PPTX

Report
Jembatan Königsberg
teoriGRAF
G = (V, E)
V = { A, B, C, D }
E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 }
Gambarkan Graf G(V,E) dengan:
• Terdiri dari 4 simpul: A, B, C, D
• Terdiri dari 6 sisi, yaitu:
e1=(A,C); e2=(A,A); e3=(A,D);
e4=(C,D); e5=(B,C); e6=(B,C)
Self-Loop
A
B
D
C
TERMINOLOGIGRAF
Bertetangga (Adjacent)
Bersisian (Incidency)
Simpul Terpencil (Isolated Vertex)
Derajat (Degree)
d(v)
d(v) = din(v) + dout(v)
Lintasan (Path)
n=1
Lintasan (Path)
n=4
Cut-Set
{ (1,4), (1,5), (2,3), (2,4) } adalah cut-set
Graf Berbobot (Weighted Graph)
a
a
10
e
15
d
12
8
11
14
b
9
c
b
c
d
a   12  
b 12  9 11
c   9  14

d   11 14 
e 10 8  15
e
10
8 


15
 
JENIS GRAF
• Graf tak berarah
• Graf berarah
simple graph
multigraph
Pseudo graph
Directed graph/ digraph
Directed multigraph
GRAF KHUSUS
• Graf teratur
• Graf lingkaran
Cn
AdjacencyMatrix
EulerianPath
Melalui seluruh edge tepat satu kali
EulerianCircuit
Lintasan tersebut kembali ke vertex awal
EulerianGraph
HamiltonPath
& HamiltonCircuit
HamiltonGraph
IsomorphicGraph
HomeomorphicGraphs
Definisi :
• Graf diatas dikatakan isomorfik jika terdapat
korespondensi satu-satu antara simpul-simpul pada
kedua graf tersebut dan antara sisi-sisi keduanya
sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v
• Suatu graf dapat digambarkan dengan berbagai cara.
• Dua buah graf dikatakan isomorfik jika memenuhi
ketiga syarat berikut (Deo, 1989):
1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.
2. Mempunyai jumlah sisi yang sama
3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat
tertentu
Any question?
REPRESENTASI GRAF
PADA MATRIK
PENDAHULUAN
• Jaringan komputer adalah suatu kumpulan komputer
yang saling berkomunikasi satu sama lain dengan
menggunakan cara (protokol) tertentu.
• Komputer pada jaringan komputer dapat berupa
router,
workstation,
modem,
printer,
dan
perangkatperangkat lainnya. Jaringan komputer
dapat dimodelkan dengan menggunakan graf.
• Pemodelan keterhubungan antar router dan
algoritma routing yang digunakan, pada suatu
jaringan komputer, dapat memanfaatkan teori graf.
PENDAHULUAN
 Graf digunakan untuk merepresentasikan objekobjek diskrit dan hubungan antara objek-objek
tersebut.
Graf sering digunakan untuk memodelkan jalur
transportasi, penjadwalan, jaringan komputer, dan
lain sebagainya.
Di dalam suatu graf seringkali perhitungan-perhitungan
yang dikerjakan akan lebih sederhana bila graf yang
dihadapi
dinyatakan
dalam
bentuk
matriks.
Bentuk - bentuk representasi matriks dari suatu graf,
yaitu:
• Matriks Adjasensi
• Matriks Insidensi
• Matriks Ruas
MATRIK ADJASENSI
• Matriks Adjasensi dari G dengan ukuran m x m
matriks A = [aij] menunjukkan jumlah busur yang
menghubungkan vi dan vj. Xij bernilai 1 jika busur
(i. j)  E mempunyai arah dari simpul i  V ke
simpul j  V, dan bernilai 0 jika tidak ada
hubungan sama sekali. Jika loop diberi nilai 2.
• Jika graf G merupakan graf tak berarah, setiap
busur (i, j) dapat dinyatakan sebagai suatu busur
dengan dua arah. Dalam hal ini matriks Adjasensi
X merupakan matriks simetris.
CONTOH 1
• Matriks Adjasensi X dari graf berarah diatas adalah:
CONTOH 2
• Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah diatas adalah
BEBERAPA SIFAT PENTING DAPAT DITURUNKAN DARI
REPRESENTASI MATRIKS SUATU GRAF BERARAH MAUPUN
GRAF TAK BERARAH :
MATRIKS ADJASENSI X DARI GRAF BERARAH :
• Suatu kolom yang seluruh elemennya bernilai 0
menyatakan suatu sumber.
• Suatu baris yang seluruh elemennya bernilai 0
menyatakan suatu muara.
• Jika seluruh elemen diagonal utamanya bernilai
