6.1

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§6 Reale Feste und Flüssige Körper
Atomares Modell der Aggregatszustände
Kraft auf ein Atom:
r
r r
F   Fi ri 
i
 potentielle Energie hängt
von der Anordnung der
Atome ab
r
F  grad E pot
 Gaub
WS 2014/15
1
Atomares Modell der Aggregatszustände
Beschreibung des Festkörpers als Kristall:
Ortsvektoren der Atome:
r
r
r
r
ri  n1i a  n2ib  n3ic

r r r
a, b, c spannen die Einheitszelle auf.
Gaub
WS 2014/15
2
Atomares Modell der Aggregatszustände
Beschreibung der Kräfte im Kristall durch Federn:
 Atome schwingen bei der
Temperatur T mit der
mittleren kinetischen Energie
E kin 
1
kT
2

Kristall: Ekin << Bindungsenergie
Gaub
WS 2014/15
3
Atomares Modell der Aggregatszustände
Phasenübergang ins Flüssige:
Potentielle Energie wird vergleichbar
mit kinetischer Energie
 Atome können Gitterplätze verlassen
 Mittlerer Abstand nimmt geringfügig zu
 Unordnung nimmt sprunghaft zu
 nur noch Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für Atome beschreibbar
Durch Fäden verbundene Punktteilchen
(konstanter Abstand, variabler Winkel)
eignen sich als Modell.
Gaub
WS 2014/15
4
Atomares Modell der Aggregatszustände
Phasenübergang zum Gasförmigen:
potentielle Energie wird klein
gegen die kinetische Energie
 Atome können sich frei
bewegen
Der mittlere Abstand benachbarter Teilchen ist abhängig vom zur
Verfügung stehenden Volumen.
Gaub
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5
Deformierbare feste Körper
Unterscheide:
elastische Körper
plastische Körper
Hooke‘sches Gesetz
L
Kraft auf einen elastischen Körper: F  E  q
Def.: Zugspannung:  
Def.: Relativen Dehnung:
F
q


L
L

 Hooke‘sches
Gesetz:   E  
Gaub

L
N
Elastizitätsmodul E   2
m
 1 
WS 2014/15
6
Hooke‘sches Gesetz
Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser:

E pot r  
n 0
r  r0   n
n
n!

 n E pot 
r
r r0
Taylorentwicklung von E um r0
2
3




1
1
2 
3 
E pot r  E0  r  r0  E pot   r  r0   2 E pot  
r  r0   3 E pot   
r
rr0 2
r
rr0 6 
r
rr0
r0 ist Gleichgewichtslage
F r  grad E pot r  Für kleine Auslenkungen ist F linear.

P
F
Z
Proportionalitätsgrenze
Fließgrenze
Zerreißgrenze
Gaub
Hooke‘sches Gesetz
Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit.
Überschreitung: Gitterebenen verschieben sich
Verschieben von Gitterebenen nicht mit
beliebig kleiner Kraft möglich, weil
Atome über Potentialwall gehoben
werden müssen:
Gaub
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
Querkontraktion
Volumenänderung eines Stabes mit
Länge L und quadratischem Querschnitt d 2
unter Einwirkung der Zugspannung σ:
V  d  d  L  L Ld2
2
 d 2  2dd  d 2  L  L Ld2
 2ddL  d 2 L  d 2 L  2ddL  d 2 L
 2ddL  d 2 L

Definition der
V 2ddL d 2 L
d /d
1


Querkontraktionszahl:
 
0 
V
V
V
L / L
2

V
d L L 
V L
d / d 

2 



1
2
1 2


V
d
L
V
L
L 
L / L 
  V   
Mit dem Hooke‘schen Gesetz:
1 2
V
E
Gaub
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Quer-“Kontraktion“ bei Druck
Druck statt Zug auf Fläche: p  

Druck von allen Seiten:
=> Längenverkürzung 
p
durch Druck auf auf d2: L  L
E
=> Dickenreduktion
p
durch Druck auf auf Ld: d  d
E
 p 
=> Gesammtänderungen:

L  L 
 E 
zwei Seitenpaare!
 p 
d  d 

 E 

=> Für kleine Dehnungen:

Gaub

ΔL, ΔV < 0
Δd > 0
=> µ>0
p
E
p
Quer“kontraktion“ => L   L
E
1  2  
Quer“kontraktion“ => d   d
1 
2 

Kompressibilität
1
V L 2d
3p


p


p


  1 2
K
V
L
d
E
Kompressionsmodul
1
3
 

1  2 

K
E


WS 2014/15
10
Scherung und Torsionsmodul
Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche
Scherspannung:
 
F
d2
Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α:

  G
mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G

Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und
damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung
hergeleitet werden:
1
3
E

