Tetraederzerlegungen

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Tetraederzerlegung
Ina Ehmann
Tetraederzerlegung
Tetraederzerlegung
Inhalt:
1. Eigenschaften eines Tetraeders
2. Allgemeine Tetraederzerlegung
3. Reguläre Tetraederzerlegung
4. Euler Formeln
5. Tetraederzerlegung konstruieren
5.1 Type-4
5.2 Freudenthal Zerlegung
5.3 Type-6
6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung
6.1 Die Alfeld Verfeinerung
6.2 Die Worsey-Farin Verfeinerung
Ina Ehmann
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1. Eigenschaften eines Tetraeders
V4
• 4 Knoten
• 6 Kanten
• 4 Dreiecksflächen
Bei einem regelmäßigen Tetraeder
sind alle 6 Kanten sind gleich lang.
(4 gleichseitige Dreiecke)
V1
Definition 1:
|T| sei die Länge der längsten Kante von T.
pT sei der Radius der größten Kugel, die ganz
in T liegt.
Der Quotient KT := |T|/pT wird shape parameter
von T genannt.
Der shape parameter KT beschreibt die Gestalt von T.
Bei einem regelmäßigen Tetraeder ist KT = 12/√6.
Für jedes andere Tetraeder ist KT größer.
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V3
V2
v₁, v₂, v₃, v₄ in ℝ³
Tetraeder T := < v₁, v₂, v₃, v₄ >
Knoten vi := (xi, yi, zi) von T
2. Allgemeine Tetraederzerlegung
Definition 2:
N
Eine Sammlung ∆ := {Ti}i=1 von Tetraedern in ℝ³ wird Tetraederzerlegung einer
N
polygonalen Menge Ω := Ui=1 Ti genannt, falls sich Tetraeder aus ∆ höchstens
an Knoten schneiden, sich entlang einer Kante oder Dreiecksfläche berühren.
Diese Definition erlaubt also auch eine Tetraederzerlegung wie folgt:
• Zwei Tetraeder die sich nicht berühren
• Zwei Tetraeder die sich nur an einem Knoten berühren
• Zwei Tetraeder die sich nur eine Kante teilen
Diese Definition lässt auch folgendes zu:
• Ω hat eine durchgängige Lücke z.B. wenn Ω die Form eines Ringen hat
• Ω hat Hohlräume
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2. Allgemeine Tetraederzerlegung
Definition 3:
Sei v der Knoten einer Tetraederzerlegung ∆, star(v) ist die Menge aller Tetraeder
aus Δ die sich den Knoten v teilen.
Wir setzen star1(v) := star(v) und definieren star i (v) induktiv für alle i > 1als die Menge aller
Tetraeder aus ∆ die einen Schnittpunkt mit star i-1 (v) haben.
Ähnlich definieren wir star0 (T) := T und starj (T) := U{star (v) : v ∈ star j-1 (T)} für alle j ≥ 1.
star(v) (dunkel blau)
star²(v) (mittel und dunkel blau)
star(T) (dunkelgrün)
star²(T) (dunkel und hellgrün)
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3. Reguläre Tetraederzerlegung
Definition 4:
Eine Tetraederzerlegung wird shellable genannt, falls sie aus einem einzelnen
∆ entsteht, indem ein
Tetraeder besteht oder aus einer shellable Tetraederzerlegung ˜
Tetraeder, der eins, zwei oder drei Dreiecksflächen von ˜
∆ berührt, hinzugefügt wird.
Nicht alle Tetraederzerlegungen sind shellable.
Z.B. zwei Tetraeder die sich nur an einem Knoten oder einer Kante berühren, sind
nicht shellable.
Definition 5:
Eine Tetraederzerlegung heißt regulär, falls folgendes gilt:
1) ∆ ist shellable, oder
2) ∆ kann aus einer regulären Tetraederzerlegung entstehen, indem eine reguläre Lücke
oder regulären Hohlraum erzeugt wird.
