiap sisi mempunyai peluang yang sama yatu ½ maka
dapat juga diberi pengertian P(GAA) = P(G) x P(A) x P(A) = ½ .
½ . ½ = 1/8 dengan demikian sebaran peluang bagi X adalah
seperti pada Tabel 2.
Tabel 2. Sebaran Probabilitas Binom Hasi Percobaan Pelemparan
Mata Uang Tiga Kali
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8

Sebaran pada Tabel 2 dapat disederhanakan dalam bentuk
rumus, bila suatu ulangan binom mempunyai peluang
keberhasilan p dan peluang kegagalan q = (1 - p), maka
sebaran peluang bagi peubah acak binom x dari n ulangan
dapat dihitung dengan rumus
bx; n; p n C x p q
x
n x
Contoh dan penyelesaian
Tentukan peluang mendapatkan tepat empat bilangan 3 bila
sebuah dadu dilempar 6 kali !
Peluang mendapatkan bilangan 3 adalah p = 1/6 dan
peluang gagal q= 5/6 jumlah pelemparan n= 6 dan x = 4
maka
bx; n; p  n C x p x q n  x




  
4
6 2
5
b 4;6; 1  6 C 4 1
6
6
6
6!
0,000770,6944  0,008
b 4;6; 1 
6 4!6  4!
Contoh dan penyelesaian
1. Bila sebuah dadu dilempar 120 kali, berapa rata-rata dan ragam untuk
mendapatkan tepat angka 5 ?
Pemecahan n = 120 dan p = 1/6 maka,
Rata-rata (µ) = np = 120. 1/6 = 20
Ragam = σ2 = n p q = 120. 1/6. 5/6 = 17
Seorang peneliti mengamati perilaku konsumen di sebuah swalayan ternyata 230
orang dari 500 pengunjung kembali dengan membawa barang hasil pembelian.
Berapa peluang 2 orang berbelanja di swalayan diantara 8 pengunjung dan berapa
rata-rata pengunjung yang berbelanja?
Pemecahan P( berbelanja) = 230/500 = 0,460 q = 1 – 0.460 = 0,540
b ( 2; 0,540; 8) = 8C2 (0.460)2 (0.540)6
= 28 (0.2116) (0.0248)
= 0,147
Rata-rata (µ)
= n.p
= 8 (0.460)
= 3,6

Nilai rata-rata (µ) dan ragam (σ2) dari sebaran
binomial dapat dihitung menggunakan rumus
μ  np
σ  npq
2
Dimana
n = jumlah ulangan
p = sukses
q = gagal
μ = rata-rata
σ2 = ragam

Sebaran binom negatif adalah bila percobaan
bebas
dan
berulang
ulang
dapat
menghasilkan ‘sukses’ dengan peluang p dan
menghasilkan ‘gagal’ dengan peluang q = 1p, maka peluang bagi peubah acak x yaitu
banyaknya ulangan
sampai terjadinya
‘sukses’, dapat dihitung dengan
bx;k;p x1 Ck 1 p q
k
x k
Berapa peluang seseorang melempar 3 uang
logam akan mendapat semua sisi gambar atau
sisi angka untuk yang kedua kalinya pada
lemparan yang ke lima
Pemecahan x = 5
k=2
p
=1/4
bx; k; p  x 1 C k 1 p k q x  k

 C  4   4 
4
b5;2; 1   0,1445
4
b 5;2; 1
5 1
2 1
1
2
3
5 2

Bentuk sebaran lain adalah sebaran multinomial, berbeda dengan
sebaran binomial yang setiap ulangan hanya mempunyai dua kriteria
: ’sukses’ dan ‘gagal’ maka sebaran multinomial setiap ulangan
mempunyai lebih dari dua kemungkinan tersebut. Sebaran
multinomial dapat dihitung menggunakan rumus
Px 1 , x 2 , x 3 ,...xk ; p1 , p 2 , p 3 ,..p k ; n  
n!
p1x1 p2x2 p3x3
x 1!.x2 !.x3 !...xk !