0, maka menyatakan tidak terdapat loop dalam
graf tersebut. Sebaliknya, suatu elemen yang
tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu
MATRIKS ADJASENSI X DARI GRAF TAK BERARAH :
• Jika pada graf ditambahkan suatu simpul yang
tidak terhubung, maka pada matriks X akan
ditambahkan pula baris dan kolom yang seluruh
elemennya bernilai 0.
• Matriks X simetris.
• Elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal
utama menyatakan suatu loop
MATRIK INSIDENSI
• Secara khusus, jika V(G) = {v1,v2, ..., vm} dan E(G) =
{e1, e2, ..., en} kita definisikan sebagai matriks
Insidensi dari G dengan ordo m x n.
• Matriks Insidensi Z dari graf berarah merupakan
matriks [zij] di mana
a) zij bernilai 1 jika elemen i insedensi ke dan orientasi
meninggalkan simpul j ,
b) zij bernilai -1 jika elemen i insedensi ke dan orientasi
menuju simpul j
c) dan bernilai 0 jika elemen i tidak insidensi ke simpul j
CONTOH
Matriks Insidensi Z dari graf berarah tersebut adalah :
V1
V2
V3
V4
V5
V6
e1
0
0
1
-1
0
0
e2
0
0
0
1
-1
0
e3
0
1
0
0
-1
0
e4
-1
0
0
1
0
0
e5
0
1
0
-1
0
0
e6
1
-1
0
0
0
0
e7
0
1
0
0
0
-1
PADA GRAF BERARAH :
• Pada suatu baris yang semua elemen-elemen tidak
nolnya adalah 1 menunjukkan bahwa barisan (simpul)
merupakan suatu sumber.
• Suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya
adalah -1 menunjukkan bahwa baris (simpul)
merupakan muara.
• Jumlah elemen 1 pada suatu baris menunjukkan
derajat keluar dari baris (simpul). Jumlah elemen -1
pada suatu baris menunjukkan derajat masuk dari
simpul.
• Setiap kolom mempunyai satu elemen -1 dan satu
elemen 1. Hal ini sebagai akibat bahwa setiap busur
selalu mempunyai satu simpul awal dan satu simpul
akhir.
CONTOH
• Matriks Insidensi Z dari graf tak berarah adalah matriks
[zij] di mana zij bernilai 1 jika simpul i dihubungkan
dengan busur dan bernilai 0 jika lainnya
V1
V2
V3
V4
V5
V6
e1
0
0
1
1
0
0
e2
0
0
0
1
1
0
e3
0
1
0
0
1
0
e4
1
0
0
1
0
0
e5
0
1
0
1
0
0
e6
1
1
0
0
0
0
e7
0
1
0
0
0
1
DARI REPRESENTASI MATRIKS INSIDENSI Z PADA
CONTOH DI ATAS DAPAT DILIHAT BAHWA :
PADA GRAF TAK BERARAH :
• Jumlah elemen tidak nol pada suatu baris
menunjukkan derajat dari simpul.
• Setiap kolom mempunyai tepat dua elemen yang
tidak nol.
• Suatu kolom yang hanya mempunyai satu elemen
tidak nol menunjukkan suatu gelung.
LATIHAN
Tentukan matrik Adjasensi
berarah Berikut
dan Insidensi dari Graf tak
e5
V1
e4
e1
V4
e6
e7
e2
V2
e3
e8
V3
V5
JAWAB
MATRIK RUAS
• Matriks ukuran (2 X M) atau (M X 2) yang
menyatakan ruas dari Graf.
• Matriks ini tidak dapat mendeteksi adanya simpul
terpencil, kecuali jumlah simpul yang terdapat dalam
Graf disebutkan.
e5
CONTOH
e4
V4
e8
V1
V5
nx2
1
1
1
1
2
3
3
4
e1
2
3
4
5
3
4
5
5
e6
e7
e2
V2
e3
V3
Atau
2xn
1
2
1
3
1
4
1
5
2
3
3
4
3
5
4
5
GRAF PLANAR
• Sebuah graf dikatakan graf planar bila graf
tersebut dapat disajikan (secara geometri) tanpa
adanya ruas yang berpotongan. Sebuah graf yang
disajikan tanpa adanya ruas yang berpotongan
disebut dengan penyajian planar/map/peta.
• Pada penyajian planar/map, dikenal istilah region.
Derajat dari suatu region adalah panjang walk
batas region tersebut.
CONTOH
d ( r1 ) = 3
d ( r2 ) = 3
d ( r3 ) = 4
d ( r4 ) = 4
d ( r5 ) = 3
FORMULA EULER UNTUK GRAF PLANAR
Untuk Graf Planar berlaku Formula Euler berikut :
V–E+R=2
Dimana
V = jumlah simpul,
E = jumlah ruas,
R = jumlah region
Jawab 1
Matriks Adjacency
V1
0
1
1
1
1
V1
V2
V3
V4
V5
V2
1
0
1
0
0
V3
1
1
0
1
1
V4
1
0
1
0
1
V5
1
0
1
1
0
Matriks Incidence
V1
V2
V3
V4
V5
e1
1
1
0
0
0
e2
1
0
1
0
0
e3
0
1
1
0
0
e4
1
0
0
1
0
e5
1
0
0
0
1
e6
0
0
1
1
0
e7
0
0
1
0
1
e8
0
0
0
1
1

similar documents