Document

Report
利用相似三角形作簡易測量
之前單元的回顧
在上次的課程中,我們用AAA、AA、
SAS、SSS等性質來判別兩個三角形
是否相似。以下則進一步探討,兩
相似三角形的對應邊與對應高、對
應角平分線、對應中線之間的關係,
及對應邊與面積的關係。
相似三角形對應邊的比=對應高的
比
 如圖,△ABC∼△A‘B’C‘ ,且 AD  BC 於D點,
 A' D '  B 'C ' 於D 點,試說明 BC :B 'C '
 =AD : A ' D '。
(1)∵△ABC∼△A'B'C',
' B ' BC
'
∴∠B=∠B', AB
: A=
: B 'C----
'
(2)∵ AD  BC且 A' D '  B 'C,
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°
故△ABD∼△A'B'D'(AA 相似)
AB :A ' B ' = AD :A ' D ' ------ 
(3)由式、式知:
BC: B 'C ' = AD : A ' D '
觀念整合
兩個相似三角形,
對應邊的比=對應高的比=對應角
平分線的比=對應中線的比。
相似三角形面積的比=對應邊的平
方比
(2)面積的比=對應邊的平方比。
如圖 ,△ABC∼△A'B'C',
則△ABC面積:△A'B'C'面積=AB 2:A ' B ' 2。
 現實生活中,無法直接求得的距離或長度,
常利用相似三角形作簡易測量。
生活中實際的例子
 相傳兩千六百多年前
,法老王阿美西斯
(Amasis)很想知道
金字塔(如圖1-19)確
實的高度。於是命令祭司們去丈量,但
是祭司們卻束手無策,國王只好以巨額
懸賞徵求能人高手前來揭開這個難題。
 這時希臘數學家泰勒斯(Thales of
Miletus,西元前六、七世紀)正好看
到了國王的告示,便燃起挑戰的壯志。
他試了幾種方法,還是行不通;然而
他並不氣餒。有一天,他走在路上苦
思對策,炙熱的太陽照著他孤獨的身
體,正當他低下頭時,注意到影子一
直跟著自己,而且影子隨著太陽升起
愈來愈短,終於觸動了他的靈感,喃
喃自語:「在一天之中,一定有一個
 時間,身高與影子的長度相等,這時
候金字塔的高度與它的影子也會相等
。」泰勒斯終於利用推理的方法解決
了金字塔高度的問題。

泰勒斯如何解決這個問題呢?如
下圖,藍線表示太陽光線,人與金字
塔分別垂直於地面,因為可視太陽光
線為平行,所以△ABC∼△DEF
 (AA 相似),
 因此當人的身高與影子的長度相等時( AB
= BC ),由 AB :DE =BC :EF 可知 DE =EF
,即金字塔的高度與金字塔的影子長度相等。
課堂練習題
 測量樹高
如右圖,心怡想要測
量樹高 AB ,她在樹前
7.5公尺的C點立了一
根1公尺長的標竿CD ,
且BC 的延長線與CE 的延長線交於E點,又測得
BE =9公尺,試求樹高 AB 。
解題過程:
 ∵ CD 與 AB皆垂直於 BC,
 ∴ CD // AB 。
 AB :CD = BE : CE
 AB :1=9:(9-7.5)=9:1.5
 AB =6
 故樹高 AB =6 公尺。
測量湖寬
 如圖,湖邊有A、B 兩點,志明想知道它們之間的
距離。首先他在湖邊的空地找另一點C,並測得
AC =75 公尺, MC =25 公尺,
BC =90公尺, NC =30公尺,MN =28公尺,
試求A、B兩點的距離。
解題過程
 在△ABC 與△MNC 中,
 ∵ AC: MC= BC: NC=3:1,

且∠ACB=∠MCN,
 ∴△ABC∼△MNC(SAS 相似),

AB :MN = AC : MC


AB :28=3:1
AB =28.3=84

故A、B 兩點的距離為84公尺。
隨堂練習
 如右圖,宜君想知道湖邊A 點到湖中小島B 點的距
離,她在湖邊找了一點C,並測得 AC =24 公尺,
=8 公尺,MC =6 公尺, AB //MN ,試求A、B
兩點的距離。
隨堂練習
 如圖,志豪想要測量樹高 AB ,他在樹前5公尺的
D 點豎立了一根長1.8公尺的木棍,並從木棍後方2
公尺的觀測點E,觀察到木棍的頂端與樹梢成一直
線,已知E點至地面的高度 EF 為1公尺,試求樹
高 AB 。

similar documents