Bila dua dadu dilempar 6 kali, berapa peluang “jumlah mata dadu”
yang muncul “tujuh atau sebelas sebanyak 2 kali lemparan”, “dua
mata dadu sama 1 kali lemparan”, dan “kemungkinan lain sebanyak
3 kali lemparan”.
Pemecahan, n = 6 x1=2
p1=2/9
p2 =1/6
Px 1 , x 2 , x 3 ,...xk ; p1 , p 2 , p 3 ,..p k ; n  


x2=1
p3=11/18
x3=3
n!
p1x1 p2x2 p3x3
x 1!.x2 !.x3 !...xk !
  16  1118
6!
2
P 2,1,3; 2 , 1 ,11 ;6 
9 6 18
2!.1!.3!! 9
2
1
3
 0,1127

Bila percobaan bebas dan berulang ulang dapat menghasilkan
‘sukses’ dengan peluang p dan menghasilkan ‘gagal’ dengan
peluang
q = 1- p, maka peluang bagi peubah acak x yaitu
banyaknya ulangan sampai terjadinya ‘sukses’ yang pertama dapat
dihitung dengan rumus
gx; p  pq
x 1
Hitunglah peluang seseorang yang melempar
sekeping uang logam
memerlukan 4 kali
pelemparan sampai diperoleh sisi gambar.
Pemecahan, x = 4
p =1/2
g(4, 1/2) = (1/2) (1/2)3 = 1/16
Bila dalam suatu populasi (N benda), k bendanya diberi kreteria ‘sukses’ dan N
– k bendanya diberi kriteria ‘gagal’, jika populasi tersebut dikelompokkan
kedalam sebaran hipergeometrik, maka populasi tsb akan memiliki ciri-ciri :
 Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N
 k dari N benda diklasifikasikan sebagai ‘sukses’ dan N-k benda
diklasifikasikan sebagai ‘gagal’.
 Peluang sebaran hipergeometrik yang menyatakan keberhasilan dari n contoh
dapat dihitung menggunakan rumus

C x Nk C n  x
hx; N; n; k  
N Cn
k

Rata-rata (µ) dan ragam(σ2) untuk sebaran
hipergeometrik dapat dihitung dengan rumus
n.k

N

 n  k 
  N  k 
  1  k n
 N  1  N 
2




Bila 5 buah kartu yang diambil dari
seperangkat kartu bridge, berapa peluang
diperoleh kartu hati?
Pemecahan, N = 56, n=5, x=3 dari k= 13
maka:
H (3, 52, 5, 13) = 13C3 39C2 / 52C5 =
0,0815

Berdasarkan pada contoh 1 diatas tentukan
nilai rata rata dan ragamnya?
n.k 5(13)

 1,25
N
52
 n  k 
2
  N  k 
  1  k n
 N  1  N 
 5  13  13
2
  52  5
  1  52  0,864
 52  1  52 






1.
2.
3.
4.
Sebaran Poisson biasanya digunakan
untuk menghitung
probabilitas terjadinya kejadian menurut satuan waktu tertentu,
luasan tertentu, interval waktu tertentu, satuan volum tertentu,
satuan panjang tertentu, misalnya:
Banyaknya kesalahan per halaman laporan triwulan
Banyaknya penggunaan pulsa per menit
Banyaknya jumlah mobil per hariyamg meleati jalan Sukarno-Hatta
Banyaknya bakteri per tetes air

Sebaran Poisson dapat dihitung menggunakan rumus
P(x) 
λ x e λ
e  2,71828
x  1,2,3,....

Rata-rata (µ) dan ragam(σ2) untuk sebaran
Poisson dapat dihitung dengan rumus
λ x e λ
μ  E(X)   x.P(x)  x.
λ
x!
x 0
x 0


σ  EX  λ 
2
2
λ x e λ
  x  λ  .
λ
x!
x 0

2

Rata-rata jumlah hari sekolah ditutup karena
banjir selama musim hujan adalah 4 hari. Berapa
peluang bahwa sekolah sekolah akan ditutup
selama 6 hari dalam musim hujan.
Pemecahan
λ=4
x=6
P(x) = (λ6 e-4) : 6!
= 0,1042
Berdasarkan pada contoh soal no 1, maka
Rata-rata ((µ) = E(X) = 4 dan Ragam (σ2) = E (Xλ)2 = 4

similar documents