Document

Report
F(х)+С
F(х)+С
F(х)+С
F(х)+С
F(х)+С
 Под дифференцированием функции f(x)
понимают нахождение её производной.
Например: (х4)' =4х3
 Нахождение функции f(x) по заданной
производной f '(x) называют операцией
интегрирования.
Например: пусть f(x)= 4х3 . Найти F(х).
F(х) =х4 , т. к. (х4)' =4х3
Определение
 Функция F называется первообразной
для функции f на заданном
промежутке, если для всех х из этого
промежутка F'(х)= f(x).
Например, функция F (х)= –
первообразная для функции f(x)=х2 на
интервале (-∞; ∞),
т. к. F'(х)=
Общее решение можно записать:
Признак постоянства
функции
Если F´ (x) = 0
на заданном промежутке,
то данная функция
постоянна на этом
промежутке
Геометрический смысл
первообразной
График любой первообразной F (x) + С можно
получить с помощью параллельного переноса
графика F (x) вдоль оси y.
Для нахождения конкретной
первообразной из всего множества
F (x) + С , надо задать дополнительные условия.
Например: координаты точки, через которую
проходит график данной первообразной
Основное свойство первообразных
 Признак постоянства функции.Если
F'(х)= 0 на некотором промежутке I, то
функция F - постоянна на этом промежутке.
 Основное свойство первообразных. Любая
первообразная для f на промежутке I может
быть записана в виде:
F(х)+С,
где F(х)- одна из первообразных для
функции f (х) на промежутке I, а Спроизвольная постоянная.
Таблица первообразных
Функция
У = f (x)
Первообразная
F (x)
0
1
C
x
Функция
У = f (x)
cos x
Первообразная
F (x)
sin x
2
C
2x Cx
2
x
3
X
n
x
x
X2
X3
X4
Xn+1
2
3
4
n+1
sin x
1
cos2 x
1
sin2 x
- cos x
tg x
- ctg x
1
x
1
x2
_1
2x
x
Таблица первообразных
Функция f(x)
Первообразная F(x)
kf(x)
f(x)+g(x)
k (постоянная)
kF(x)
F(x)+G(x)
kx
x n (nЄZ, n≠-1)
sin x
- cos x
cos x
sin x
tg x
-ctg x
Три правила нахождения
первообразных
 Правило 1. Если F есть первообразная для f, а Gпервообразная для g, то F+G есть первообразная для
f+g.
 Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k –
постоянная, то функция kF–первообразная для kf.
 Правило 3. Если F(х) есть первообразная для f(х), а
k и b- постоянные, причём k≠0, то 1/kF(kх+b) есть
первообразная для f(kх+b).
A. Вариант 1(5) Найдите все
первообразные функции f(x)=x4+3x2+5.
Вариант 2(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=x3-3x2+х-1.
Вариант 24(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=x4+3х.
Вариант 27(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=4х-x2.
Вариант 49(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=2x3-6x2+х-1.
Вариант 61(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=x5+2х.
Вариант 68(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=2х+x3.
Вариант 72(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=x5- x2.
Вариант 74(5) Найдите все первообразные
функции f(x)=3x4-1.
B. Вариант 20(5) Найдите все функции,
которые имеют одну и ту же
производную: f(x)=х+5.
 Вариант 34(5) Найдите функции,
производной которых является функция
f(x)=2x+x2.
 Вариант 56(5) Найдите все функции,
имеющие производную, равную x2- 4x.
 Вариант 63(5) Найдите функции,
имеющие производную y=3x+x2.
Вариант 64(5) Найдите все функции,
имеющие производную y=x2- 3x.
Вариант 94(5) Найдите все функции,
имеющие производную y'=2x-x2.
C.Вариант 7(5) Является ли функция
F(x)=x3-3x+1 первообразной функции
f(x)=3(x2-1) ?
Вариант 28(5) Является ли функция
F(x)=x3+3x-5 первообразной функции
f(x)=3(x2+1) ?
Вариант 32(5) Является ли функция
F(x)=x4-3x2+1 первообразной функции
f(x)=4x3-x2 +х ?
D.Вариант 90(5) Для какой из функций
f(x)=6(x2-1), g(x)=6x2-6x+1 и q(x)=6x(x-1)
функция F(x)=2x3-3x2+1 является
первообразной?
Вариант 35(5) Для какой из функций
f(x)=3(x2-2), g(x)=3x(x2-2) и q(x)= 3x2-6x+1
функция F(x)=x3-3x2+1 является
первообразной?
Вариант 42(5) Для какой из функций
f(x)=4x3-8x+1, g(x)= 4(x3-2) и q(x)=4x(x2-2)
функция F(x)=x4-4x2+1 является
первообразной?
E.Вариант 9(5) Найдите первообразную
функции f(x)=x2-5, график которой
проходит через точку (3;4).
 Вариант 16(5) Найдите первообразную
функции f(x)=4-x2, график которой
проходит через точку (-3;10).
 Вариант 17(5) Найдите первообразную
функции f(x)=2x2+3, график которой
проходит через точку (-2;-5).
 Вариант 21(5) Найдите первообразную
функции f(x)=3x-5, график которой
проходит через точку (4;10).
 Вариант 36(5) Найдите первообразную
функции f(x)=х-2x3, график которой
пересекает ось ординат в точке (0;3).
 Вариант 66(5) Найдите первообразную
функции f(x)=5х+x2, график которой
проходит через точку (0;3).
 Вариант 70(5) Найдите первообразную
функции f(x)=3x2-5, график которой
проходит через точку (2;10).
 Вариант 88(5) Найдите первообразную
функции f(x)=5x+7, график которой
проходит через точку (-2;4).
 Вариант 89(5) Найдите первообразную
функции f(x)=х-x2, график которой
пересекает ось ординат в точке (2;10).
F.Вариант 50(5) Найдите
первообразную функции f(x)=10x4+х,
значение которой при х=0 равно 6.
 Вариант 4(5) Найдите какую-нибудь
первообразную функции f(x)=4+6х2,
значение которой при х=2
отрицательно.
 Вариант 71(5) Найдите какую-нибудь
первообразную функции f(x)=2х3+х2+3,
которая принимает положительное
значение при х=2.
 Вариант 14(5) Найдите какую-нибудь
первообразную функции f(x)=4х3-х2+2,
которая принимает отрицательное
значение при х=1.
Криволинейная трапеция
Пусть на координатной плоскости дан график
положительной функции у = f (x), определённой
на отрезке [a ; b].
Криволинейной трапецией ABCD называется
фигура, ограниченная графиком функции у = f (x),
прямыми х = а и х = b и осью абсцисс (осью х).
Площадь
криволинейной трапеции
Теорема: Если у = f (x) непрерывная
неотрицательная функция на отрезке [a ; b], а
F(x) - первообразная для f (x) на этом отрезке,
то S площадь соответствующей криволинейной
трапеции равна приращению первообразной на
отрезке [a ; b], т.е.
S = F (b) –F (a)
Упр 1. Вычислите площадь криволинейной
трапеции, ограниченной графиком функции
f(x)=х2, прямыми y=0, х=1 и х=2.
Ответ:
 Вариант 5(5) Найдите площадь
фигуры, ограниченной графиком
функции f(x)=х2+5х+6, прямыми х=-1,
х=2 и осью абсцисс.
 Вариант 11(5) Найдите площадь
фигуры, ограниченной графиком
функции f(x)=х2-6х+8, прямыми х=-2,
х=-1 и осью абсцисс.

similar documents