從摺紙談命題探索與實作評量(9913 KB )

Report
從摺紙
談命題探索與實作評量
新北市林口國中 / 數學輔導團
交大AMA團隊 李政憲
[email protected]
103/3/28 於 師大數學系
題綱
• 摺紙命題探索 40min
• 摺紙數學與實作評量 50min
摺紙命題探索
感謝 台北市麗山國中張榮和老師
[email protected]
協助提供相關簡報資料
摺紙與數學
一些基本概念
•摺紋樣式(crease pattern)
•山摺(mountain crease )
•谷摺(valley crease )
•山谷標示(MV assignment)
  


   

  
  
 
 
摺紙與數學
摺紙操作的公設化
Huzita 摺紙公設
Huzita-Hatori 摺紙公設
摺紙作圖 vs 直尺與圓規作圖
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設1:給定兩點 p1 與 p2,存在唯
一摺線通過此兩點。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設2:給定兩點 p1 與 p2,存在唯
一的摺線把 p1 摺到 p2 上。
p1
L
p2
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設3:給定兩線 l1 與 l2,存在唯
一的摺線把 l1 摺到 l2 上。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設4:給定點 p1 與線 l1,存在唯
一的摺線垂直於 l1 並通過 p1。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設5:給定兩點 p1 與 p2 以及線 l1,
存在摺線把 p1 摺到 l1 上並通過p2。
摺紙與數學
Huzita 摺紙公設
公設6:給定兩點 p1 與 p2 以及兩線
l1 與 l2,存在摺線把 p1 摺到 l1 上
並把 p2 摺到 l2 上。
摺紙與數學
Huzita-Hatori 摺紙公設
公設7:給定點 p 與兩線 l1 與 l2,
存在垂直於 l2 的摺線且把 p 摺到
l1 上。
p
l2
l1
摺紙與數學
Huzita-Hatori 摺紙公設
公設1~公設6:
日裔義大利人 Humiaki Huzita(藤田文章 )
1992
公設7:
日本人 Koshiro Hatori(羽鳥公士郎)
美國人 Robert Lang(證明此7條公設構成完
備系統)
摺紙與數學
Hatori 簡化後的摺紙公設
摺紙作圖是由平面上一些直線出發,經
過有限次下列兩種操作所得:
1、對於給定的線找出交點。
2、給定兩點 p1 與 p2 以及兩線 l1 與
l2,存在摺線把 p1 摺到 l1 上並把 p2
摺到 l2 上。(當點 p 落於線 l 上
時,此新摺線垂直於 l 或通過 p )。
摺紙與數學
歐幾里得尺規作圖
1、作圖只能使用圓規(畫圓弧用)和沒有刻
度的直尺(畫直線段用)。
2、作圖須在有限次的步驟內完成。(不接受
無限次或無限延伸的想法。 )
古希臘三大作圖難題
1、三等分任意角
2、化圓為方
3、倍立方
摺紙與數學
直尺與圓規作圖
直尺與圓規作圖是由平面上一些點出
發,經過有限次下列三種操作所得:
1、給定兩點 p1 與 p2,畫一線通過 p1
與 p2。
2、給定點 o 與線段 p1p2,畫一圓其圓
心為 o 而半徑為線段 p1p2 的長。
3、給定一些線與圓,找出各個交點。
摺紙與數學
摺紙作圖 vs 直尺與圓規作圖
摺紙作圖公設的前5條,等價於直尺與
圓規作圖。從代數的眼光來看,就是
僅足以解二次方程。
摺紙作圖公設的第6條,相當於可解三
次方程。所以用摺紙能作出直尺與圓
規無法作出的圖形。譬如:三等分一
角。第7條則使整個摺紙作圖公設完
備。
摺紙與數學
三等分角問題
1970年代阿部恆(Hisashi Abe)三等分銳角摺法。
摺紙與數學
摺紙與數學
倍立方問題
1986年Peter Messer的解法
摺紙 VS 尺規
從101年基測題談起
延伸思考:
1.可以再問什麼?
2.紙張長寬約為多少?
3.如何摺出60度?
摺紙 VS 體積
延伸思考:
1.長方形也適用嗎?
2.C到△AEF的距離?
3.四個三角形面積關係?
C1
延伸思考:
1.影印紙長寬比例設計原因?
2.黃金矩形摺紙?
3.生活上是否有其他比例的摺紙?
T1
延伸思考:
