řešení pravoúhlého trojúhelníku

Report
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Matematika – 9. ročník
Goniometrické funkce
Sinus ostrého úhlu
3
2
1
·
·

·
a

·
1
2
3
∆~∆  ~∆  ~∆  ( ě )
platí:  :  = 1 1 : 1 = 2 2 : 2 = 3 3 : 3
Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky přepony je
ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.

Tento poměr nazýváme sinus a a zapisujeme a
=
á ě
ř
=


Goniometrické funkce
Kosinus ostrého úhlu
3
2
1
·
·

·
a

·
1
2
3
∆~∆  ~∆  ~∆  ( ě )
platí:  :  = 1 : 1 = 2 : 2 = 3 : 3
Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky přepony je ve
všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.

Tento poměr nazýváme kosinus a a zapisujeme a
=
řá ě
ř
=


Goniometrické funkce
Tangens ostrého úhlu
3
2
1
·
·

·
a

·
1
2
3
∆~∆  ~∆  ~∆  ( ě )
platí:  :  = 1 1 : 1 = 2 2 : 2 = 3 3 : 3

Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky odvěsny přilehlé
k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.
Tento poměr nazýváme tangens a a zapisujeme a
=
á ě
řá ě
=


Goniometrické funkce
Kotangens ostrého úhlu
3
2
1
·
·

·
a

·
1
2
3
∆~∆  ~∆  ~∆  ( ě )
platí:  :  = 1 : 1 1 = 2 : 2 2 = 3 : 3 3

Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky odvěsny protilehlé
k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.
Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme
a =
řá ě
á ě
=


Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Za pomoci goniometrických funkcí v libovolném pravoúhlém trojúhelníku
můžeme vypočítat délky zbývajících stran a velikostí vnitřních úhlů tj.
„řešit pravoúhlý trojúhelník“, známe-li:
a) délky dvou stran,
b) délky jedné strany a velikost jednoho vnitřního úhlu.
Zatím jsme uměli vypočítat
v prvním případě délky stran (Pythagorova věta), ale ne úhlů,
v druhém případě velikosti vnitřních úhlů (jejich součet je 180°), ale ne
délky stran.
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe  = ,  ,
 = . Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů.
A

můžeme určit pomocí
Délku přepony
 = 7,5
Poněvadž
délky obou
aznáme
=
a = věty, ale abychom se
Pythagorovy

 = 18 
odvěsen můžeme použít pro výpočet 
∢ = 90°
 = ⋯ 
procvičili použijeme některou z
velikosti vnitřních
úhlů
funkce
7,5
goniometrických
 = a ·funkci.
 Můžeme si
a
=
tangens nebo kotangens. vybrat sinus nebo kosinus.
18

∢ = ⋯ °
∢ = ⋯ °
a = 0,416 7
a = 22°40´
b
= 90° −
22°40´vnitřního úhlu
Velikost
druhého
vypočítáme
b = 67°20´ snadno.
 =
a
a
7,5
 =
22°40´
7,5
 =
0,385 4
 = 19,5
 = 19,5 
b
B
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe  =  ,
 = . Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů.
A
 délkuDélku
 můžeme určit
 = 7
odvěsny
Poněvadž
známe
přepony
a
a =
ca Pythagorovy
=
pomocí
věty, ale
odvěsny
můžeme
použít
pro
výpočet


 = 25 
∢ = 90°
 = ⋯ 
∢ = ⋯ °
∢ = ⋯ °
se procvičili použijeme
velikosti vnitřních úhlůabychom
funkce sinus
7
 =za
· 
některou
goniometrických
funkci.
nebo
kosinus.
a
=
Můžeme si vybrat kosinus (cos a)
25
sinus
= 16°16´
nebo
(sin b). · 25
a = 0,28
a = 16°16´
a
 = 0,96 · 25
 = 24
b
= 90° −
16°16´vnitřního úhlu
Velikost
druhého
vypočítáme snadno.
b = 73°44´
 = 24 
b
B
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe  =  ,
∢ = °. Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu.
A
 = 16 
∢ = 64°
∢ = 90°
 = ⋯ 
 = ⋯ 
∢ = ⋯ °
Poněvadž známe délkuDélku
přepony
odvěsny můžeme určit


a velikosti obou vnitřních
úhlůPythagorovy
pomocí
věty, ale
b =
cb =
můžeme 
použít pro výpočet
délky

abychom
se procvičili
použijeme
zbývajících stran funkce
sinus nebo
některou
z goniometrických funkci.