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4. Euler Formeln
Die Euler Formeln beschreiben die Beziehungen zwischen der Anzahl der Knoten,
Kanten und Flächen in einer Tetraederzerlegung ∆
• VI, V B
• EI, E B
• FI, FB
•N
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Anzahl der inneren Knoten und Knoten am Rand
Anzahl der inneren Kanten und Kanten am Rand
Anzahl der inneren Flächen und Flächen am Rand
Anzahl der Tetraeder von ∆
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4. Euler Formeln
Satz 1:
∆ sei eine shellable Tetraederzerlegung.
Wir erzeugen ∆ indem wir mit einem Tetraeder anfangen und ein Tetraeder
nach dem anderen hinzufügen, so dass die Anzahl der Tetraeder, die die
vorherige Zerlegung an exakt i Flächen berühren αi ist mit i= 1, 2, 3.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
N =
FI =
FB =
EI =
EB =
VB =
VI =
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1 + α1 + α2 + α3
α1 + 2α2 + 3α3
2α1 - 2α3 + 4
α2 - 3α3
3α1 - 3α3 + 6
α1 – α3 + 4
α3
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4. Euler Formeln
Beweis:
zu 1) N = 1 + α1 + α2 + α3
Wir fangen mit einem Tetraeder an und notieren die Anzahl αi wie oft wir ein Tetraeder
hinzufügen, das genau i Flächen berührt, so dass die gesamte Anzahl von Tetraeder
N = 1 + α1 + α2 + α3 ist.
zu 2) FI = α1 + 2α2 + 3α3
Jedesmal, wenn wir ein Tetraeder zu einer shellable Tetraederzerlegung hinzufügen,
welches genau i Flächen berührt, steigt die Anzahl von inneren Flächen mit i.
Also FI = α1 + 2α2 + 3α3
Rest analog. □
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4. Euler Formeln
Diese Gleichungen können auf verschiedene Arten kombiniert werden, so
dass sich verschiedene Beziehungen zwischen der Anzahl der Knoten,
Kanten und Flächen zeigen.
Satz 2:
Sei ∆ einen shellable Tetraederzerlegung.
Dann gilt:
1) N =
2) N =
3) EB =
4) FB =
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EI + VB – VI – 3
FI /2 + FB /4
3VB – 6
2EB – 3
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4. Euler Formeln
Beweis:
Aus den Gleichungen aus Satz 1 folgt sofort:
α 3 = VI
VB = α1 - α3 + 4
VB = α1 - VI + 4
α 1 = VB + V I – 4
EI = α2 + 3α3
EI = α2 + 3VI
α2 = EI – 3VI
Zu 1) N = EI + VB – VI – 3
N = 1 + α1 + α2 + α3
= 1 + VB + VI – 4 + EI – 3VI + VI
= E I + V B – VI – 3
Rest analog. □
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5. Tetraederzerlegungen konstruieren
5.1 Typ-4 Tetraederzerlegungen
Sei B := [a1, b1] x [a2, b2] x [a3, b3] ein Rechteckiger Raum in ℝ³ und
a1 = x0 < x1 < … < xm = b1
a2 = y0 < y1 < … < yn = b2
a3 = z 0 < z 1 < … < z l = b 3
V :={(xi, yj, zk)} und B:= {Bijk} die Menge von N:= m x n x l Teilräume
Bijk := [xi, xi+1] x [ yj, yj+1] x [zk, zk+1]
Lemma 1:
Die Menge V kann unterteilt werden in die Menge V1 und V2,
so dass alle Knoten v ∈ Vs, s ∈ {1,2} lediglich gemeinsame Kanten mit Knoten der Menge
v ∈ Vt, t ∈ {1, 2} und s≠t.
Wir nennen die Konten von V1,Typ-1 und die Knoten V2 Typ-2
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5. Tetraederzerlegungen konstruieren
Abbildung 1 zeigt die Zerlegungen eines einzelnen Teilraums in
5 Tetraeder. (Typ-1 Knoten sind rot, Typ-2 Knoten sind blau.)
Das Tetraeder mit der roten Flächen hat ausschließlich Knoten
vom Typ-2, alle Typ-2 Knoten wurden verbunden.
Die vier anderen Tetraeder besitzen genau einen Typ-1 Knoten.