為何是重疊部份面積的最大值?
T11
矩形內摺2
延伸思考:
如何摺出畢氏數列?
矩形內摺6
大陸2005蘇州中考試題
• 如圖1,平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC,O為坐
標原點,點A坐標為(10,0),點C坐標為(0,6)。D是BC邊上的
動點(與點B、C不重合),現將△COD沿OD翻折,得到
△FOD;再在邊AB上選取隨當的點E,將△BDE沿DE翻折,
得到△GDE,並使直線DG、DF重合。
11
11
10
10
9
9
8
8
7
C
6
7
B
D
C
5
5
4
4
F
3
1
O
-2
G
2
4
6
-1
-2
3
E
2
-6
10
-4
1
O
12
-2
14
-2
A
F
16
2
18
4
20
-1
圖1
E
G
2
A
8
B
D
6
圖2
6
22
8
24
10
26
12
14
16
大陸2005蘇州中考試題
• 如圖2,若翻摺後點F落在OA邊上,求直線DE的函數關係式;
• y=-x+12
• 設D(a,6),E(10,b),求b關於a的函數關係,並求b的最大值;
1
6
5
3
11
• b= 2 −  + 6,b的最大值為 6
1
• 一般地,請你猜想直線DE與拋物線y=-  2 + 的公共點的
24
個數,在圖2的情形中通過計算驗證你的猜想,如果直線DE
與拋物線始終有公共點,請在圖1中作出這樣的公共點。
11
11
10
10
9
9
8
8
7
C
6
7
B
D
C
5
5
4
4
F
3
1
O
-2
G
2
4
6
-1
-2
3
E
2
-6
10
-4
1
O
12
-2
14
-2
A
F
16
2
18
4
20
-1
圖1
E
G
2
A
8
B
D
6
圖2
6
22
8
24
10
26
12
14
16
摺紙數學與實作評量
台北市建國中學學科中心
103/1/16
「從動手摺紙談實作評量」研習課程
修正部份簡報內容
摺紙中學數學
摺出乘法公式
摺出勾股定理
摺出勾股數
摺出無理數
摺出等份點
摺出有理數
摺出正多面體
 摺紙與尺規作圖
 摺紙正多邊形與對稱
 摺紙相關考題
 摺紙與黃金/白銀/青銅比
 摺紙與三大幾何難題
 模組摺紙拼貼
 摺紙名片設計
生活摺紙之 發票長度比
實作課程
• 從貝殼螺線談摺紙
• 有理數摺紙到等比級數
• 三等份摺紙方法面面觀
• 一刀剪愛心與數學
• 一刀剪愛心作品實作
• 一刀剪愛心步驟與數學概念討論
• 數學素養與摺紙
• 涼亭問題與實測結果
• 多面體氣球解涼亭問題
• 正六邊形與正三角形摺紙
從貝殼螺線談摺紙
• 有理數摺紙到等比級數
• 三等份摺紙方法面面觀
•
•
•
•
•
•
•
勾股定理摺法
特殊三角形30-60-90摺法
相似形摺法
勾股定理與相似形摺法
特殊三角形30-60-90+內分比性質摺法
相似形、商高定理與一元二次方程式摺法
全等、特殊三角形與中垂線性質摺法
一刀剪愛心與摺紙數學
• 一刀剪愛心數學概念討論
•
•
•
•
•
•
線對稱圖形
角平分線性質
摺紙與三角形全等
摺紙與相似三角形
摺紙計算邊長比
摺紙計算面積比
• 進階一刀剪愛心問題
• 如何一刀剪出最大愛心,步驟是否最少?
• 如何一刀剪出其他圖形?
數學素養與摺紙
• 涼亭問題與實測結果
• 多面體氣球解涼亭問題
• 正六邊形與正三角形摺紙
• 正六邊形摺紙與討論
• 正三角形摺紙與討論
摺紙數學相關參考資料
摺紙中學數學
摺紙中學數學
摺紙中學數學
參考書籍:
參考書籍:
Erik D. Demaine and Joseph O'Rourke
Geometric Folding Algorithms: Linkages,
Origami, Polyhedra (2007)
http://www.gfalop.org
Joseph O'Rourke
How to Fold It: The Mathematics of Linkages,
Origami, and Polyhedra (2011)
http://howtofoldit.org
結論
• 透過摺紙活動……
• 讓學生在學習過程,對數學有不一樣的體驗
• 可與多元評量結合,進而設計相關教學活動
• 讓學生從完成作品,得到成就感與數學知識
感謝聆聽,歡迎指教!!
有空的人多逛逛……林中生命藝數殿堂
http://163.20.9.7/dyna/menu/index.php?account=math

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