=
b
·


= b · 
kosinus.
Můžeme si vybrat sinus (sina) nebo
 = 64° · 16 kosinus
(cosb).
= 64° · 16
 = 16 · 0,898 8
 = 0,438 4 · 16
a = 90° − 64°
 = 14,4
 = 7
a = 26°
 = 14,4 
 = 7 
Velikost druhého vnitřního úhlu
vypočítáme snadno.
b
B
a
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe  = ,  ,
∢ = °´. Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu.
 = 2,8 
∢ = 58°20´
∢ = 90°
 = ⋯ 
 = ⋯ 
∢ = ⋯ °
Poněvadž známe délku Délku
odvěsny
přepony můžeme určit pomocí
a velikosti obou vnitřních
úhlů
2+|AC|2
|AB|2=|BC|věty,
Pythagorovy
tak to také jednou

můžeme
použít
pro
výpočet
délky
zkusíme.
a =
zbývajících
 stran libovolné|AB|2=1,72+2,82
goniometrické funkce, podle toho
|AB|2=2,89+7,84

= a · 
zda budeme počítat druhou odvěsnu
(funkce
tangens ·nebo
či

= 31°40´
2,8 kotangens)
|AB|2=10,73
přeponu (funkce sinus nebo
kosinus).

= 2,8 · 0,616 8
AB =
A
a
10,73
a = 90° − 58°20´
 = 1,7
AB = 3,3
a = 31°40´
 = 1,7
 = 3,3 
Velikost druhého vnitřního úhlu
vypočítáme snadno.
b
B
·
C
Goniometrické funkce
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Sestrojte bez úhloměru úhel o velikosti 72°.
∢ = 72°
a =
Využijeme funkci tangens
C
Vnitřní úhel BAC (a) je 72°, protože:


30,78
10
Určíme si tg 72°
72° =
tg 72° = 3,078
72° = 3,078
Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku
10 jednotek (libovolných) a 30,78 jednotek (stejných).
30,78 j
a
A
·
10 j
B
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 1
Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho
ostrých úhlů, je-li dáno: a = 62 mm, b = 37 mm.
a = 59°; b = 31°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 2
Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho
ostrých úhlů, je-li dáno: a = 36 mm, c = 58 mm.
a = 38°; b = 52°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 3
Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte výšku na přeponu,
je-li dáno: a = 6,4 cm, b = 5,2 cm.
v = 4 cm
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 4
V obdélníku ABCD vypočítejte velikost úhlu, který svírá úhlopříčka a strana a, je-li
dáno: a = 62 mm, b = 34 mm.
a = 29°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 5
V obdélníku ABCD je dáno: a = 63 mm, b = 25 mm a body E a F rozdělují stranu CD na
třetiny. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF.
19°, 31°, 130°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 6
Vypočítejte velikost vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníku, je-li dáno: délka
ramene 8,5 cm a výška na základnu 6,8 cm.
a = b = 53°, g = 74°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 7
Ve čtverci ABCD (a = 8 cm) je bod E střed strany BC a bod F střed strany CD.
Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF.
37°,°71°30´, 71°30´
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 8
V pravoúhlém lichoběžníku ABCD jsou a a c a b = 90°. Vypočítejte velikost úhlu a, je-li
dáno: a = 10,6 cm, b = 7,1 cm, d = 8,9 cm.
a = 53°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 9
Jak velký středový úhel přísluší tětivě dlouhé 64 mm, která je sestrojena v kružnici o
poloměru 10 cm?
a = 37°
Řešení pravoúhlého trojúhelníku
Cvičení 10
Z bodu R jsou sestrojeny tečny ke kružnici o průměru 72 mm. Úhel, který svírají, má
velikost 72°.Vypočítejte vzdálenost bodu R od středu kružnice.
61 mm

similar documents