1  2 
 1   mit  

K
E
2G
Gaub
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
2G
3K

1  2
1  
11
Gaub
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12
SW carbonnanotubes
13

Beispiel: Torsion eines Drahtes
Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder
mit Radius r und Dicke dr, außerdem in
Segmente der Winkelbreite dφ.
Um den Draht um den Winkel φ zu
verdrillen ist die Scherspannung τ nötig:
  G
r
L
dF

dA
 
r
L
r

G
2r dr
 dF  G
dA
L
L
 3
2r  G
 dD  r dF 
dr
L
3
R
2
 R4 G
r  G
D   
dr 
  Dr
L
2 L
0
r
Gaub
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 Dr 
 R4 G
2 L
Richtmoment
14
Biegung eines Balkens
Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt
q = d  b wird an einem Ende fest
eingespannt und am anderen belastet.
Lokal kann die Krümmung durch
Kreisbogen mit Radius r beschrieben
werden.
Die Länge in der Mitte des Balkens
bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser).
Eine Schicht in Höhe z des Balkens
(z=0 entspricht der neutralen Faser)
wird also verlängert um:
l  z   z
l
r
Für diese Längenänderung
l
z
nötige Zugspannung:   E
 E
l
r
Biegung eines Balkens
 Die auf eine rechteckige Schicht des
Balkens mit der Breite b, der Höhe dz
und dem Abstand z von der neutralen
Faser, wirkende Kraft ist :
dz
z
z=0
b
dF   b dz 
bE
r
z dz
Dementsprechend wirkt das Drehmoment:
dD  z dF 
bE
r
z 2 dz
 Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich: D 
Gaub
WS 2014/15
bE
r
d
2
3
b
E
d
2
z
 dz  r 12
d

2
16
Biegung eines Balkens
Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L,
die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt:
 Der Balken biegt sich so lange,
bis die beiden Drehmomente
entgegengesetzt gleich groß sind:
3
b
E
d
 
 F0 L  x 
r 12
12 F0
1
 
L  x
3 
r
bEd
Die Krümmung am Ort x ist also:

Bei x=0 wird die Krümmung
und damit die Zugspannung an
der Oberseite (z=d/2)maximal.
D  F0 L  x

 max 
=> Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn
maxdie Zerreissspannung des Materials
 überschreitet
Ed
2r

6 F0 L
d2 b
17
Biegung eines Balkens
Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) (
Teubner):
zx 
1
z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des

3
r
unbelasteten Balkens
2 2
1 zx 
In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt:
 z x

1
 a L  x
r
a  
zx  1
12 F0
b E d3

1 2
Zweimalige Integration
 zx  a L x  a x
2
mit den Randbedingungen
1
1 3
2
z(0) = z´(0) = 0
  zx  2 a L x  6 a x
 x=L biegt sich
 Das Balkenende
um s (Biegungspfeil) nach unten:
Gaub

4 F0 L3
1 3
s  zL  a L  
3
b E d3
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Biegung eines Balkens
Die Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der
Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt)
analog behandeln:
x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche: A 
Def. Biegemoment: B 
d
2
Quader:
Andere Beispiele:
Gaub

2
1 3
2

B    z dy dz 
d b
12
d
b
z y
2 2
Der Biegungspfeil s ist dann
allgemein gegeben durch:
s  

b
2
 dy dz
 z dy dz
L3
F
3EB
Biegung eines Balkens
Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird
die maximale Durchbiegung s:
L3
s  
F
3
4 Ed b

Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide
Balkenhälften der Länge L/2
 s wird um den Faktor 16 kleiner!
Gaub
WS 2014/15
20
Elastische Hysterese, Deformationsarbeit
Unter Einwirkung der
Zugspannung σ erfährt ein
Körper die Elongation ε.
Im ε-σ-Diagramm wird dabei
der Weg 0A zurückgelegt.
Wird σ danach wieder auf 0
gesetzt, so verbleibt eine
Elongation (Punkt B).
 elastische Hysterese
Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser
über Punkt C zu Punkt D.
Gaub
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
Elastische Hysterese, Deformationsarbeit
Beim Durchlaufen der (geschlossenen)
Kurve ABCDA, genannt elastische
Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W
verrichtet.
Für einen Quader mit dem
Querschnitt q ist die Arbeit W:
W 
L
 F dL

0


 q  L d
0
L
 q  dL
0
 V

  d
0
pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit

1
Im Geltungsbereich des Hooke‘schen Gesetzes gilt:   E  Welast  E V  2
2

Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt:   d  0
 entspricht der Fläche des Graphen.
=> Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit

Die Härte eines Festkörpers
Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an.
Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen.
 Mohshärte
Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren
Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte.
Keine analytischen Beschreibungen mehr!
- numerische Verfahren,
- finite Elemente Rechnungen
Gaub
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