Abb. 1
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5. Tetraederzerlegungen konstruieren
5.2 Freudenthal Zerlegung
Sei n ∈ ℕ und h:= 1/n
⋄ := {Q ijk := [ih, (i+1)h] x [jh, (j+1)h] x [kh, (k+1)h]; i,j,k = 0, …, n-1}
⋄ sei die regelmäßige Zerlegung des Einheitswürfels Ω = [0,1] x [0,1] x [0,1] ⊂ℝ³
n
V := {vijk := (ih, jh, kh)} i,j,k=0
Definition 6:
Sei △F die Tetraederzerlegung die aus ⋄ folgendermaßen entsteht:
für alle 0 ≤ i,j,k ≤ n-1 wird der Würfel Qijk von den drei Ebenen
y – x = (j - i)h,
z – x = (k – i)h,
z – y = (k – j)h
geschnitten.
△F wird als Freudenthal Zerlegung von Ω bezeichnet.
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5. Tetraederzerlegungen konstruieren
Freudenthal Zerlegung:
Jeder Würfel wird in 6 Tetraeder zerlegt
T4
T5
T6
T³
T²
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T1
5. Tetraederzerlegungen konstruieren
5.3 Typ-6 Zerlegung
Die 15 Knoten eines Würfels
8 Eckknoten
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6 Flächenknoten
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1 Würfelmittelpunktknoten
5. Tetraederzerlegungen konstruieren
5.3 Typ-6 Zerlegung
1. Verbinde den
Würfelmittelpunkt mit den 8
Eckknoten  6 Pyramiden
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2. Verbinde den Würfelmittelpunkt
mit den 6 Flächenknoten und die
Flächenknoten mit den 8 Eckknoten
 4 Tetraeder welche die
Pyramidenachse als gemeinsame
 24 Tetraeder
Kante haben
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6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung
△,△R sind zwei Tetraederzerlegungen in Ω
Definition 7:
△R ist eine Verfeinerung von △ falls gilt:
1) Jeder Knoten von △ ist ein Knoten von △R
2) Jeder Tetraeder t ∈△R ist ein Teiltetraeder von den Tetraeder T ∈ △
6.1 Die Alfeld Verfeinerung
Definition 8:
Sei T := ‹v1, v2, v3, v4› , vt := (v1+v2+v3+v3)/4 der Mittelpunkt von T.
Die Alfred Teilung TA von T besteht aus 4 Teiltetraeder die entstehen, indem vt
mit jedem Knoten von T verbunden wird.
Die Alfeld Aufteilung
eines Tetraeders
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6. Verfeinerung einer Tetraederzerlegung
6.2 Die Worsey-Farin Verfeinerung
Definition 7:
△ sei eine Tetraederzerlegung. Für jeden Tetraeder T in △ sei vT der Mittelpunkt von T
und TA sei die dazugehörige Alfeld Teilung von T.
Für jede innere Fläche F von △, die sich zwei Tetraeder teilen, sei vF der Punkt,
in dem die Strecke, die die zwei Mittelpunkte von T verbindet, F schneidet.
Für jede äußere Fläche F sei vF, der Mittelpunkt von F.
Jetzt verbinden wir für jede Fläche F, vF mit den Knoten von F und mit dem Mittelpunkt
vT von jedem Tetraeder, das sich die Fläche F teilt.
Die daraus resultierende verfeinerte Zerlegung △WF wird Worsey-Farin Verfeinerung von
△ genannt.
Eine teilweise WorseyFarin Aufteilung eines
Tetraeders
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Quellen:
• Lai, Schumaker
Spline Functions on Triangulations
• Hecklin, Nürnberger, Schumaker, Zeilfelder:
A local Lagrange interpolation method based on C1 cubic splines on Freudenthal
partitions
• Matt, Nürnberger:
Local Lagrange interpolation using cubic C splines on type-4 cube partitions
• Nürnberger, Rhein, Schneider:
Local Lagrange Interpolation by Quintic C1 Splines on Type-6 Tetrahedral Partitions
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Vielen Dank
für Ihre Aufmerksamkeit!
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